IV. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

1. Обыкновенные комплексные числа

Позвольте мне предпослать несколько исторических указаний о развитии этих чисел. Впервые мнимые числа появляются в 1545 г. у Кардано (Cardano), но и то случайно, при решении кубического уравнения. Относительно их дальнейшего развития можно повторить замечание, сделанное нами по поводу отрицательных чисел: помимо и даже против воли того или другого математика мнимые числа снова и снова появляются при вычислениях, и лишь постепенно, по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают все более и более широкое распространение.

Конечно, математики делали это не с легким сердцем; мнимые числа долго сохраняли несколько мистическую окраску, какую они и теперь еще имеют в глазах ученика, который впервые слышит об этом удивительном . Для подтверждения я хочу привести вам одну крайне характерную фразу Лейбница, относящуюся к 1702 г.; вот она: «Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что сочетание бытия с небытием». В XVIII в. логическая сторона вопроса еще нисколько не выясняется, но благодаря Эйлеру устанавливается фундаментальное значение мнимых чисел в теории функций: в 1748 г. Эйлер нашел удивительное соотношение

вскрывающее внутреннюю связь тех видов функциональной зависимости, которые встречаются в элементарном анализе. Лишь XIX в. принес с собой логически ясное понимание сущности комплексных чисел. Здесь прежде всего надо указать на геометрическую интерпретацию, к которой почти одновременно пришли многие исследователи на рубеже двух столетий.

Достаточно будет указать на того, кто, несомненно, наиболее глубоко проник в сущность вопроса и дольше всех оказывал влияние на ученый мир, на нашего соотечественника Гаусса; уже в 1797 г., как видно из упомянутого выше его дневника, он вполне владел этой интерпретацией, но он опубликовал ее лишь гораздо позже. Вторым завоеванием XIX в. является создание чисто формального обоснования комплексных чисел, которое сводит это учение к теории действительных чисел; им мы обязаны английским математикам 30-х годов.

Остановимся подробнее на этих двух способах обоснования теории комплексных чисел, эти способы господствуют до настоящего времени. Станем сперва на чисто формальную точку зрения, согласно которой правильность образования новых понятий обусловливается не значением самих объектов, а отсутствием внутреннего противоречия в правилах действий. С этой точки зрения введение комплексных чисел представляется в следующем виде, свободном от всяких следов чего-либо таинственного:

1. Комплексное число есть соединение двух действительных чисел х, у в одну числовую пару, относительно которой принимаются следующие положения:

2. Два комплексных числа х + iy, х + iy считаются равными в том и только в том случае, когда

3. Сложение и вычитание определяются так:

Легко видеть, что при этих условиях остаются в силе все правила сложения, кроме закона монотонности, который не может быть сохранен в старой формулировке, так как комплексные числа по самой своей природе не допускают того расположения в ряд по их величине, которое свойственно натуральным и вообще действительным числам. Ради краткости я не вхожу в рассмотрение той измененной формы, которую приходится поэтому дать закону монотонности.

4. Что касается умножения, то мы устанавливаем, что вычисления производятся так же, как с обыкновенными буквами, но только при этом мы всегда принимаем так что, например,

В результате имеют место все законы умножения, кроме закона монотонности.

5. Деление определяется как действие, обратное умножению, в частности,

в чем легко убедиться перемножением.

Это действие выполнимо всегда, кроме случая , т. е. сохраняется невозможность деления на нуль.

Из всего этого следует, что вычисления с комплексными числами не могут привести к противоречиям, так как мы свели эти вычисления целиком к действительным числам и к известным действиям над ними, а эти последние мы здесь будем считать свободными от противоречий.

После этих чисто формальных рассуждений, естественно, возникает вопрос: возможно ли такое геометрическое или какое-нибудь другое наглядное истолкование комплексных чисел и операций над ними, которое давало бы в то же время наглядное обоснование отсутствия в них внитоенних поотивооечий.

Рис. 13

Всем вам известно — к тому же мне уже приходилось упоминать об этом, — каким образом совокупность точек плоскости в системе координат х, у рассматривают как изображение совокупности комплексных чисел Сумма двух чисел а получается тогда посредством известного построения параллелограмма по соответствующим этим числам точкам и по началу координат О (рис. 13), между тем как произведение получается при помощи точки-единицы посредством построения треугольника, подобного треугольнику

Другими словами, сложение а изображается параллельным переносом плоскости, а умножение гг — подобным преобразованием, т. е. поворотным растяжением при неподвижном начале Этих указаний вполне достаточног чтобы напомнить вам постановку вопроса.

Я хочу воспользоваться здесь случаем, чтобы указать вам на то место у Гаусса, где это обоснование комплексных чисел посредством геометрической интерпретации их высказано вполне отчетливо, благодаря чему оно впервые получило всеобщее признание. В одной работе 1831 г. Гаусс занимается теорией целых комплексных чисел где а и b — целые действительные числа, и распространяет на них теоремы обыкновенной теории чисел относительно простых множителей, квадратичных и биквадратичных вычетов и т. д. О подобных обобщениях теории чисел мы уже упоминали по поводу великой теоремы Ферма.

В собственном сообщении об этой работе Гаусс говорит о том, что он называет «истинной метафизикой мнимых чисел». Здесь он основывает оправдание действий с комплексными числами исключительно на том обстоятельстве, что этим числам и действиям над ними можно дать указанное выше наглядное геометрическое толкование; таким образом, Гаусс нисколько не становится на формальную точку зрения. Вообще же эти довольно длинные, весьма красиво написанные рассуждения Гаусса в высшей степени интересны и заслуживают того, чтобы вы их прочитали. Упомяну еще только о том, что в этой статье Гаусс предлагает вместо слова «мнимый» (imaginar) более ясное слово «комплексный», которое действительно вошло в употребление.