Мощность континуумов высших измерений.

Покончив, таким образом, с вопросом о континууме одного измерения, я считаю последовательным обратиться к континууму двух измерений. Прежде всякий конечно, думал, что плоскость содержит больше точек, чем прямая; поэтому все были крайне удивлены, когда Кантор показал, что мощность двумерного континуума в точности равна мощности континуума одного измерения Если вместо возьмем квадрат со. стороной 1, а вместо — отрезок длиной единица, то следует доказать возможность установить между точками обоих множеств взаимно однозначное соответствие (рис. 125).

Причина того, что это утверждение представляется таким парадоксальным, заключается, вероятно, в трудности освободиться от представления об известной непрерывности соответствия, а между тем в действительности то соответствие, которое мы имеем в виду установить, оказывается в высшей мере разрывным или, если хотите, неорганическим. Образно говоря, оно в такой мере разрушает, кроме «мощности», все, что является характерным для плоского и для линейного образов как таковых, как если бы все точки квадрата насыпали в мешок и затем самым основательным образом перемешали их.

Множество точек квадрата совпадает с множеством всех пар десятичных дробей вида

которые мы, как и раньше, предполагаем написанными в бесконечном виде. Следовательно, мы исключаем те пограничные точки, для которых одна из координат у обращается в нуль; иными словами, исключаем обе стороны квадрата, примыкающие к началу координат О, между тем как обе другие стороны сохраняем. Но нетрудно убедиться в том, что это не изменяет мощности множества точек. И вот основная идея доказательства Кантора заключается в том, чтобы слить обе эти десятичные дроби в одну новую десятичную дробь z, по которой в свою очередь можно было бы однозначно определить х, у и которая принимала бы ровно по одному разу все значения когда точка один раз пробегает по всему квадрату. Если рассматривать z как абсциссу, то получим тем самым требуемое взаимно однозначное соответствие квадрата и единичного отрезка при этом в соответствии с соглашениями относительно квадрата у этого отрезка принимаем во внимание только одну конечную точку

Такое слияние двух координат у в одну мы попытаемся сначала получить тем, что положим

действительно, из этой дроби можно, отделяя четные и нечетные десятичные знаки, восстановить однозначным образом .

Но тут ввиду двоякого способа написания десятичных дробей возникает следующее возражение: такое z не пробегает всего ряда значений когда пробегает все пары бесконечных десятичных дробей, т. е. все множество точек действительно, хотя при этом для z всегда получается бесконечная дробь, но существуют такие бесконечные дроби, как, например,

которые получаются только из конечной дроби или у, в нашем примере из

Обойти это затруднение легче всего при помощи следующего видоизменения метода Кантора, предложенного Кёнигом из Будапешта. А именно, Кёниг понимает под а, b, с не отдельные цифры, а известные комплексы цифр, я бы сказал, «молекулы» десятичной дроби, соединяя в одно целое всякую значащую цифру, отличную от нуля, со всеми непосредственно ей предшествующими нулями; благодаря этому выделяется роль нулей. Тогда всякая десятичная бесконечная дробь должна иметь бесконечно много молекул, так как в ней появляются все снова и снова отличные от нуля цифры, и наоборот. Например, в дроби

за такие «молекулы» следует принять

Пусть теперь в вышеприведенном правиле сопоставления и z символы обозначают такие молекулы. Тогда всякой паре будет снова однозначно соответствовать бесконечная дробь z, которая в свою очередь определит х и у. Но теперь всякая дробь z однозначно распадается на две дроби и у с бесконечным числом «молекул» каждая, и при этом дробь z может возникнуть только однажды, когда мы в качестве будем брать всевозможные пары бесконечных десятичных дробей. И это действительно дает взаимно однозначное отображение отрезка на квадрат; следовательно, они имеют одинаковую мощность.

Конечно, совершенно аналогичным образом можно показать, что континуумы трех, четырех, измерений имеют такую же мощность, как и одномерный континуум. Но замечательно то, что и континуум бесконечно многих измерений, — точнее говоря, счетного множества измерений — имеет такую же мощность; о таком пространстве бесконечно большого числа измерений теперь особенно много говорят в Гёттингене. Его определяют как совокупность всех тех числовых систем, какие только может принимать счетно бесконечное множество переменных

если каждая из них пробегает весь ряд действительных значений. Это представляет собой, собственно говоря, только новый способ выражения понятий, давно уже применяемых в математике. В самом деле, ведь всегда рассматривали совокупность всех степенных или тригонометрических рядов; счетное бесконечное множество коэффициентов этих рядов представляет собой, в сущности, не что иное, как такую же совокупность бесконечного числа независимых переменных, которые, впрочем, всегда подчинены еще известным условиям сходимости ряда.

Здесь мы снова ограничимся рассмотрением «единичного куба» континуума другими словами, множества всех точек, удовлетворяющих условиям и покажем, что эти точки можно привести во взаимно однозначное соответствие с точками единичного отрезка континуума При этом снова для удобства отбрасываем все те пограничные точки, для которых одна из координат равна нулю, и соответственно точку все же остальные пограничные точки сохраняем. Исходим, как и раньше, из изображения координат точек континуума при помощи десятичных дробей,

причем все эти дроби должны написаны в бесконечном виде, а символы должны обозначать «молекулы десятичных дробей» в установленном выше смысле, т. е. такие комплексы цифр, которые состоят из одной значащей цифры с непосредственно предшествующими ей нулями.

Теперь все это бесконечное количество десятичных дробей мы должны соединить в одну такую новую дробь, которая в свою очередь позволяла бы восстановить ее составные части, или, сохраняя химическое уподобление, скажем так: мы должны образовать такое нестойкое соединение всех этих молекулярных агрегатов, чтобы его легко можно было разложить на составные части. Этого удается достичь сразу же при помощи «диагонального метода», который мы уже применяли выше Напишем наши «молекулы» в том порядке, какой указывают последовательные косые линии в предыдущей схеме:

таким образом, со всякой точкой в однозначно сопоставляется некоторая точка континуума Обратно, таким образом можно получить всякую точку континуума в самом деле, зная ее изображение в виде бесконечной десятичной дроби, можно, пользуясь указанной схемой, однозначно определить бесконечное число бесконечных десятичных дробей из которых данная дробь получается посредством указанного приема. Таким образом, нам действительно удалось установить взаимно однозначное отображение единичного куба пространства на единичный отрезок континуума