АЛГЕБРА

82. Клейн имеет в виду уравнения, в левой части которых стоит многочлен (от соответствующих переменных) с действительными коэффициентами.

83. Поскольку в рассматриваемом случае нанесение шкалы на параболе особенно просто — значение параметра t в точке параболы равно абсциссе этой точки. То же относится и к кубической параболе на рис. 23. Иначе говоря, для уравнения вида описываемый Клейном метод не отличается от обычного «школьного» метода графического решения, при котором ищутся абсциссы точек пересечения линий Если же в уравнении (1) функция от лична от t (и по-прежнему ), то рассматриваемый метод не сводится к «школьному».

84. При Согласно (2) эти корни получаются при пересечении параболы (со шкалой на ней) с прямой

85. Каждой системой коэффициентов определяется в декартовых координатах одна плоскость (2) (или ); эти коэффициенты и называются координатами плоскости. Если — декартовы координаты некоторой точки, — координаты некоторой плоскости, то уравнение (2) выражает, что точка лежит на плоскости, или что плоскость проходит через точку. Если коэффициенты и, v, w постоянны, а являются переменными, то оно выразит в декартовых координатах плоскость , т. е. ему удовлетворяют координаты всех тех точек, которые лежат на этой плоскости. Обратно, если постоянны коэффициенты , то уравнению (2) удовлетворяют координаты тех плоскостей, которые проходят через точку ; это есть уравнение точки в плоскостных координатах.

86. Если точка лежит на плоскости то координаты ее удовлетворяют уравнению (2), которое теперь принимает вид

Если та же точка принадлежит кривой (2а), то последнее уравнение переходит в уравнение (1).

87. Под -кратно бесконечным множеством или понимают такое множество, элементы которого однозначно определяются значениями действительных параметров

88. Например, уравнение задает в координатах линию М, представляющую собой объединение прямой и еще одной изолированной точки О (начала координат). Точка О является пересечением двух мнимых прямых , являющихся частями линии М.

89. Точнее, имеются четыре связных открытых куска дискриминантной поверхности, три из которых соответствуют типу (двойной корень может лежать между двумя другими, слева от них или справа), а четвертая — типу (2).

90. Это относится к тем уравнениям типа , у которых двойной корень не расположен между двумя другими. Уравнения же типа , у которых двойной корень расположен между двумя другими, переходят в другие типы уравнений (2) через уравнения типа (о которых Клейн пишет ниже), а в уравнения типа (-через уравнения (4), имеющее 4 совпадающих корня. При проективном же рассмотрении (соответствующем введению еще одного коэффициента при ) все типы уравнений составляют один связный кусок.

91. Двойная кривая (СО) соответствует уравнениям типа ; далее, две части (ЛО) и (ВО) ребра возврата, соответствующие уравнениям , разбивают правую часть дискриминантной поверхности на три связных открытых множества, соответствующих тем видам уравнений типа , о которых говорилось в двух предыдущих примечаниях; часть дискриминантной поверхности между линиями (АО) и (ВО) соответствует тем уравнениям этого типа, у которых двойной корень лежит между двумя другими.

Впрочем, соединяя эти три куска по линиям (ЛО) и (ВО), мы получаем один связный открытый кусок дискриминантной поверхности, почему Клейн и говорит не о четырех, а о двух «сплошных частях» ее.

92. Это можно пояснить так. Поскольку и — некоторый многочлен, то линия, определяемая уравнениями , не может иметь «точек прекращения», к которым линия подходит, но никуда более не продолжается. Вообще, к каждой точке линии подходит четное число ветвей этой линии. Поэтому, прослеживая ветвь кривой идущую из бесконечности, мы замечаем, что эта ветвь не может нигде остановиться, а должна в конце концов соединиться с другой ветвью.

Эти соображения, связанные с непрерывным течением кривых и с тем, что, переходя с одной стороны линии на другую, связная линия непременно должна ее пересечь, относятся к области топологии — раздела математики, изучающего близость точек, предельные соотношения, непрерывность. Использование топологических соображений характерно для доказательства основной теоремы алгебры. В настоящее время известны десятки различных ее доказательств, но любое из них включает топологические соображения (и без них доказательство невозможно, т. е. «чисто алгебраического» доказательства этой теоремы не существует). Иначе говоря, основная теорема алгебры является неалгебраической теоремой.

