II. О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ

Заметим прежде всего, что мы предпочитаем название «гониометрические функции» наименованию «тригонометрические функции» по той причине, что учение о треугольниках представляет собой только частное применение этих функций, играющих в высшей степени важную роль во всех отраслях математики. Обратные им функции, вполне соответствующие логарифму (между тем как сами гониометрические функции представляют собой аналогию с показательной функцией), мы называем циклометрическими функциями.

1. Теория тригонометрических функций в связи с учением о логарифме

Рассмотрение этой теории мы поставим в связь с вопросом о том, какой способ изложения ее в школе представляется наиболее естественным. Я полагаю, что и в этом случае будет лучше всего применить наш общий принцип, согласно которому надо исходить из квадратуры плоских кривых. Обычный способ изложения, который начинается с измерения дуг, кажется мне не в такой степени непосредственно наглядным; прежде всего, он не дает возможности одинаково просто и с одной и той же точки зрения охватить как высшие, так и низшие области. Позвольте мне снова воспользоваться аналитической геометрией.

1. За исходный пункт я беру круг, радиуса 1:

(рис. 64) и рассматриваю сектор, образуемый радиус-векторами точек Обозначим площадь этого сектора через (ибо тогда дуга ).

2. Под тригонометрическими функциями «косинус» и «синус» аргумента мы будем понимать координаты х и у концевой точки Р сектора площадью

Происхождение этого обозначения остается неясным; по всей вероятности, слово «sinus» возникло вследствие какого-нибудь недоразумения при переводе арабского слова на латинский язык.

Рис. 64

Рис. 65

3. Прочие тригонометрические функции:

а в старой тригонометрии еще определяем как простые сочетания обеих основных функций. Их вводят исключительно ради сокращения формул, которые приходится применять на практике; теоретического значения они для нас не имеют.

4. Если мы станем следить за изменением координат точки Р при возрастании то легко сможем составить себе качественное представление о виде графиков синуса и косинуса в прямоугольной системе координат. Получаем известные волнообразные линии, имеющие период (рис. 65); при этом число определяем как площадь полного круга радиуса 1 (а не как длину полуокружности).

Сравним теперь подробно с этими определениями изложенный выше способ определения логарифма и показательной функции.

1. Там мы исходили из равносторонней гиперболы, отнесенной к ее асимптотам:

полуось ОА этой гиперболы равна (рис. 66), тогда как здесь радиус круга равнялся 1.

Мы рассматривали далее площадь полосы между неподвижной ординатой и подвижной обозначая эту площадь через Ф, мы полагали так что координаты Р оказывались равными

Вы замечаете известную аналогию с предыдущим, которая, впрочем, здесь нарушается в двух отношениях: во-первых, Ф не выражает площадь сектора, как выше, в случае круга; во-вторых, здесь обе координаты выражаются рационально через одну функцию между тем как в случае круга мы должны были ввести две функции

Рис. 66

Рис. 67

Но мы сейчас увидим, что оба отклонения можно легко устранить.

2. Прежде всего заметим, что площадь треугольника ОРР не зависит от положения точки Р на кривой, а именно, она всегда равна . В частности, она равна площади треугольника ОАА, так что, присоединяя этот треугольник к площади Ф криволинейной трапеции и отнимая равный треугольник ОРР, находим, что можно определить как площадь гиперболического сектора ОАР, заключенного между радиус-векторами вершины А и подвижной точки гиперболы, — вполне аналогично случаю круга (рис. 67). Имеется однако различие в направлении отсчета: для наблюдателя, находящегося в О, дуга АР в случае окружности была направлена влево, а для гиперболы вправо.

