Множества более высоких мощностей.

В результате всего сказанного до сих пор мы убеждаемся в том, что существуют, во всяком случае, две различные между собой мощности: 1) мощность счетных множеств, 2) мощность всех континуумов (непрерывных протяженностей) вплоть до

Теперь естественно возникает вопрос о том, существуют ли еще большие мощности; оказывается, что действительно возможно указать еще большую мощность и притом не только при помощи абстрактных рассуждений, но даже оставаясь исключительно в пределах тех понятий, которые и без того всегда применяются в математике; а именно, такой еще большей мощностью, обладает: 3) множество всевозможных действительных функций действительной переменной

Здесь достаточно ограничиться изменением переменной в промежутке Прежде всего приходит в голову, что речь идет о множестве непрерывных функций Однако здесь имеет место следующая замечательная теорема: множество всех непрерывных функций обладает мощностью континуума и, следовательно, принадлежит к группе 2). Новую большую мощность мы получим только в том случае, если примем во внимание также разрывные функции самого общего вида, какие только можно себе представить; иными словами, если со всякой точкой будем сопоставлять совершенно произвольное значение функции, не обращая никакого внимания на соседние значения ее.

Рис. 126

Сначала я докажу упомянутую теорему относительно множества непрерывных функций; мне придется для этого повторить те соображения, которые служили нам выше для того чтобы выяснить возможность разложения «произвольных» функций в тригонометрические ряды; впрочем, я должен буду местами придать этим рассуждениям более тонкий характер. Там уже были установлены следующие утверждения.

a) Непрерывная функция вполне определяется ее значениями во всех рациональных точках (рис. 126).

b) С другой стороны, нам известно, что все рациональные значения можно расположить в один счетный ряд

Поэтому функция( оказывается вполне определенной, если известно счетно бесконечное множество ее значений Конечно, эти значения нельзя выбирать совершенно произвольно, если мы желаем получить непрерывную функцию. Но множество всех возможных систем значений содержит, во всяком случае, как часть такое множество, которое имеет одинаковую мощность с множеством всех непрерывных функций

d) Величины можно рассматривать как координаты в пространстве так как они ведь представляют собой счетное бесконечное множество действительных чисел. Следовательно, согласно доказанной раньше теореме множество всевозможных систем значений непрерывных функций содержится в множестве которое имеет мощность континуума;

e) Являясь частью этого множества, допускающего взаимно однозначное соответствие с одномерным континуумом, само множество всех непрерывных функций может быть взаимно однозначно сопоставлено с некоторым множеством, составляющим часть континуума.

f) Далее, мы без труда можем убедиться в том, что и, наоборот, весь континуум можно взаимно однозначно отобразить в некоторую часть множества непрерывных функций. Для этого стоит только рассмотреть функции , определяемые условиями где k — действительный параметр. Когда k пробегает континуум функция действительно пробегает часть множества всех непрерывных функций, отображенную взаимно однозначно на

Теперь мы должны воспользоваться так называемой теоремой об эквивалентности, которую доказал Ф. Бернштейн: если каждое из двух множеств эквивалентно некоторой части другого множества, то эти два множества эквивалентны между собой. Эта теорема представляется в достаточной степени очевидной; ее подробное доказательство завело бы нас слишком далеко.

h) Континуум и множество всех непрерывных функций находятся между собой согласно е) и f) как раз в том отношении, которое предполагает теорема об эквивалентности; следовательно, они обладают одинаковой мощностью, и, таким образом, наша теорема доказана.

Теперь перейдем к интересному доказательству нашего второго утверждения, что множество всевозможных вполне произвольных функций обладает большей мощностью, чем континуум, это доказательство представляет собой непосредственное применение диагонального метода Кантора.

a) Допустим, что наше утверждение ложно, т. е. что множество всех функций можно взаимно однозначным образом отобразить на континуум Предположим, что при этом отображении всякой точке соответствует некоторая функция аргумента так что когда v пробегает весь континуум. пробегает все возможные функции аргумента Мы приведем это допущение к противоречию, построив функцию отличную от всех функций .

b) Для этого образуем «диагональную функцию» схемы функций другими словами, такую функцию, которая во всякой точке принимает такое же значение, какое в этой же точке принимает функция соответствующая значению параметра т. е. значение Мы получаем таким образом функцию от

Теперь построим такую функцию которая отличается во всякой точке от значения функции для всякого конкретного значения Достигнуть этого можно самыми разнообразными способами, так как мы ведь допускаем совершенно разрывные функции, значение которых в каждой точке может быть определено произвольным образом. Примером может служить функция

d) Эта функция действительно отлична от каждой из функций . В самом деле, если бы было для какого-нибудь определенного значения параметра то это равенство значений функций должно было бы иметь место, в частности, и в точке и, следовательно, было бы Но это противоречит допущению с) относительно функции

Этим опровергается предположение а), будто функциями можно исчерпать все множество функций; следовательно, наше утверждение доказано.

Интересно сравнить это доказательство с вполне аналогичным доказательством несчетности континуума.

Подобно тому как там мы допускали возможность расположения всех десятичных дробей в одну счетную схему, так и здесь мы рассматриваем схему функций там мы выделяли диагональные элементы; здесь этому соответствует построение диагональной функции то и другое находит затем одинаковое применение в образовании новой, не содержащейся в схеме десятичной дроби и соответственно новой функции.

Вы легко можете себе представить, что при помощи подобных рассуждений можно восходить к бесконечным множествам все большей и большей мощности, большей, чем те три мощности, с которыми мы познакомились до сих пор. Но самым замечательным из всех этих результатов представляется то, что между различными бесконечными множествами вообще существуют такие различия и градации; мы разрушали все особенности, как, например, их упорядоченность, и сохраняли только их отдельные элементы, своего рода их атомы, как вещи, существующие совершенно независимо друг от друга и допускающие произвольную перетасовку между собой. Важно еще и то, что три из этих градаций мы смогли установить, оставаясь в рамках обычных в математике вещей — целых чисел, континуумов (непрерывных протяженностей) и функций.

Этим я закончу первую часть моего изложения теории множеств, посвященную понятию мощности. В такой же конкретной форме, но только еще более кратко я хочу сообщить вам теперь кое-что из второй части учения о множествах.