1. Двучленное уравнение z^n = w

Как известно, формальное решение этого уравнения получают, вводя знак корня или радикала: но от этого мы не много выигрываем в смысле знания функциональной зависимости, связывающей z и w. Поэтому станем поступать согласно нашему общему приему: вводим однородные переменные

и составляем функциональный определитель числителя и знаменателя правой части:

Для этого определителя и — или, в неоднородной форме, — представляют собой корни кратности; следовательно, известны все замечательные точки с общей суммой кратностей Но (согласно нашей общей теореме) над соответствующими в силу зависимости местами ветвления находятся две точки ветвления поверхности Римана над сферой w, и притом кратность той и другой равна так что в каждой из них сходятся циклически все листов. Обозначим через 6 действительную прямую на сфере w и разрежем все листы римановой поверхности вдоль линий, расположенных над этой прямой, сдвинув предварительно линии ветвления соответствующим образом. Из полусфер, на которые распадается при этом поверхность, представим себе заштрихованными те, которые соответствуют значениям w с положительной мнимой частью. На действительной прямой различаем полупрямую (луч) положительных действительных чисел (сплошная линия на рис. 38) и луч отрицательных чисел (пунктир).

Рис. 38

Теперь исследуем изображения этой прямой S на сфере z, производящие характеристическое деление последней на полуобласти. Вдоль положительного луча имеем где пробегает значения от О до Поэтому на основании известной формулы из теории комплексных чисел находим

Эти значения z заполняют для различных k те полупрямые (меридианы) сферы которые составляют с лучом положительных чисел углы

Таким образом, эти линии соответствуют той дуге, которая изображена сплошной линией. Аналогично, на отрицательной полупрямой сферы w надо положить где снова это дает

где . Эти значения заполняют меридианов сферы z с «географическими долготами»

которые, таким образом, делят пополам углы между предыдущими меридианами. Таким образом, сфера z распадается на равных двусторонников с вершинами в севернрм и южном полюсе — подобно тому, как надрезают апельсин. Это разбиение в точности соответствует общей теории; в частности, только в замечательных точках — в обоих полюсах — пересекаются более чем две полуобласти, а именно что соответствует кратности Что же касается распределения заштрихованных и незаштрихованных полуобластей, то необходимо определить относительно одной какой-нибудь полуобласти, следует ли ее заштриховать или нет; тогда остальные полуобласти придется заштриховать через одну. Если смотреть на заштрихованную половину сферы w, то мы увидим, что сплошная часть ее периферии лежит влево от нас, а пунктирная вправо.

А так как мы имеем дело с конформным отображением без переворачивания углов (или «прямым» конформным отображением), то и каждая заштрихованная полуобласть на сфере должна быть так расположена, что сплошная часть ограничивающей ее линии лежит слева, а пунктирная часть справа"). Это дает нам полное знание распределения полуобластей на сфере . Следует обратить внимание на характерное различие в распределении областей на обеих половинах сферы в зависимости того, четно или нечетно, как это видно на рис. 39 и 40 для случаев и

Рис. 39

Рис. 40

Хочу обратить ваше внимание и на то, насколько действительно необходимо перейти к комплексной сфере для полного понимания положения вещей; в случае комплексной плоскости мы получили бы разбиение на углы с общей вершиной в начале координат, и представлялось бы далеко не таким наглядным то, что как замечательная точка и как место ветвления имеют то же значение, что и точки

Теперь мы имеем основу для полного выяснения функциональной связи между и w; остается только изучить конформное отображение каждого из сферических двусторонников на ту или другую полусферу w. Но я не стану здесь входить в рассмотрение этого вопроса; всякому, кому приходилось иметь дело с конформным отображением, этот случай знаком как один из простейших и в высшей степени наглядных примеров.

К способам численного определения z нам. еще придется вернуться ниже.

Теперь же займемся важным вопросом о взаимоотношении между отдельными однородными полуобластями на сфере . Точнее говоря: принимает одно и то же значение в соответственных точках всех заштрихованных областей; не выражаются ли отвечающие этим точкам значения z простым образом друг через друга? Действительно, мы сразу видим, что для где — какой-нибудь из корней степени из единицы, всегда принимает одно и то же значение во всех точках

Поэтому эти точек распределены как раз меду всеми заштрихованными областями и пробегают по каждой из них, когда z движется по одной какой-нибудь; то же имеет место и для незаштрихованных областей. Но каждая подстановка вида (2) геометрически означает поворот сферы z около вертикальной оси ) на уголу так как в комплексной плоскости, как известно, умножение на изображает поворот около начала на угол . Таким образом, соответственные точки наших сферических областей, как и сами области, переходят друг в друга при таких поворотах около вертикальной оси.

Поэтому, если бы мы заранее могли определить хоть одну заштрихованную область сферы, то это замечание дало бы нам и остальные области. При этом применяется только то свойство подстановок (2), что они преобразуют уравнение (1) само в себя (т. е. превращают уравнение ) и что число их совпадает со степенью уравнения. В дальнейших примерах мы всегда будем иметь возможность заранее указать такие линейные подстановки и постоянно будем пользоваться тем существенным упрощением, которое благодаря этому вносится в решение вопроса о разбиении на области.

Теперь мы воспользуемся нашим примером для выяснения одного важного понятия весьма общего характера, а именно, понятия неприводимости в приложении к уравнениям, которые рационально содержат один параметр w. О неприводимости уравнений с рациональными числовыми коэффициентами мы говорили по поводу построения правильного семиугольника. Уравнение (например, наше уравнение в котором -многочлен, целый относительно z, и коэффициенты которого являются рациональными функциями от w, называется приводимым по отношению к параметру w, если разлагается в произведении двух многочленов того же рода:

в противном случае уравнение называется неприводимым относительно w. Все обобщение по сравнению с прежним понятием сводится к тому, что под «областью рациональности», в которой мы оперируем и к которой должны принадлежать все коэффициенты рассматриваемых многочленов, вместо совокупности всех рациональных чисел теперь мы понимаем совокупность всех рациональных функций одного параметра мы переходим, таким образом, от точки зрения чистой теории чисел к точке зрения теории функций.

Изображая наглядно всякое уравнение посредством его римановой поверхности, можно установить простой критерий приводимости в этом новом смысле. В самом деле, если уравнение приводимо, то всякая пара значений удовлетворяющая ему, должна обращать в нуль либо либо Но решения уравнений изображаются их римановыми поверхностями, которые не имеют между сообой ничего общего и, в частности, нигде не скреплены. Следовательно, риманова поверхность, принадлежащая приводимому уравнению должна распадаться по крайней мере на две раздельные части.

Поэтому мы можем теперь сразу же утверждать, что уравнение неприводимо в понимании теории функций.

В самом деле, в каждой точке разветвления ее римановой поверхности, которая нам в точности известна, циклически связаны между собой все листов, и, кроме поверхность отображается на связную сферу ; поэтому распадения на части нет.