Это различие мы устраним её зеркальным отражением относительно радиус-вектора ОА, — другими словами, поменяем ролями переменные ; тогда координаты точки Р будут

3. Наконец, примем за оси координат вместо асимптот главные оси гиперболы, повернув для этого весь чертеж на 45° (рис. 68). Если обозначить новые координаты через X, Y, то уравнения преобразования будут иметь такой вид:

поэтому уравнение гиперболы переходит в

и сектор Ф принимает такое же положение, какое он раньше занимал в круге. Новые координаты точки Р представляют собой следующие функции аргумента Ф:

Рис. 68

4. Остается только уменьшить весь чертеж в отношении полуось гиперболы стала равна 1 вместо подобно тому как раньше радиус круга равнялся единице. Теперь площадь сектора, о котором идет речь, станет равна у Ф; обозначая новые координаты снова через х, у, находим, что они равны следующим функциям аргумента Ф:

которые удовлетворяют такому соотношению (уравнению гиперболы):

Этим функциям дано название гиперболического косинуса и синуса; их обозначают через

Результат, к которому мы пришли, сводится к следующему. Если поступать с кругом радиуса 1 и с равносторонней гиперболой, полуось которой равна 1, совершенно одинаково, то в первом случае мы придем к обыкновенным тригонометрическим функциям, а во втором — к гиперболическим функциям, которые вполне соответствуют друг другу.

Как известно, применение функции часто бывает полезно. Но тем не менее в данном случае в применении к исследованию гиперболы мы, в сущности, сделали шаг назад: если раньше мы могли рационально представить координаты с помощью одной только функции то теперь нам необходимы для этого две функции, связанные между собой алгебраическим соотношением (уравнением гиперболы). Это подсказывает, что естественно и в случае круга совершить обратный переход: развить учение о тригонометрических функциях совершенно аналогично тому, как мы раньше определили логарифм, исходя из гиперболы. Сделать это очень легко, если только не бояться перехода к комплексным величинам; тогда удастся ввести только одну основную функцию, посредством которой выражаются рациональным образом, подобно тому как выражаются через она призвана поэтому играть в теории тригонометрических функций центральную роль.

1. Для этого мы прежде всего вводим в уравнение круга (где ) новые координаты

после чего уравнение принимает вид

2. Искомой центральной функцией является — подобно тому как было в случае гиперболы вторая координата; обозначая ее через находим на основании уравнений дреобразования

3. Из последних равенств находим, что

чем достигается полная аналогия с прежними соотношениями между Если, таким образом, заранее вскрыть аналогию между тригонометрическими и гиперболическими функциями, то великое открытие Эйлера, выражаемое формулой теряет характер поразительной неожиданности.

Не является ли возможным подобное сведение функций к одной основной функции и в том случае, если оставаться в действительной области? К этому, действительно, можно прийти, если взглянуть на наши фигуры с точки зрения проективной геометрии. А именно, можно в случае гиперболы ту координату которая дала нам основную функцию, определить как параметр в пучке параллелей , который, рассматриваемый с проективной точки зрения в его отношении к гиперболе, представляет собой не что иное, как пучок лучей 118) с вершиной в одной из точек гиперболы (здесь в одной из бесконечно удаленных точек). Рассматривая в случае круга или гиперболы параметр какого-нибудь такого пучка как функцию площади, мы придем к другой основной функции, тоже оставаясь в действительной области.

Рассмотрим в случае круга пучок прямых, проходящих через точку

где — параметр (рис. 69);

выше мы уже вычислили координаты точки пересечения Р луча, имеющего параметр X, с окружностью, а именно, мы нашли, что

так что

представляет собой нужную нам действительную основную функцию. А так как, с другой стороны, и , то отсюда непосредственно вытекает, что этим однозначным выражением функций через очень часто пользуются при тригонометрических вычислениях. Соотношение функции X с прежней основной функцией получается из последней формулы в таком виде:

или, наоборот,

Рис. 69

Таким образом, введение величины X сводится в конечном счете попросту к некоторой дробно-линейной функции от которая имеет действительное значение вдоль окружности круга; хотя благодаря этому формулы становятся действительными, но они не столь просты, как при непосредственном применении функции

Стоит ли покупать преимущество оперирования с действительными числами ценой такого недостатка, зависит, конечно, от того, насколько то или иное лицо умеет обращаться с комплексными величинами.

