ВВЕДЕНИЕ

В последние годы в среде университетских преподавателей математики и естествознания стал обнаруживаться интерес к вопросу о целесообразной, соответствующей всем потребностям, подготовке кандидатов на учительские должности. Это явление замечается сравнительно недавно. До того в течение долгого периода в университетах культивировалась исключительно высокая наука без внимания к тому, что, собственно, нужно школе; об установлении связи между университетским преподаванием и школьной математикой никто не заботился. Но к каким последствиям привела такая практика? Вступая в высшую школу, молодой студент оказывается лицом к лицу с такими задачами, которые совершенно не напоминают ему того, чем он до сих пор занимался; естественно, что все это он быстро и основательно забывает. Когда же он заканчивает университетское образование и становится преподавателем, он вынужден в качестве учителя преподавать традиционную математику; не будучи в состоянии самостоятельно связать эту задачу с тем, что он слышал в высшей школе, он быстро усваивает старую традицию; университетское же образование остается у него только в виде приятного воспоминания, не оказывающего никакого влияния на его преподавание.

В настоящее время возникло стремление уничтожить этот двойной разрыв, который, несомненно, был одинаково вреден как для средней, так и для высшей школы. Именно, мы стараемся, с одной стороны, провести через весь материал школьного обучения те идеи, которые отвечают современному развитию науки и общей культуры (к этому мы еще неоднократно "будем возвращаться); с другой стороны, мы стараемся в университетском преподавании принять во внимание нужды учителей.

В этом именно деле очень полезным средством представляются мне научные обзоры, к одному из которых мы нынче приступаем. Я имею, следовательно, перед собой не начинающих; напротив, я считаю, что всем вам общий материал важнейших математических дисциплин хорошо знаком. Мне придется неоднократно говорить о задачах алгебры, теории чисел, теории функций, не входя в детали. Вы должны быть со всеми этими вещами до некоторой степени знакомы. Моя задача будет постоянно заключаться в том, чтобы выдвигать взаимную связь между вопросами отдельных дисциплин (которая часто скрадывается в специальных курсах), чтобы указывать их отношение к вопросам школьной математики. Я полагаю, что этим путем мне удастся облегчить вам достижение цели, которую вы должны иметь в виду при изучении математики в высшей школе: позже, в вашем собственном преподавании, сохранить живую связь с той наукой, которая вам здесь преподносится в изобилии.

Позвольте прежде всего упомянуть о том интересе, который вызывает в последнее время в широких кругах вопрос о подготовке учителей. В частности, эти вопросы очень занимали последний съезд естествоиспытателей в Дрездене, состоявшийся в сентябре 1907 г., на котором мы, согласно представлению педагогической комиссии, приняли «предложения относительно научной подготовки преподавателей математики и естествознания».

В качестве введения в настоящий курс я хочу обратить ваше внимание на то, что три года назад я читал лекции, преследовавшие такую же цель, как и настоящий курс. Мой тогдашний ассистент Р. Шиммак обработал эти лекции, и первая часть их недавно появилась в печати. В них идет речь о различного рода школах, включая и высшие, об общем ходе преподавания и о взаимной связи между этими школами. Здесь, как бы в виде продолжения того же изложения, я буду останавливаться на том, что относится собственно к математике и что имеет то или иное отношение к преподаванию. Часто касаясь преподавательской практики, я основываюсь при этом не на одних только расплывчатых соображениях о том, как это дело могло бы обстоять, или же на собственных старых школьных воспоминаниях; напротив, я нахожусь в постоянном общении с Шиммаком, который в настоящее время преподает здесь в одной гимназии и постоянно осведомляет меня о настоящем положении преподавания, несомненно ушедшем далеко вперед по сравнению с прошлым.

В настоящем семестре я намерен изложить «три великие А»: арифметику, алгебру и анализ; продолжение же этого курса в следующем семестре будет посвящено геометрии. Замечу кстати, что в высших учебных заведениях эти три отдела нередко именуются общим названием арифметики-, да и вообще мы не раз встретимся с отклонением терминологии, принятой в школе, от той, которая царит в высшем учебном заведении. Только живое общение, как вы видите на этом незначительном простом примере, может привести к взаимному пониманию.

Обращу ваше внимание на обширное сочинение, которое, в общем, преследует те же цели, какие имею и я в виду; это — «Энциклопедия элементарной математики» Вебера и Велыитейна. Укажу сейчас же на некоторое различие между этим сочинением и планом настоящего курса. У Вебера и Вельштейна элементарная математика систематически и логически развивается на зрелом математическом языке, доступном студенту, далеко подвинувшемуся в свои занятиях. О том, в каком собственно виде этот материал должен фигурировать в школе, здесь вовсе нет речи. Между тем изложение в школе, выражаясь образно, должно быть психологическим, а не систематическим. Учитель должен быть, так сказать, дипломатом; он должен учитывать душевные движения юноши, должен уметь возбудить его интерес, а это будет ему удаваться только в том случае, если он будет излагать вещи в наглядной, доступной форме. Лишь в старших классах возможно также и более абстрактное изложение.

Приведем пример. Ребенок никогда не поймет излагаемый материал, если мы будем вводить числа аксиоматически, как объекты, не имеющие никакого реального содержания, над которыми мы оперируем по формальным правилам, установленным принятыми нами соглашениями.

Напротив, он соединяет с числами реальное представление, они являются для него не чем иным, как количествами орехов, яблок и тому подобных хороших вещей; только в такой форме эти вещи можно передавать в начальном обучении, только в этой форме их и будут в действительности передавать детям. Но и вообще, во всем ходе обучения математике, даже в высшей школе, необходимо всегда указывать на связь между этой наукой и теми интересами, которые занимают учащегося в повседневной жизни. Это именно имеют в виду новые тенденции, стремящиеся поднять прикладную математику в университете. Впрочем, в школе этим требованием никогда не пренебрегали в такой мере, как в университете. Эти психологические моменты я и намерен подчеркнуть в своих лекциях.

Другое различие между книгой Вебера и Вельштейна и моей точкой зрения заключается в разграничении материала школьной математики. В этом отношении Вебер и Вельштейн настроены «консервативно», я же «прогрессивно». Мы, которых называют теперь реформаторами, стремимся положить в основу преподавания понятие функции, ибо это есть то понятие. которое в течение последних 200 лет заняло центральное место всюду, где только мы встречаем математическую мысль. Это понятие мы желаем выработать при преподавании столь рано, как это только возможно, постоянно применяя графический метод изображения каждого закона в системе координат (х, у), которая теперь употребляется при всяком практическом применении математики. Чтобы сделать возможным это нововведение, мы готовы отказаться от многих частей материала, входящего в состав действующих программ; эти вопросы, несомненно, интересны сами по себе, но по общему своему значению и по связи со всей современной культурой они представляются менее существенными. Развитие пространственных представлений должно при этом играть первенствующую роль.

Обучение в школе должно проникнуть вверх, в область начал исчисления бесконечно малых в такой мере, чтобы молодой человек выходил уже из средней школы во всеоружии того математического материала, без которого будущий естествоиспытатель или страховой деятель совершенно не в состоянии обойтись. В противоположность этим сравнительно современным идеям, Вебер и Вельштейн по существу держатся старого разграничения материала. В настоящих лекциях я имею, конечно, целью пропагандировать те идеи, которых я придерживаюсь.