93. В примечании 59 уже говорилось кратко о роли комплексных чисел и основной теоремы алгебры в применении к школьному курсу алгебры. Об этом здесь упоминает и Клейн. Остановимся на этом чуть подробнее. С основной теоремой алгебры (утверждающей, что уравнение степени заведомо имеет хотя бы один комплексный корень) тесно связана «типично школьная» (но также давно исключенная из программы) теорема Безу. Доказательство ее вовсе не обязательно связывать с алгоритмом деления одного многочлена на другой «в столбик», который с трудом усваивается учащимися. Гораздо практичнее, во-первых, показать, что делится на (эта формула вообще очень полезна и связана с геометрической прогрессией), и, во-вторых, с помощью этого доказать, что каков бы ни был многочлен разность делится на что собственно и есть теорема Безу. Как следствие отсюда получается, что если корень многочлена то этот многочлен делится на

Теперь, комбинируя основную теорему алгебры и теорему Безу, можно сформулировать теорему о разложении многочлена на множители и о числе его корней (учитывая кратные корни). Именно, любой многочлен (где представляется в виде произведения f причем это разложение единственно с точностью до порядка следования сомножителей. Для доказательства применяется несложная математическая индукция (случай тривиален). Если теорема уже установлена для многочленов меньшей степени, чем некоторое , то, взяв многочлен степени , мы, во-первых, по основной теореме алгебры находим какой-либо один его корень и, во-вторых, по теореме Безу записываем его в виде , где — многочлен уже степени (тоже со старшим коэффициентом 1) Теперь, по предположению индукции, представляется в виде произведения что и дает искомое разложение

Этим доказано существование разложения. Несложно проверяется и единственность.

Значение этой теоремы состоит в том, что определяется кратность корней (если в разложении встречается k одинаковых множителей, равных , то называется корнем кратности k). Теперь получается, что если учитывать кратности корней (т. е. каждый корень считать столько раз какова его кратность), то любое алгебраическое уравнение степени имеет ровно корней. Это значительно уточняет основную теорему алгебры.

Сказанное имеет значение уже при рассмотрении квадратных уравнений: если дискриминант равен нулю, то существует только одно действительное число, являющееся корнем уравнения, и понять, почему его в этом случае надо считать за два совпадающих корня, может помочь именно эта теорема. Вообще квадратные уравнения — очень благоприятная почва для иллюстрации всех отмеченных теорем (включая основную теорему алгебры).

94. Теория римановых поверхностей излагается в курсах теории функций комплексной переменной. Из учебников, принятых в университетах и педагогических институтах, можно рекомендовать следующие: Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1973; Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1977; Маркушевич А. И. Теория аналитических функций, т. I. — М.: Наука, 1967; Евграфов М. А. Аналитические функции.-М.: Наука, 1968; Го Лузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1966.

95. Иначе говоря, риманова сфера рассматривается как одномерное комплексное проективное пространство.

96. Поясним терминологию Клейна. Точку однозначной аналитической функции он называет [-кратной замечательной точкой, если, взяв однократный обход вокруг точки в окрестности этой точки, мы получаем в качестве его образа (на сфере комплексной переменной ) -кратный обход вокруг соответствующей точки Необходимым и достаточным для этого является выполнение равенств . Соответствующая риманова поверхность обратной (многозначной) функции расположенная над плоскостью w, имеет над точкой соединенный вместе лист. Клейн называет — в некотором расхождении с современной терминологией — образ на сфере w местом ветвления, а точкой ветвления кратности он считает ту точку римановой поверхности, которая расположена над и соответствует точке

97. Лучше говорить не о меридиане (поскольку географический меридиан представляет собой полуокружность), а о действительной прямой; заметим, что на сфере Римана действительная прямая замкнута (поскольку она содержит точку ) и представляет собой большую окружность этой сферы.

98. Этот способ выражения неточен: все зависит от того, откуда смотреть (даже если условиться смотреть извне на риманову сферу, то «слева» и «справа» зависит от того, где мы стоим и где у нас «верх», где «низ»). Автор говорит о рис. 38 (вид римановой сферы), причем подразумевается вид «сзади», с заштрихованной стороны.

Поэтому условимся о более точном описании: при движении вдоль положительного луча от точки заштрихованная полусфера находится справа от нас (это соответствует стереографической проекции, если на риманову сферу мы смотрим извне, со стороны заштрихованной полусферы).

99. При движении вдоль каждого прообраза положительного луча от точки О заштрихованная область находится справа (рис. 129).