По этому поводу я замечу только, что физики давно уже перешли к употреблению мнимых величин, в особенности же в оптике, когда приходится иметь дело с уравнениями колебательных движений. С другой стороны, техники — и прежде всего электротехники с их вектор-диаграммами — тоже начинают в последнее время с успехом пользоваться комплексными величинами. Таким образом, можно утверждать, что применение комплексных величин начинает, наконец, завоевывать права гражданства в более широких кругах, хотя, конечно, в настоящее время значительное большинство еще крепко придерживается действительной области.

Имея в виду обрисовать в общих чертах дальнейшее развитие теории тригонометрических функций, мы должны прежде всего упомянуть о теореме сложения.

1. Теорема сложения выражается формулой

к аналогичной формулой для . Причина того, что эти формулы выглядят сложнее, чем в случае показательной функции, заключается, конечно, в том, что здесь мы имеем дело не с основной элементарной функцией; для этой последней функции получается совершенно такая же крайне простая формула, как и для

2. От формулы сложения мы приходим к выражениям функций для кратных углов и для частей угла, из числа которых я отмечу только две следующие формулы, игравшие большую роль при вычислении первых тригонометрических таблиц:

Изящное выражение всех соотношений, имеющих здесь место, дает так называемая «формула Муавра»:

Муавр был француз, но жил в Лондоне в кругу Ньютона; свою формулу он опубликовал в 1730 г.

Рис. 70

3. Исходя из нашего первоначального определения можно, разумеется, легко получить выражение обратной функции в виде интеграла.

Сектор у (т. е. АОР) круга радиуса 1 вместе с горизонтально заштрихованным треугольником ОРР ограничен параллелями и у к оси абсцисс и кривой и имеет поэтому площадь, равную а так как упомянутый треугольник имеет площадь

ТО

Отсюда находим посредством простого преобразования 119)

Поступая теперь совершенно так же, как в случае логарифма, а именно, разлагая подынтегральное выражение в ряд по теореме бинома и применяя затем по идее Меркатора почленное интегрирование, можно найти разложение в степенной ряд, а из него вывести, пользуясь методом обращения рядов, ряд для самого синуса; так именно я уже говорил об этом выше — поступил сам Ньютон.

4. Я больше склонен воспользоваться здесь более кратким путем, который стал возможен благодаря великому открытию, сделанному Тейлором. Для этого из упомянутого интегрального выражения выводим сначала величину производной для самого синуса:

совершенно аналогично находим

Отсюда на основании теоремы Тейлора получаем разложения

Нетрудно видеть, что эти ряды сходятся для всякого конечного, даже комплексного, значения так что определяются ими как однозначные целые трансцендентные функции во всей комплексной плоскости.

5. Сравнивая эти ряды с рядом для находим для основной функции

Такой вывод без оговорки становится возможным только после того, как мы убедились, что совф и так же как и представляют собой однозначные целые функции.

6. Остается описать ход изменения комплексных функций . С этой целью я прежде всего замечу, что каждая из обратных функций дает поверхность Римана с бесконечным числом листов и с местами ветвления а именно, над точками лежит по бесконечному числу точек ветвления первого порядка, а над точкой находятся две точки ветвления бесконечно высокого порядка. Чтобы лучше выяснить расположение листов, рассмотрим снова разбиение плоскости w на области, соответствующие верхней (заштрихованной) и нижней (незаштрихованной) полуплоскости z (рис. 71).

Для это разбиение получается с помощью действительной оси и параллелей к мнимой оси, проходящих через точки при этом, как видно из чертежа, получаются треугольные области, которые все простираются до бесконечности; их приходится попеременно заштриховывать и оставлять чистыми. В точках соответствующих и в точках соответствующих встречается по четыре треугольника, и это соответствует четырем полулистам поверхности Римана, которые сходятся в каждой из точек ветвления, лежащих над точками Функция приближается к значению когда мы удаляемся внутри одного какого-нибудь треугольника вверх или вниз до бесконечности. Это соответствует тому, что на римановой поверхности в точке сходятся две отдельные системы из бесконечного числа листов каждая. В случае дело обстоит совершенно аналогично с той только разницей, что чертеж в плоскости w следует представить себе передвинутым на у вправо. На этих чертежах находят подтверждение сделанные нами выше (по поводу теоремы Пикара) указания относительно природы существенно особой точки

Рис. 71