II. УЧЕНИЕ О МНОЖЕСТВАХ

Работы основателя этой теории, Георга Кантора из Галле, исходят как раз от исследований вопроса о существовании трансцендентных чисел и дают этому факту совершенно иное освещение.

Если тот краткий обзор учения о множествах, который я намерен вам предложить, имеет какую-либо особенность, то последняя заключается в том, что на первый план выступает изучение конкретных примеров вместо отвлеченных рассуждений совершенно общего характера, вследствие которых учение о множествах часто принимает весьма трудную для понимания форму, отпугивающую читателя.

1. Мощность множества

В соответствии со сказанным я прежде всего напомню вам, что в течение этих лекций мы не раз имели дело с различными характерными собраниями чисел, которые мы теперь будем называть числовыми совокупностями или множествами. В области действительных чисел мы имели дело с такими множествами:

1) целые положительные числа,

2) рациональные числа,

3) алгебраические числа,

4) все действительные числа.

Каждое из этих множеств содержит бесконечно много чисел. И вот прежде всего возникает такой вопрос: нельзя ли, несмотря на это, в некотором определенном смысле сравнить между собой эти множества по величине или объему: другими словами, нельзя ли «бесконечность» одного множества считать большей, равной или меньшей, чем «бесконечность» другого множества? Великой заслугой Кантора является то, что он установил точные понятия и с их помощью разъяснил и разрешил этот на первый взгляд совершенно неопределенный вопрос. А именно, здесь на первом плане стоит понятие мощности или кардинального числа: два множества имеют одинаковую мощность (эквивалентны), если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, т. е. если одно множество можно так отобразить на другое, что каждому элементу первого взаимно однозначно соответствует некоторый элемент второго. Если же подобное отображение невозможно, то множества имеют различную мощность; при этом оказывается, что в последнем случае, каким бы образом мы ни пытались привести в соответствие элементы обоих множеств, всегда останутся лишние элементы и притом всегда от одного и того же множества, которое имеет поэтому «большую мощность».

Все это мы поясним теперь на четырех упомянутых выше примерах. Может быть, на первый взгляд кажется естественным считать, что мощность множества натуральных чисел меньше мощности множества всех рациональных чисел, а эта последняя в свою очередь меньше мощности всех алгебраических чисел и что, наконец, последняя меньше мощности всех действительных чисел, ибо каждое из этих множеств возникает из предшествующего путем присоединения новых элементов. Но в действительности такое заключение лишено всякого основания: хотя всякое конечное множество всегда имеет большую мощность, чем любая его собственная часть, но это предложение ни в какком случае нельзя переносить на бесконечные множества.

В конце концов такие уклонения не так уж удивительны, если иметь в виду, что здесь мы переходим в совершенно новую область.

Убедимся сперва на совсем простом примере в том, что собственная часть бесконечного множества действительно может иметь равную с ним мощность; для этого мы сравним множество всех натуральных чисел с множеством всех четных чисел:

Сопоставление, указываемое двойными стрелками, очевидно, обладает описанными выше свойствами, а именно, всякому элементу одного множества соответствует один и только один элемент другого множества. Следовательно, согласно определению Кантора, множество натуральных чисел имеет такую же мощность, как и его собственная часть, состоящая из четных чисел.

Итак, исследование мощностей наших четырех множеств не так уж просто. Тем поразительнее тот простой результат, который составляет содержание замечательного открытия Кантора, сделанного им в 1873 г.: три множества — всех натуральных, всех рациональных и всех алгебраических чисел — имеют одинаковую мощность, а множество всех действительных чисел имеет отличную от них, а именно, большую мощность. Множество, которое допускает взаимно однозначное сопоставление его элементов с натуральным рядом чисел (которое, следовательно, имеет с последним одинаковую мощность), называют счетным. Теперь мы можем так выразить упомянутую теорему: все рациональные, а также все алгебраические числа образуют счетное множество, а множество всех действительных чисел представляет собой несчетное множество.