100. Можно рассматривать группу самосовмещений (или группу симметрий) этого диэдра (рис. 44) с имеющимся на нем разбиением на заштрихованные и незаштрихованные треугольники. Именно, некоторое движение пространства будем причислять к этой группе самосовмещений, если оно переводит этот диэдр в себя и притом заштрихованные треугольнички снова в заштрихованные. Эта группа содержит 12 движений (6 поворотов вокруг оси, перпендикулярной плоскости диэдра, и 6 поворотов на 180° вокруг прямых, проходящих через центр диэдра). Для случая произвольного (не обязательно эта группа содержит поворотов. Эта группа изоморфна группе тех преобразований, которые сохраняют уравнение (1).

101. Иначе говоря, группа самосовмещений рассматриваемого тетраэдра с имеющимся на его поверхности разбиением на заштрихованные и незаштрихованные треугольнички состоит из 12 элементов (поворотов). Эта группа изоморфна группе подстановок уравнения, принадлежащего тетраэдру, которое Клейн выводит ниже. Заметим, что эта группа некоммутативна (и потому не является циклической).

Рис. 129

102. Автоморфной называется аналитическая функция, не имеющая других особенностей, кроме полюсов, и инвариантная относительно некоторой дискретной группы Г аналитических преобразований комплексной сферы (или ее односвязной области). Основы теории автоморфных функций были заложены Клейном и Пуанкаре. См. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии.-М.; Л.: ГОНТИ, 1937; Адам ар Ж. Неевклидова геометрия в теории автоморфных функций. — М.: Гостехиздат, 1952.

103. На это «впрочем», сказанное вскользь и носящее оттенок пренебрежительности, следует обратить внимание. Клейн явно отдает предпочтение натуральным логарифмам, а когда заходит речь о показательных функциях — экспоненте (с основанием ) В следующей главе он потратит немало места, чтобы показать ненужность и неестественность рассмотрения показательной функции а при . Основными аргументами Клейна являются рассмотрения с точки зрения теории аналитических функций. В качестве дополнительных аргументов приведем соображения, связанные с дифференциальными уравнениями. Современная научная и инженерная литература использует лишь экспоненты — функции вида Это объясняется прежде всего тем, что такие функции естественно появляются при решении линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которые имеют огромное значение в науке и в технике.

В качестве примеров можно привести дифференциальные уравнения, описывающие радиоактивный распад, изменение тока в -цепи, падение давления с высотой, падение тела в сопротивляющейся среде, охлаждение нагретого тела, малые колебания самых разнообразных систем вблизи положения равновесия, затухающие колебания и многие другие процессы. Тем самым как бы неявно поднимается вопрос, не пора ли и в школьных учебниках и задачниках отказаться от рассмотрения ставших уже ненужными и архаичными функций сосредоточив все внимание на изучении функций вида

Правда (это именно и отмечает Клейн), в вычислительной практике еще достаточно широко используются десятичные логарифмы, связанные с рассмотрением функции что нашло свое отражение и в конструкции современных калькуляторов, где имеются отдельные клавиши для десятичного логарифма и показательной функции с основанием 10. Однако в связи с отмиранием роли логарифмических таблиц и логарифмической линейки, которые всюду вытесняются калькуляторами, роль показательной функции с основанием 10 постепенно утрачивается. В современных алгоритмических языках этот процесс быстро форсируется. Например, в трансляторах языка бэйсик имеются встроенные функции для вычисления значений показательной функции и логарифма с основанием и отсутствуют функции с основанием 10. Все это приводит к выводу о целесообразности видоизменения школьных программ в разделе, связанном с изучением показательной функции.

Сказанное вовсе не противоречит тому, что основой вычислений и даже самой записи чисел служит десятичная система счисления: ведь при записи чисел в нормальном виде (или в форме Е в современных компьютерах) используются лишь степени числа 10 с целыми показателями. Иначе говоря, при десятичной записи чисел нужны лишь целые степени числа 10, а когда речь идет о показательной функции с действительными (или комплексными) показателями, основанием должно быть число е. Эту тенденцию, все более укрепляющуюся в научной и инженерной литературе, следует учитывать и в элементарной математике.

104. Эти выражения имеют в данном случае вид

Так как дискриминант является симметрическим многочленом от а, то он выражается в виде многочлена от

(в правой части не выписаны другие возможные члены измерения 6, так как они содержат множитель потому обращаются в нуль). Здесь А и В легко находятся методом неопределенных коэффициентов (например, можно положить сначала а затем ): Это и дает равенство, приведенное в тексте.

105. В последующих вычислениях квадратные корни извлекаются только из положительных чисел и рассматриваются как арифметические (т. е. есть положительное число, квадрат которого равен М). Напротив, кубические корни извлекаются из комплексных чисел, и символ понимается как имеющий сразу все три комплексных значения.