Реакция против предельных переходов и бесконечно малых; исчисление производных Лагранжа.

Теперь я должен упомянуть еще о той реакции, которую вызвало такое обоснование анализа на понятии бесконечно малых величин. В этих представлениях очень скоро почувствовали что-то мистическое, недоказуемое; в результате нередко возникало даже предубеждение, будто дифференциальное исчисление является особой философской системой, которую нельзя обосновать, но в которую можно только верить, или даже прямо-таки, выражаясь грубо, подвохом, плутовством. Наиболее резким критиком в этом смысле является философ Беркли, который в небольшой книжке под заглавием «Аналист» в забавной форме вышучивает неясности, царившие в то время в математике. При этом Беркли исходит из той мысли, что по отношению к принципам и методам математики критика должна предоставить себе такую же свободу, какую математики применяют в свою очередь к тайнам религии, и затем самым ожесточенным образом нападает на все методы нового анализа — как на исчисление флюксий, так и на оперирование с дифференциалами; в результате он приходит к тому выводу, что все построение анализа неясно и совершенно непонятно.

Подобные воззрения сохранились среди философов В до настоящего времени; они все еще знают лишь операции с дифференциалами и совершенно не усвой ли себе способа пределов, разработанного в новейшее время до полной строгости.

Для примера позвольте мне процитировать одно только место из книги Баумана «Пространство, время и математика», напечатанной в 60-х годах: «Таким образом мы отвергаем то логическое и метафизическое обоснование, которое дал исчислению Лейбниц, но самого исчисления мы не касаемся. Мы считаем его гениальным изобретением, оправдавшим себя на практике, скорее искусством, чем наукой; построить его чисто логически невозможно, из элементов обыкновенной математики оно не получается...»

Этой же реакцией против дифференциалов следует объяснить и не раз уже упомянутую нами попытку Лагранжа, которая представляется нам теперь опять в новом освещении. Лагранж хочет совершенно удалить из теории не только бесконечно малые величины, но и вообще все предельные переходы; он ограничивается рассмотрением таких функций, которые можно определить посредством степенных рядов

а их «производные функции (Лагранж не признает производной как отношения дифференциалов и не употребляет символа определяет чисто формальным образом, а именно, посредством нового степенного ряда

В соответствии с этим он говорит не о дифференциальном исчислении, а об «исчислении производных». Но, конечно, такое изложение не могло долго удовлетворять математиков. Действительно, с одной стороны, определение функции, принимаемое Лагранжей, слишком узко, как мы это выше подробно выясняли, а с другой стороны, — и это наиболее важно — такие исключительно формальные определения делают невозможным более глубокое понимание сущности понятия производной или интеграла; они совершенно не принимают во внимание того, что мы называем психологическим моментом; вопрос о том, почему занимаются именно такими своеобразными «производными» рядами, остается без ответа.

Наконец, без изучения пределов можно обойтись только в том случае, если оставить совершенно без внимания вопрос о сходимости этих степенных рядов, но лишь только мы захотим заняться этим вопросом, — а это является, конечно, необходимым для действительного применения рядов, — как увидим себя вынужденными прибегнуть к тому же самому понятию предела, ради устранения которого и придумана вся система.

Этим я закончу краткий исторический очерк развития анализа бесконечно малых; я по необходимости ограничился тем, что отметил значение наиболее выдающихся людей, игравших руководящую роль. Конечно, такой очерк следовало бы дополнить более подробным изучением литературы этого периода.