Инвариантность числа измерений при непрерывном отображении.

Теперь мы приходим к важному вопросу о том, при каких отображениях сохраняется различие между континуумами различного числа измерений Дело в том, что взаимно однозначное отображение самого общего вида, как нам уже известно, уничтожает между ними всякое различие. Ответ дает следующая важная теорема: число измерений континуума инвариантно по отношению ко всем взаимно однозначным и взаимно непрерывным отображениям; другими словами, при невозможно отобразить взаимно однозначно и взаимно непрерывно континуум на Быть может, вы склонны принять эту теорему без дальнейших обсуждений как самоочевидную; но вы не должны забывать того, что наивное представление, по-видимому, исключало также возможность взаимно однозначного соответствия между вообще, и это побуждает нас быть осмотрительными по отношению к тому, что нам представляется очевидным.

Я хочу здесь подробнее разобрать только простейший случай, в котором речь идет о сопоставлении одномерного континуума с двумерным, а затем укажу лишь вкратце, какие трудности стоят на пути распространения этого доказательства на общий случай Итак, мы хотим доказать, что взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение континуума на невозможно. Здесь каждое слово имеет существенное значение: мы уже знаем, что здесь нельзя опустить требования непрерывности; с другой стороны, пример известной, конечно, многим из вас «кривой Пеано» показывает, что и взаимная однозначность не может быть опущена.

Прежде всего установим следующую лемму:

Пусть одномерный континуум непрерывно отображен в другой одномерный континуум и притом так, что всякому элементу из соответствует, самое большее, один элемент из тогда, если а и b — два элемента из которым соответствуют в два элемента а и b, то всякому элементу с из который лежит между а и b, соответствует в некоторый элемент с, лежащий между а и b (рис. 127). Эта лемма аналогична известной теореме, согласно которой непрерывная функция которая принимает в точках b значения а и b, принимает также всякое значение с, лежащее между а и b, в некоторой точке с, заключенной между а и b.

Рис. 127

Рис. 128

Действительно, нашу лемму можно доказать как точное обобщение этой теоремы исключительно на основании понятия непрерывности, если только саму непрерывность отображения непрерывных упорядоченных множеств определить вполне аналогично известному определению непрерывности функции; это удается сделать на основании одного только понятия линейного порядка. Но здесь не место подробнее развивать эти указания.

Теперь перейдем к нашему доказательству. Предположим, что одномерный отрезок отображен на квадрат взаимно однозначно и непрерывно (рис. 128). Пусть при этом двум точкам а, b отрезка отвечают точки А, В квадрата Эти точки мы можем соединить внутри множества двумя различными путями, например указанными на рисунке ломаными При этом нам не нужно предполагать никаких особых свойств множества вроде задания его с помощью координат и т. мы должны лишь воспользоваться представлением о двумерности множества

Но тогда, конечно, как так и представляют собой одномерные линейно упорядоченные континуумы, аналогичные в силу же предположенного взаимно однозначного и непрерывного соответствия множеств всякому элементу из должен отвечать самое большее один элемент на или на Таким образом, как раз выполнены предположения нашей леммы; следовательно, всякой точке с на лежащей между а и b, должна отвечать как точка С на так и точка С на но это противоречит предположенной взаимной однозначности соответствия, имеющего место между Таким образом, мы видим, что такое отображение невозможно, и этим доказательство завершено.

Чтобы распространить это доказательство на два любых континуума надо предварительно знать, каковы могут быть различные континуумы измерений самого общего вида, содержащиеся в если то оказывается, что одного только понятия «между», как только что в простейшем случае, недостаточно для того, чтобы провести доказательство. Эти случаи приводят к крайне сложным исследованиям, которые уже с самого начала охватывают очень трудные вопросы, лишь в последнее время несколько выясненные и имеющие основное значение в геометрии, а именно вопросы о наиболее общих непрерывных одномерных совокупностях точек в плоскости, в особенности вопрос о том, когда именно такую совокупность можно назвать кривой линией.