2. Доказательство трансцендентности числа e

Нам предстоит доказать, что предположение существования равенства

где и коэффициенты — целые числа, ведет к противоречию; это противоречие обнаружится на самых простых свойствах целых чисел. Нам придется ссылаться из теории чисел только на самые элементарные теоремы о делимости, в частности на то, что каждое целое положительное число можно разложить на простые множители только одним способом, и на то, что существует бесчисленное множество простых чисел.

План доказательства заключается в следующем: мы покажем, как можно находить очень хорошие рациональные приближенные значения для числа и его степеней, имеющие следующий вид:

где — целые числа, а — чрезвычайно малые дроби. Умножая затем обе части равенства (1) на М, мы придадим ему такой вид:

Первое слагаемое в левой части является целым числом, и мы докажем, что оно не равно нулю-, второе слагаемое нам удастся, выбирая достаточно малые значения для чисел сделать правильной дробью. Мы придем, таким образом, к противоречию, заключающемуся в том, что сумма целого отличного от нуля числа и правильной отличной от единицы дроби равна нулю; отсюда и будет вытекать невозможность равенства (1).

При этом большую услугу вам окажет следующее предложение: целое число, которое не делится на некоторое определенное число, непременно отлично от нуля (потому что нуль делится на всякое число); именно, мы покажем, что числа делятся на некоторое простое число , а число на него заведомо не делится; таким образом, сумма не делится на и, значит, отлична от нуля.

Главным орудием для осуществления доказательства, идея которого только что намечена, является един определенный интеграл; его впервые в таких рассуждениях стал употреблять Эрмит, и поэтому мы можем назвать его интегралом Эрмита; построить его значило найти ключ ко всему доказательству. Мы увидим, что значение этого интеграла есть целое число, и он определит нужное нам число М:

здесь n есть степень предполагаемого уравнения (1), а — некоторое простое число, которое мы определим дальше. При помощи этого интеграла мы найдем также вышеупомянутые приближенные значения (2) для степеней ; для этого мы разобьем интервал на два интервала при помощи числа v и положим

Перейдем теперь к самому доказательству.

1. Исходным пунктом является формула, хорошо известная из элементарной теории функции Г:

Нам придется применять эту формулу только в предположении, что есть число целое; в этом случае сейчас это докажу. При помощи интегрирования по частям найдем

Второй множитель в правой части представляет собой интеграл того же вида, но только в нем показатель при z на единицу меньше; применяя это преобразование несколько раз, мы дойдем при целом до а так как то мы получим окончательно

При целом этот интеграл есть, таким образом, целое число, которое очень быстро возрастает с возрастанием .

Рис. 117

Чтобы сделать этот результат геометрически наглядным, изобразим графически ход изменения функции для различных значений (рис. 117); значение интеграла будет равно площади фигуры, заключенной между кривой и осью z и простирающейся до бесконечности.

Чем больше , тем теснее кривая примыкает к оси абсцисс вблизи точки но зато тем круче она идет вверх, начиная от точки затем она достигает, каково бы ни было максимума при причем с возрастанием этот максимум увеличивается и перемещается вправо; начиная от этой точки, получает преобладающее значение множитель кривая начинает падать и, наконец, опять очень близко подходит к оси абсцисс. Теперь понятно, что площадь — наш интеграл — всегда остается конечной, но с возрастанием сильно возрастает.

2. Пользуясь доказанной формулой, мы теперь легко найдем значение интеграла Эрмита (4). Если мы в числителе раскроем скобки и расположим подынтегральную функцию по убывающим степеням :

(я выписываю здесь только члены с высшей и низшей, т. е. нулевой, степенью ), то этот интеграл примет вид

здесь — постоянные и притом целые числа, которые получаются при указанном выше раскрытии скобок в многочлене. Применяя формулу (5) к каждому из полученных интегралов, мы получим

Все значения индекса суммирования больше , и, значит, отношения — целые числа, содержащие, кроме того, множитель ; если его вынести за скобку, то мы получим

Отсюда мы видим, что М делится или не делится На в зависимости от того, делится или не делится на первое слагаемое Но так как есть число простое, то это слагаемое заведомо не будет делиться на , если не входит в состав ни одного из его сомножителей а это заведомо будет иметь место, если

Этому условию удовлетворяет бесчисленное множество простых чисел; выбрав любое из них, мы достигнем того, что а значит, и М, заведомо не будет делиться на .

