Проблемы интерполирования и разностного исчисления.

Я хочу еще оживить теорему Тейлора тем, что покажу, в каком отношении она стоит к проблемам интерполирования и разностного исчисления. И в этих дисциплинах занимаются вопросом о том, чтобы приближенно изобразить заданную кривую при помощи параболы; но здесь вопрос ставится иначе; здесь парабола не должна примыкать к данной кривой в одной определенной точке, а напротив, требуется, чтобы она пересекала заданную кривую в нескольких заранее указанных точках; вопрос снова заключается в том, в какой мере такая «интерполяционная парабола» представляет собой пригодное приближение. В простейшем случае разница сводится к тому, что кривую заменяют не ее касательной, а ее секущей (рис. 114); аналогично исследуют квадратичную параболу, проходящую через три точки данной кривой, кубическую параболу, проходящую через четыре точки, и т. д.

Такая постановка вопроса в теории интерполирования является вполне естественной и применяется необычайно часто, например при употреблении численных логарифмических таблиц. Действительно, в этом случае как раз допускают, что логарифмическая кривая проходит между двумя значениями, данными в таблице, по прямой линии, и поэтому интерполируют линейно по обычному способу, пользуясь «табличками разностей». Если же это не дает достаточно точных результатов, то применяют и квадратичную интерполяцию.

По отношению к этой общей задаче определение соприкасающихся парабол по теореме Тейлора представляет собой частный случай, а именно здесь все точки пересечения кривой с интерполяционными параболами сливаются в одну точку. Конечно, при такой замене кривой соприкасающимися параболами слово «интерполирование», собственно говоря, не подходит; но, с другой стороны, в задачу интерполирования всегда включают также и экстраполирование-, так, например, секущую сравнивают с кривой не только между ее точками пересечения, но и вне отрезка с концами в этих точках. Поэтому для обозначения всего способа в целом более целесообразным представляется, пожалуй, общее выражение «приближение».

Теперь я намерен указать наиболее важные интерполяционные формулы. Поставим себе прежде всего целью определить параболу порядка, которая пересекала бы данную кривую в произвольно выбранных точках т. е. чтобы ее ординаты в этих точках были равны (рис. 115). Эту задачу решает интерполяционная формула Лагранжа

В этой формуле содержится членов с множителями в числители этих членов не внесены последовательно множители

Справедливость этой формулы можно сразу проверить: с одной стороны, все слагаемые выражения у, а следовательно, и само у представляют собой многочлены степени относительно с другой стороны, все дроби, кроме первой, обращаются при в нуль, а первая обращается при этом в единицу, так что у оказывается равным точно так же при и т. д.

Рис. 115

Рис. 116

Из этой формулы можно получить как частный случай формулу Ньютона, которая исторически, конечно, гораздо старше формулы Лагранжа. Формула Ньютона относится к тому случаю, когда даны равноотстоящие абсциссы (рис. 116). В этом случае имеют большое преимущество обозначения, принятые в разностном исчислении, и поэтому мы сначала познакомимся с ними.

Пусть — приращение переменной соответствующее приращение функции так что

Но в свою очередь представляет собой некоторую функцию от которая при замене переменной на имеет определенную разность — так называемую «вторую разность»

аналогично полагаем далее

и т. д.

Эти обозначения вполне аналогичны обозначениям дифференциального исчисления с той только разницею, что здесь мы имеем дело с определенными конечными величинами и ни о каких предельных переходах нет речи.

Из написанных выше равенств, выражающих определения разностей, непосредственно вытекают такие выражения для значений функции f в последовательных равноотстоящих точках:

Таким же простым образом выражаются значения функции дальнейших равноотстоящих точках через последовательные разности функции в первой точке причем в качестве множителей входят биномиальные коэффициенты.

Формула Ньютона выражает интерполирующую параболу порядка для равноотстоящих точек

т. е. такую параболу, которая при этих абсциссах имеет ординаты, равные соответствующим значениям функции эта формула имеет вид

В самом деле, это, во-первых, многочлен степени относительно во-вторых, при значение у приводится к ); далее, при все члены после второго исчезают и остается что, согласно равенствам (2), как раз равно и т. д. Вообще, таблица (2) показывает, что этот многочлен во всех точках принимает нужные значения.

Если мы хотим в действительности применить с успехом одну из этих формул интерполирования, то нам надо еще знать что-нибудь относительно той точности, с которой они выражают функцию другими словами, мы должны уметь оценить погрешность.

Эту оценку указал Коши в 1840 г., и я охотно приведу здесь ее вывод. Будем исходить из общей формулы Лагранжа, пусть — какое-нибудь значение, заключенное на отрезке, содержащем или вне его (интерполирование или экстраполирование). Через обозначим значение интерполирующей параболы порядка, изображаемой формулой Лагранжа, а через остаток, так что

Согласно определению функции остаток заведомо обращается в нуль при поэтому мы полагаем

Выделение множителя представляется удобным по той причине, что тогда множитель оказывается равным значению производной от для некоторой промежуточной точки — промежуточной в том смысле, что она заключена внутри промежутка, занимаемого точками , что отклонение функции от многочлена степени зависит от общего хода изменения производной -го порядка становится вполне естественным, если принять во внимание, что функция становится равной этому многочлену, когда производная обращается тождественно в нуль.

