3. Заключительные замечания о значении учения о множествах и о преподавании в школе

Этим я закончу изложение учения о множествах и прибавлю еще лишь несколько замечаний общего характера. Прежде всего несколько слов о тех общих идеях, которые выработал Кантор по вопросу о положении, занимаемом учением о множествах по отношению к геометрии и анализу; эти идеи выставляют в особом свете значение учения о множествах.

Через всю историю математики, так же как и через все философские рассуждения о ее природе, проходит, как известно, красной нитью различие между дискретной арифметической величиной и непрерывной геометрической величиной. В новейшее время особенно стали выдвигать на первый план дискретную величину как наиболее легкую для понимания; на целые натуральные числа стали смотреть как на данные простейшие понятия, выводя из них по известному способу рациональные и иррациональные числа; таким образом в конце концов был получен весь аппарат, необходимый для господства анализа в геометрии, т. е. аналитическая геометрия. Эту тенденцию современного развития математики можно назвать арифметизацией геометрии: геометрическая идея непрерывности оказывается сведенной к идее целых чисел. Этого же направления мы придерживались в основном и в настоящих лекциях.

И вот в противовес этому одностороннему предпочтению целых чисел Кантор желает — как он сам мне говорил на съезде естествоиспытателей в Касселе — достигнуть «истинного слияния арифметики и геометрии» в учении о множествах, другими словами, он желает представить учение о целых числах, с одной стороны, и теорию различных образов, непрерывно составленных из точек, с другой стороны, а также еще многое другое как равноправные и объединенные главы общего учения о множествах или совокупностях.

Я хотел бы еще присоединить сюда же кое-какие общие замечания об отношении учения о множествах к геометрии. В учении о множествах мы рассматривали:

1) мощность множеств как нечто такое, что сохраняется при всех взаимно однозначных отображениях;

2) порядковые типы множеств, соответствующие различным комбинациям элементов в отношении их порядка. Здесь мы имели возможность охарактеризовать понятие непрерывности, различные многомерные расположения, или континуумы различного числа измерений и т. п.; таким образом, в конечном счете сюда принадлежат вообще инварианты непрерывных отображений.

При перенесении в геометрию это образует дисциплину, обозначенную со времени Римана термином «Analysis situs» (анализ положения); это — наиболее абстрактная глава геометрии; она исследует только те свойства геометрических образов, которые сохраняются при самых общих непрерывных взаимно однозначных отображениях. Впрочем уже Риман употреблял слово «многообразие» в весьма общем смысле. Этим же словом пользовался вначале и Кантор, и лишь позднее он заменил его более кратким и потому более удобным термином «множество», который к тому же имеет одинаковый с первым словесный корень.

В настоящее время употребление слова «множество» настолько укоренилось, что считается совершенно отсталым всякий, кто еще говорит «многообразие».

3) Переходя к конкретной геометрии, мы встречаемся с различием между метрической и проективной геометрией. Здесь мало знать, что, например, прямая имеет одно измерение, а плоскость — два измерения; здесь нужно строить или сравнивать фигуры, причем желательно иметь в своем распоряжении постоянный масштаб или по крайней мере уметь проводить прямые в плоскости и плоскости в пространстве. Конечно, для каждой из этих конкретных областей необходимо к общим свойствам расположения присоединить специальную аксиоматику. Это означает, следовательно, дальнейшее развитие учения о непрерывных множествах в линейном, двумерном и вообще многомерном расположении.

В мою задачу не может теперь входить более подробное рассмотрение этих вещей, о которых мне к тому же придется подробно говорить в своих лекциях по геометрии в ближайшем семестре.

В заключение этих замечаний о теории множеств мы должны снова поставить тот же самый вопрос, который сопровождал все наши лекции: чем из всего этого можно воспользоваться в школе? Здесь этот вопрос можно, пожалуй, счесть за совершенно излишний, так как ведь всякий должен согласиться, с тем, что к ученику нельзя подходить с такими абстрактными и трудными вещами.

Я хотел бы точнее выразить мое отношение к этому вопросу, а именно, сослаться на тот биогенетический основной закон, по которому индивид в своем развитии пробегает в сокращенном виде все стадии развития вида; эти идеи стали в настоящее время общим достоянием образованного человека. Этому основному закону, я полагаю, должно было бы следовать — по крайней мере в общих чертах — и преподавание математики, как и вообще всякое преподавание. Мы должны приспособляться к природным склонностям юношей, медленно вести их к высшим вопросам и лишь в заключение ознакомить их с абстрактными идеями; преподавание должно идти по тому же самому пути, по которому все человечество, начиная со своего наивного первобытного состояния, дошло до вершин современного знания! Необходимо всегда повторять это требование, так как всегда находятся люди, которые по примеру средневековых схоластов начинают свое преподавание с самых общих идей и защищают этот метод как якобы единственно научный. А между тем это основание неправильно: научно обучать значит учить человека научно думать, а не оглушать его с самого начала холодной, научно наряженной систематикой. Существенное препятствие к распространению такого естественного и поистине научного метода обучения представляет собой, несомненно, недостаток в знакомстве с историей математики. Чтобы с этим бороться, я особенно охотно вплетал в мое изложение многочисленные исторические моменты. Пусть это покажет вам, как медленно возникали все математические идеи, как они почти всегда всплывали сперва скорее в виде догадки и лишь после долгого развития приобретали неподвижную выкристаллизованную форму систематического изложения. Пусть это знание — этим пожеланием я хотел бы закончить мои лекции — окажет продолжительное влияние на характер вашего собственного преподавания в школе!