Так как, по предположению, то нам легко сделать так, чтобы и не делилось на для этого достаточно только выбрать большим, чем что, как следует из сказанного выше, конечно, возможно. Но тогда произведение также не делится на , и мы достигли, таким образом, нашей первой цели.

3. Исследуем теперь числа , определенные равенствами (4а) Внесем множитель под знак интеграла и введем новую переменную принимающую значения от 0 до когда 2 изменяется от v до тогда мы получим

Это интеграл того же вида, что и рассмотренный ранее интеграл М, и мы можем здесь применить аналогичные преобразования. Раскрыв скобки в числителе подынтегральной функции, мы получим сумму степеней переменной с целыми коэффициентами, причем низшая из этих степеней есть Интеграл выражения, стояшего в числителе, представится теперь в виде суммы интегралов

с целыми коэффициентами, а так как эти последние интегралы имеют, согласно равенствам (5), соответственно значения то эту сумму можно представить в виде числа умноженного на некоторое целое число таким образом, для каждого из рассматриваемых интегралов мы имеем

т. е. все они являются целыми числами, кратными .

Если мы сопоставим это с доказанным в п. 2, то мы увидим, что можно применить указанное выше (с. 337) предложение и сказать: целое число заведомо не делится на и, следовательно, отлично от нуля.

4. Вторая часть доказательства относится к сумме , где, согласно равенству ,

и нам нужно доказать, что, придавая числу надлежащие значения, можно сделать эти сколь угодно малыми; при этом мы воспользуемся тем, что мы можем считать сколь угодно большим, так как те условия, которым мы пока подчинили простое число могут быть удовлетворены произвольно большими простыми числами.

Изобразим, прежде всего, геометрически ход изменения подынтегральной функции (рис. 118).

Рис. 118

При кривая касается оси z, при она касается оси 2 и в то же время пересекает ее (так как — число нечетное). Мы сейчас увидим, что под влиянием знаменателя кривая во всем промежутке не поднимается высоко над осью z, если только взять достаточно большим; таким образом, очевидно, что интеграл будет очень мал, Заметим, что вне этого промежутка (при подынтегральная функция быстро возрастает и затем асимптотически приближается к оси , как и рассмотренная выше функция это объясняет, как получаются эти быстро возрастающие с возрастанием значения интеграла М, взятого по всему промежутку от 0 до

Для того чтобы действительно оценить величины интегралов оказывается достаточным применить следующий грубый прием. Обозначим через G и наибольшие значения модуля функции и функции в промежутке , так что

Так как модуль интеграла не превышает интеграла от модуля подынтегральной функции, то для каждого v мы имеем

Числа не зависят от , а стоящий в знаменателе факториал возрастает, как известно, быстрее, чем степень или, точнее, при достаточно большом дробь делается меньше какого угодно наперед заданного числа, как бы мало оно ни было. Равенство (6) показывает, таким образом, что, принимая за достаточно большое число, мы можем сделать сколь угодно малым каждое из чисел

Отсюда непосредственно следует, что мы можем сделать сколь угодно малой сумму состоящую из членов; в самом деле,

согласно равенству (6) это выражение не превосходит

а так как множитель, заключенный в скобки, имеет постоянное не зависящее от значение, то благодаря множителю мы можем всю правую часть, а следовательно, и левую, т. е. сделать как угодно малой в частности меньше единицы.

Но это приводит нас к тому противоречию с равенством (3):

которое мы выше имели в виду оно состоит в том, что целое число, отличное от нуля, после прибавления к нему правильной дроби должно обратиться в нуль. Поэтому последнее равенство не может иметь места, и таким образом доказана трансцендентность числа е.

Теперь мы перейдем к доказательству трансцендентности числа .