1. В выработке точных понятий сходимости бесконечных рядов и других бесконечных процессов первое место занимает Гаусс с его статьей 1812 г. о гипергеометрических рядах; затем следует работа Абеля 1824 г. о биномиальном ряде, между тем как Коши в двадцатых годах впервые публикует о своем «Курсе анализа» исследования общего характера о сходимости рядов. Результат всех этих работ по отношению к рассматриваемым здесь рядам состоит в том, что все прежние разложения — поскольку они относились к области сходимости — были правильны, причем точные доказательства оказываются, конечно, очень сложными. Относительно подробностей этих доказательств в их современном виде я снова отсылаю интересующихся к «Алгебраическому анализу» Буркгардта или к книге Вебера и Вельштейна.
2. Здесь же я должен упомянуть о точном обосновании анализа бесконечно малых в работах Коши, хотя подробно говорить об этом нам придется позже. Это обоснование сообщило тому изложению теории логарифмов, которое выработалось в XVII в., полную математическую точность.
3. Наконец, я должен упомянуть о той теории, которая одна только могла привести к полному пониманию логарифма и показательной функции, — о теории функций комплексной переменной, кратко называемой теперь «теорией функций». Первым, кто ясно представлял себе основные черты этой теории, был опять-таки Гаусс, хотя он опубликовал об этом очень мало или даже почти ничего. Для нас интересно прежде всего письмо Гаусса к Бесселю от 18 декабря 1811 г., которое было опубликовано, конечно, лишь намного позднее. В этом письме с поразительной ясностью определено значение интеграла 
в комплексной плоскости и объяснено, почему он представляет бесконечнозначную функцию. Впрочем, слава самостоятельного создания и первого опубликования теории комплексных функций и в этом отношении принадлежит Коши.
Результат этих исследований начала XIX в. в приложении к нашему специальному вопросу можно выразить приблизительно так: определение натурального логарифма на основании квадратуры гиперболы обладает такою же строгостью, как и всякое другое определение, и даже более того: оно, как мы видели, превосходит другие определения простотой и наглядностью.
