ПРИЛОЖЕНИЯ

I. ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТЬ ЧИСЕЛ e И pi

1. Исторические замечания

Интерес к числу я возник — в геометрической форме — еще в древности, и тогда уже вполне сознавали разницу между задачей приближенного вычисления его и задачей точного теоретического построения и даже обладали некоторыми предпосылками для решения обеих задач. Решение первой задачи значительно подвинулось вперед благодаря Архимеду и его способу приближения к кругу при помощи вписанных и описанных многоугольников; второй задаче скоро дали более точную формулировку: можно ли построить число я при помощи циркуля и линейки? — и стали пробовать найти это построение всевозможными способами, не догадываясь, что причиной постоянных неудач является неразрешимость задачи. Но и теперь «квадратура круга» является одной из самых популярных задач, и множество людей — как я уже говорил раньше — хотят попытать на ней счастье, не зная или не веря, что современная наука давно с ней покончила.

Между тем эти старые задачи теперь действительно вполне решены. Принципы, на которых основано современное решение этих задач, были найдены в промежуток времени от Ньютона до Эйлера. Для приближенного вычисления я было найдено прекрасное средство в виде бесконечных рядов, которые дают возможность достигнуть точности, удовлетворяющей самым строгим требованиям.

Дальше всех в этом направлении пошел англичанин Шарп, который на шел 600 десятичных знаков числа ; это вычисление имеет только, так сказать, спортивный интерес, как рекорд, потому что в приложениях никогда не потребуется знать я с такою точностью. Что же касается теоретической стороны вопроса, то в этот период в исследованиях впервые появляется число , основание натуральных логарифмов. В это время было открыто удивительное соотношение и подготовлено в виде интегрального исчисления важное орудие для окончательного решения вопроса.

Решительный шаг в этом направлении сделал, как известно, Эрмит, который в 1874 г. доказал трансцендентность числа е. Однако доказательства трансцендентности числа я он не нашел; это удалось впервые Линдеману в 1882 г.

Здесь мы имеем существенное обобщение классической постановки вопроса; там речь шла только о том, чтобы построить я при помощи циркуля и линейки, а это, как мы знаем, аналитически сводится к тому, чтобы представить я как результат нескольких последовательных извлечений корня квадратного из рациональных чисел. Теперь же доказывается не только то, что это невозможно, но нечто гораздо большее; именно, показано, что как так и в суть числа трансцендентные, т. е. что их вообще нельзя связать с целыми числами никаким алгебраическим соотношением. Другими словами, ни , ни я не могут быть корнями алгебраического уравнения

каковы бы ни были целые коэффициенты и показатель . Самое существенное здесь — это целые коэффициенты, достаточно было бы, собственно, сказать «рациональные» коэффициенты, потому что, приводя к общему знаменателю и отбрасывая его, мы всегда можем свести уравнение с рациональными коэффициентами к уравнению с целыми коэффициентами.

Я теперь приведу доказательство трансцендентности числа , причем буду пользоваться теми существенными упрощениями, которые сделал в нем Гильберт в 1893 г.