Что же касается доказательства этой формулы остатка, то его удается провести при помощи такого приема: составляем функцию от новой переменной

где аргумент функции рассматриваем как параметр. Так как по определению

то

Далее, находим, что и так как при последнее слагаемое переходит в и вся правая часть в силу равенства (4) обращается в нуль. Таким образом, мы знаем корней: я функции Теперь применим теорему о среднем значении в обобщенном виде, которая получается посредством повторного применения этой теоремы в ее обычной форме: если некоторая непрерывная функция, имеющая непрерывных производных, обращается в нуль в точках, то ее производная обращается в нуль по крайней мере в одной точке промежутка, содержащего все эти корней. Поэтому, если только функция а вместе с нею обладает непрерывными производными, то существует такая точка заключенная между крайними из значений что

Но

так как производная многочлена степени Р равна нулю, а в последнем слагаемом только высший член дает производную, отличную от нуля. Таким образом, в результате находим

т. е.

а это и требовалось доказать.

Я выпишу подробно, в частности, интерполяционную формулу Ньютона с ее остаточным членом;

где — некоторое значение, заключенное в промежутке, содержащем точек а, Эта формула действительно незаменима в применениях.

Я уже указывал на линейное интерполирование при пользовании таблицами логарифмов; для формула (5) дает

ибо где М — модуль перехода для системы десятичных логарифмов; это дает выражение для ошибки, которую мы совершаем при линейном интерполировании между двумя логарифмами чисел а и взятыми из таблицы. Между прочим, из этой формулы видно, что эта ошибка получает различный знак в зависимости от того, лежит ли число между числами или вне их.

Я не буду больше останавливаться на приложениях, а перейду к замечательной аналогии между интерполяционной формулой Ньютона и формулой Тейлора. В основе этой аналогии лежит следующее обстоятельство: из формулы Ньютона можно очень легко и притом совершенно строго вывести формулу Тейлора с остаточным членом; этот вывод вполне соответствует переходу от интерполяции к приближенным параболам. В самом деле, если при постоянных приращение стремится к нулю, то каждое отношений между конечными разностями, встречающихся в равенстве (5), переходит в соответствующую производную (по предположению, ведь существуют первые производных функций ):

Отсюда следует, что множитель в последнем члене правой части тоже стремится к определенному пределу, а вследствие непрерывности функции, этим пределом опять является некоторое среднее значение Итак, мы получаем совершенно строгое равенство

Таким образом, мы вполне доказали теорему Тейлора и в то же время показали, с каким изяществом ее можно привести в связь с общим учением об интерполяции.

Благодаря этой тесной связи с очень простыми вопросами и благодаря тому, что предельный переход здесь так легок, я считаю этот вывод формулы Тейлора лучшим из всех возможных выводов. Однако не все математики, даже хорошо знакомые с этими вещами, — нужно, впрочем, заметить, что, как это ни странно, их часто не знают даже составители учебников, — придерживаются этого мнения; они обыкновенно принимают очень серьезный вид, приступая к предельному переходу, и предпочитают дать непосредственное доказательство теоремы Тейлора, чем вывод ее при помощи исчисления конечных разностей.

Но я могу здесь же отметить, что исторически источником открытия ряда Тейлора было именно разностное исчисление. Как я уже упоминал, в первый раз этот ряд построил Тейлор в 1715 г. он выводит сначала формулу Ньютона, — конечно, без остаточного члена — и потом полагает в ней одновременно он вполне правильно получает из первых членов этой формулы первые члены нового ряда:

и считает очевидным, что этот ряд можно продолжать до бесконечности, — ни об остаточном члене, ни о сходимости у него нет и речи. Это — неслыханный по своей смелости предельный переход. Первые члены, в которых встречается не представляют трудностей, так как при исчезает также повторенное конечное число раз. Но при дальнейшем возрастании появляются в постоянно возрастающем числе члены, содержащие множители с постоянно возрастающими значениями k, и мы, конечно, не имеем права обращаться с ними так, как с первыми членами, и предполагать, что мы получаем сходящийся ряд.

В сущности, Тейлор здесь оперирует с бесконечно малыми величинами (дифференциалами) гораздо, если можно так выразиться, легкомысленнее, чем это когда-либо делали последователи Лейбница: интересно отметить, что ему было тогда 29 лет, и он на глазах Ньютона так уклонился от метода пределов, которым пользовался последний. Как бы там ни было, ему удалось таким образом сделать свое очень важное открытие.

Я хотел бы еще сказать несколько слов по поводу делаемого обыкновенно различия между рядом Тейлора и рядом Маклорена. Как известно, во всех учебниках под названием ряда Маклорена отдельно рассматривают частный случай ряда Тейлора при

и легко может прийти в голову, что очень важно строго отличать один ряд от другого. Каждому знакомому с делом ясно, что с математической точки зрения это различие совсем несущественно; менее известно то обстоятельство, что оно исторически также является бессмыслицей. Во-первых, Тейлору принадлежит несомненный приоритет в отношении общей теоремы, к которой он пришел, как указано выше. Но, кроме того, он дальше в своей работе специально останавливается на той форме, которую его ряд принимает при и замечает, что в этом случае ряд можно получить также непосредственно при помощи так называемого способа неопределенных коэффициентов. Этим способом воспользовался в 1742 г. Маклорен в своей книге «Трактат о флюксиях», причем он совершенно ясно ссылается на Тейлора и не заявляет претензии дать что-нибудь новое. Но на эту ссылку впоследствии не обратили внимания и стали считать автора учебника вместе с тем автором теоремы; таким образом ведь часто происходят ошибки. Только позже опять вспомнили про Тейлора и назвали его именем общую теорему. Очень трудно, — а может быть, даже невозможно — бороться с такими укоренившимися нелепостями; можно только выяснить истинное положение дел в маленьком круге тех математиков, которые интересуются историей своей науки.