2. Дроби

Обращаясь теперь к такому же изложению учения о дробях, мы начнем с того, как трактуется этот вопрос в школе. Здесь дробь у с самого начала имеет совершенно конкретное значение. Только по сравнению с наглядными образами, которыми интерпретируются целые числа, здесь субстрат меняется, — именно, от количества предметов мы переходим к измерению, от предметов, подлежащих счету, мы переходим к предметам, подлежащим измерению. Примерами величин, допускающих измерения, могут служить масса и длина. На этих примерах каждому ученику и поясняется значение дробей, ибо каждому человеку очень легко понять, что такое метра или Y килограмма. Из конкретных же соображений легко

устанавливается значение соотношений =, >, < для дробей, а также устанавливаются правила сложения и вычитания дробей. Умножение обычно вводится путем незначительной модификации первоначального определения этого действия. Умножить число на дробь значит умножить его на целое число а (согласно старому определению) и затем разделить на b. Или, иначе, произведение составляется из множимого совершенно так же, как множитель составляется из единицы. Вслед за этим деление на дробь определяется как операция, обратная умножению; разделить а на значит найти такое число, которое, будучи умножено на , даст число а. Эти определения в теории дробей мы комбинируем далее с введением отрицательных чисел и таким образом получаем окончательно совокупность всех рациональных чисел. Мы не имеем возможности входить в детали всего этого построения, проведение которого в школе, естественно, требует много времени; мы лучше сравним это изложение с современной разработкой этого вопроса в математике.

У Вебера и Велыштейна выступает на первый план формальная сторона дела, сводящаяся к выбору из различных возможных интерпретаций той, которая позволяет удобно описать общие свойства дробей.

Здесь дробь — просто является символом (числовой парой), над которым нужно совершать действия согласно определенным правилам.

Эти правила (которые, как мы упомянули выше, естественно, вытекают из реального значения дробей) имеют здесь характер совершенно произвольных соглашений. Так, например, то, что представляет для ученика наглядное понимание равенства двух дробей, приобретает здесь форму определения равенства: две дроби называются равными, если ad=bc. Аналогичным образом определяется понятие «больше» или «меньше»; сумма двух дробей и просто определяется как дробь и т. д. Затем уже доказывается, что определенные таким образом действия в получающейся при этом более обширной числовой области строго подчиняются прежним формальным законам, т. е. одиннадцати основным законам, которые мы уже неоднократно приводили.

Не столь формально, как в системе Вебера — Вельштейна (изложенной здесь, конечно, только в самых общих чертах), трактует этот вопрос Буркгардт.

На дробь у он смотрит как на последовательность двух операций в области целых чисел, — именно, умножение на число а и деление на число объектом, над которым эти операции должны быть выполнены, является совершенно произвольное целое число. Если мы последовательно произведем две такие пары операций , то это рассматривается как умножение дробей. Легко видеть, что осуществляемая таким образом операция представляет собой не что иное, как умножение на и деление на Таким образом, правило умножения дробей

вытекает здесь из того смысла, который придается понятию дроби, а не представляется произвольным соглашением.

Совершенно аналогично можно, конечно, определить деление дробей; однако сложение и вычитание не поддаются интерпретации в этом порядке идей. Формула

остается, таким образом, и у Буркгардта соглашением, в пользу которого он приводит только наводящие указания.

Сравним теперь школьную постановку вопроса с указанным современным изложением, в котором как в одной, так и в другой интерпретации мы остаемся всецело на почве целых чисел. Известными предполагаются только совокупность целых чисел и действия над ними; новые же числа являются объектами, которые определяются как числовые пары или как операции над целыми числами. Школьное же изложение существенно опирается на новое наглядное представление об измерении величин, приводящее к непосредственному интуитивному представлению о дробях. Мы уясним себе это различие лучше всего, если представим себе существо, владеющее только идеей о целом числе и вовсе не знающее измерений. Для такого существа школьное изложение казалось бы совершенно непонятным, между тем как постановка вопроса у Вебера и Вельштейна была бы ему вполне доступна.

Какая же из двух точек зрения лучше и что дает каждая из них? Ответ на этот вопрос созвучен тому ответу, который мы привели выше, когда мы разбирали аналогичный вопрос относительно целых чисел. Новая точка зрения, несомненно, чище, но в то же время и беднее. Она, собственно говоря, дает только половину того, что в целом виде содержит в себе школьное изложение: абстрактное, арифметическое, логически точное введение дробей и действий над ними.

И когда эта новая точка зрения, основывающаяся лишь на понятии целого числа, полностью проведена, остается еще другой, независимый и не менее важный вопрос: можно ли применить построенную таким образом теоретическую доктрину к наглядным, поддающимся измерению величинам, с которыми нам приходится иметь дело?

И здесь, конечно, можно было бы смотреть на этот вопрос как на относящийся к «прикладной математике» и допускающий строго самостоятельную обработку. Представляется, однако, сомнительным, можно ли такое разделение считать целесообразным с педагогической точки зрения. У Вебера и Вельштейна это разделение задачи на две части находит себе, впрочем, своеобразное выражение: вводя абстрактно действия с дробями, авторы затем посвящают отдельную главу под заглавием «отношения» вопросу о том, как рациональные дроби могут быть применены к внешнему миру. При этом изложение носит у них более абстрактный, чем наглядный, характер.

Я закончу настоящее рассуждение о дробях общим замечанием, относящимся к совокупности всех целых чисел; при этом для наглядности я буду пользоваться изображением чисел на прямой линии. Мы представим себе, что на прямой (рис. 5) отмечены все точки с рациональными координатами, которые мы будем короче называть просто «рациональными точками».

Рис. 5

Говорят, что совокупность всех этих рациональных точек образует на числовой оси «всюду плотное множество». Этим хотят сказать, что в каждом интервале, как бы мал он ни был, имеется все же бесчисленные множество рациональных точек. Точнее, не вводя чуждых понятий, можно иначе выразить то же самое следующим образом: между любыми двумя рациональными точками имеется еще по крайней мере одна рациональная точка. Следствием этого является то, что из совокупности всех рациональных чисел всегда можно выделить часть, не содержащую ни наибольшего, ни наименьшего элемента. Примером может служить совокупность всех рациональных дробей, содержащихся между нулем и единицей, если сами эти два числа не включать. В самом деле, какова бы ни была правильная дробь, всегда существует еще меньшая дробь, содержащаяся между нею и нулем, и большая, содержащаяся между нею и единицей.

Эти понятия в систематическом развитии относятся уже к канторовой теории множеств. Ниже нам действительно придется воспользоваться рациональными числами с указанными их свойствами как важным примером множества.