III. ОСОБЫЕ СВОЙСТВА ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

1. Роль теории чисел в школьном и университетском преподавании

Мы начнем теперь новую главу, которую посвятим собственно учению о целых числах, теории чисел, или арифметике в более узком смысле этого слова.

Я прежде всего дам сводку отдельных вопросов, в которых эта дисциплина соприкасается со школьным преподаванием.

1. Первой задачей теории чисел является вопрос о делимости: делится ли одно число на другое?

2. Можно указать простые правила, которые дают возможность легко распознать, делится ли произвольное число на небольшие числа: 2, 3, 4, 5, 9, 11 и т. д.

3. Имеется бесчисленное множество простых чисел, т. е. таких, которые не имеют собственных делителей, иными словами, которые делятся только на себя и на единицу:

4. Мы владеем всеми соотношениями, касающимися делимости любых чисел, если мы знаем их разложение на простые множители.

5. Теория чисел играет роль в вопросе об обращении рациональных дробей в десятичные: она поясняет, почему десятичная дробь должна стать периодической и как велик период.

Эти вопросы появляются уже в младших классах; позже вопросы теории чисел появляются лишь изредка. Отметим следующие факты.

6. Если и не во всех школах, то во всяком случае во многих излагаются непрерывные дроби.

7. Иногда излагаются диофантовы уравнения, т. е. уравнения с многими неизвестными, при решении которых мы ограничиваемся целыми значениями неизвестных. В виде примера я приведу пифагоровы числа, о которых мы уже имели случай говорить. Как известно, здесь речь идет о целых решениях уравнения

8. В тесной связи с теорией чисел находится вопрос о делении окружности на равные части, хотя этот вопрос вряд ли когда-либо разбирается в школе. Если нам нужно разделить окружность на равных частей, — разумеется, пользуясь всегда только циркулем и линейкой, — то это легко удается при . Но при это уже не удается, и учитель обыкновенно почтительно останавливается на этом пункте, не высказывая даже категорически того, что это выполнить вовсе невозможно. Причина этого обстоятельства коренится в глубоких соображениях теории чисел.

Чтобы избежать недоразумений, с которыми, к сожалению, в этом вопросе приходится довольно часто встречаться, я еще раз подчеркну, что здесь мы вновь имеем дело с вопросом точной математики, не имеющим для практических применений никакого значения. Для практических целей вряд ли кто-либо станет пользоваться точным построением даже в тех случаях, когда это возможно. Напротив, будет гораздо целесообразнее, оставаясь на почве приближенной математики, простыми и умело подобранными испытаниями разделить окружность на любое число равных частей; при этом можно легко достигнуть всякой практически доступной точности. Так, несомненно, поступает каждый механик, которому нужно строить инструменты с окружностями, разделенными на некоторое число частей.

9. Еще в одном месте в школе приходится столкнуться с высшей теорией чисел, — именно, в вопросе о квадратуре круга и связанном с ней вычислении числа При изложении этого вопроса тем или иным путем вычисляют первые десятичные знаки числа я, а затем, несомненно, упоминают о современном доказательстве трансцендентности числа решающем в отрицательном смысле древнюю задачу о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки. В конце своего курса я возвращусь к этому доказательству, здесь же я ограничусь точной формулировкой этого утверждения; дело сводится к тому, что число я не может удовлетворять никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами вида

То обстоятельство, что коэффициенты должны быть целыми числами, играет здесь особую роль: именно оно и относит этот вопрос к теории чисел.

Само собой разумеется, что и здесь мы имеем дело с вопросом точной математики, ибо для нее только и имеет значение числовой характер . Для математика, ограничивающегося приближением, достаточно определить первые десятичные знаки, которые дают ему возможность произвести квадратуру круга с любой доступной нам точностью.

Этим исчерпывается роль теории чисел в школе.

Спросим еще, какое место она занимает в университетском преподавании и в научном исследовании. Я склонен разделить математиков, занимающихся самостоятельными исследованиями, по их отношению к теории чисел на две категории: одних я назову энтузиастами, других индифферентными. Для первых не существует никакой науки, которая была бы так прекрасна и так важна, как теория чисел, никакой науки, которая давала бы столь ясные и точные доказательства и теоремы такой безукоризненной строгости. «Если математика есть царица наук, то теория чисел есть царица математики», — говорит Гаусс. Индифферентные же стоят далеко от теории чисел, очень мало заботятся о ее развитии и стараются вовсе ее избегать. Большинство изучающих математику по своим симпатиям относится к последней категории.

Причина этого замечательного разделения, по моему мнению, коренится в следующем: с одной стороны, теория чисел, несомненно, имеет основное значение для всякого глубокого математического исследования. Необычайно часто мы наталкиваемся, исходя из совершенно различных областей, на сравнительно простые арифметические факты. Но с другой стороны, чистая теория чисел является крайне абстрактной дисциплиной; способностью же воспринимать с удовольствием весьма абстрактные вещи обладают немногие. Уже это обстоятельство само по себе могло бы содействовать безучастности, которую проявляют многие к теории чисел. Но это еще усиливается тем, что в современных сочинениях по теории чисел предмет излагается обыкновенно чрезвычайно абстрактно. Я полагаю, что теория чисел сделалась бы гораздо более доступной и встретила бы гораздо больше интереса к себе, если бы ее излагали гораздо но и на подходящих фигурах. Ее предложения, конечно, не зависят от этих вспомогательных средств, но применение этих средств могло бы во многом содействовать пониманию. Эту цель имеет в виду Минковский в еврей книге «О диофантовых приближениях», вышедшей в 1907 г. в Лейпциге.

Что касается учебников по теории чисел, то вы можете, собственно, вполне ограничиться тем материалом, который находите в учебниках алгебры,