АНАЛИЗ

106. Клейн старается говорить на языке конкретных приме» ров, понятий, функций, избегая таких абстрактных терминов, как группа, поле, изоморфизм (хотя, скажем, понятие римановой поверхности вряд ли является меньшей абстракцией). Если использовать понятие изоморфизма, то аналогию между сложением и умножением, о которой говорит Клейн, можно выразить следующим образом. Обозначим через R аддитивную группу действительных чисел, т. е. все множество действительных чисел, рассматриваемое только с одной операцией — сложением. Далее, через М обозначим мультипликативную группу положительных чисел, т. е. множество всех положительных чисел с единственной операцией — умножением. Точный смысл слов Клейна об аналогии между умножением и сложением заключается в том, что эти группы изоморфны, т. е. существует такое взаимно однозначное отображение множества R на М, при котором сохраняется операция, т. е. сложение переходит в умножение. Этот изоморфизм устанавливается показательной функцией.

107. То, что таким путем получается исходная зависимость между х и у, видно из следующих соображений. Примем согласно т. е. будем двигаться равномерными шагами, но только не по оси абсцисс, а по оси ординат. Тогда мы получим на оси ординат точку где Отсюда легко заключить но индукции, что соответствующие значения удовлетворяющие разностному уравнению находятся по формуле (что и было отправным пунктом рассуждений). В самом деле, если эта формула уже доказана при некотором k (при она выражает начальное условие), то имеем и потому т. e. формула справедлива и для значения

Если теперь вместо исходной зависимости между х и у мы возьмем новую, в которой ординату будем обозначать для отличия через именно, и на графике этой зависимости (гиперболе) возьмем точки с теми же абсциссами то получим и потому площадь соответствующего прямоугольника (рис. 57) равна т. е. равна

Это и означает, что зависимость (4) выражается геометрически так, как указывает Клейн, т. е. логарифм Бюрги равен сумме площадей прямоугольников от абсциссы 1 до

108. Иначе говоря, если , то при имеем , откуда Заметим еще, что доказываемое соотношение можно установить и иначе: производя в интеграле замену переменной находим

Аналогичный вывод Клейн приводит ниже (с. 224).

109. Сегодня это легко может проверить любой школьник. Вооружившись калькулятором, легко находим (тогда как ).

110. То есть соотношения (для положительных ). В самом деле, индукцией получаем откуда для любого натурального п. При получаем отсюда Далее, т. е. для положительных рациональных у справедливо соотношение Отсюда непосредственно вытекает справедливость его и для отрицательных рациональных у. Иначе говоря, если где у рационально, то о чем и пишет Клейн.

111. Согласно формуле Тейлора

что и дает основание определять как коэффициент при h в разложении по степеням .

112. Разрезанная таким образом комплексная плоскость представляет собой односвязную область (т. е. в ней любой замкнутый путь может быть стянут в точку), причем во всех, точках этой односвязной области подынтегральная функция — определена и является регулярной и аналитической.

Из этого в силу интегральный теоремы Коши, что по любому замкнутому контуру, лежащему в этой разрезанной плоскости, равен нулю, и потому взятый в этой области, не зависит от выбора пути. Этот интеграл (значение которого, таким образом, всецело определяется указанием точки ) и есть главное значение логарифма, обозначаемое Клейном через

113. Следует еще отметить, что, помимо условий о необоснованности которых пишет Клейи, изложение в школьных учебниках применяет (для распространения этих соглашений на иррациональные показатели) окончательное определение значений функции и установление ее свойств с помощью предельного перехода (или, что то же самое, соображений непрерывности). Сложность этого пути приводит к тому, что во всех без исключения школьных учебниках в этом месте имеются существенные пробелы, а все изложение становится совершенно недоступным школьнику (если, конечно, требовать понимания, а не заучивания).

114. Это означает, что рассматриваемый замкнутый путь не совершает обхода вокруг точки 0. Иначе говоря, если такое число, что (это число определено с точностью до целочисленного кратного ), и если вдоль рассматриваемого пути рассматривать непрерывное изменение величины то при обходе по этому пути величина возвращается к своему начальному значению. Ясно, что при обходе по такому пути не только логарифм, но и функция возвращается к своему первоначальному значению.

115. Соответствие между z и w удобнее проследить, рассматривая функцию Возьмем в плоскости w отрезок (вертикальный на рис. 61), соединяющий точку лежащую на действительной оси, с точкой а я (здесь — положительное число, так что при число неположительно, а при положительно). Когда w пробегает этот отрезок, т. е. где я, число пробегает полуокружность радиуса (в верхней полуплоскости ). Далее, перемещая этот отрезок влево, мы уменьшаем , а перемещая вправо, увеличиваем. Это и показывает, что полоса ширины , примыкающая сверху к действительной оси w, отображением переводится на всю верхнюю (т. е. заштрихованную) полуплоскость плоскости Z. Аналогично прослеживается поведение отображения и на других полосах, показанных на рис. 61.

Отсюда следует, что риманова поверхность функции расположенная над плоскостью , сшивается из бесконечного числа заштрихованных и незаштрихованных полуплоскостей, причем в точках 0 и имеются ветвления бесконечного порядка. Это видно из того, что когда точка w пробегает снизу вверх вертикальную прямую, расположенную далеко влевр (ее можно представить на рис. 61), соответствующая тайка совершает бесконечное число обходов вокруг точки 0 (против, часорой стрелки).

116. Таким образом, Клейн после проведенного им анализа приходит к выводу, что наиболее целесообразное изложение — введение логарифма с помощью определенного интеграла и определение показательной функции как обратной к логарифмической. Практика советской школы показывает, что и этот путь (особенно в условиях массового среднего образования) имеет существенные трудности, связанные прежде всего с тем, что изучение важных конкретных функций (логарифма и экспоненты) приходится откладывать до введения и изучения понятия определенного интеграла, представляющего существенные трудности. Во всяком случае, в последовательном виде провести этот путь в общеобразовательной массовой средней школе никто не решился. Существует однако и третий путь изложения, более соответствующий порядку изложения, принятому в нашей школе (производная излагается раньше интеграла). Этот путь заключается в том, что сначала на физических примерах (радиоактивный распад и др.) вводится дифференциальное уравнение органического роста для которого затем поясняется (построением поля направлений и соответствующих «линий тока») теорема существования и единственности, которая затем формулируется точно. Таким образом, в этом способе изложения имеется также пробел (не доказывается теорема существования и единственности), который однако математически оправдан, поскольку содержит важную общую идею (развиваемую в высшей школе) и с наглядной точки зрения очень прост. Дальнейшее изложение является строгим и простым. Решение уравнения с начальным условием обозначается через и называется экспонентой. Из единственности решения вытекает, что график функции не может пересечь ось абсцисс и потому остается в верхней полуплоскости, т. е. для всех Далее, из уравнения вытекает, что Из этого, учитывая соотношение находим, что экспонента — возрастающая функция. Наконец, дифференцируя функцию а), находим сразу, что она удовлетворяет уравнению и начальному условию Отсюда на основании теоремы существования и единственности вытекает, что эта функция совпадает с т. е. справедливо соотношение ехрехр а. Остается заметить (с помощью ломаных Эйлера), что, разделив отрезок [0, 1] на частей и намечая черточками примерное поведение функции на этом отрезке, мы сразу приходим к пределу

Далее вводится обозначение для этого предела и показывается, что для целых имеем что поясняет обычно применяемое обозначение для этой функции, используемое для любых значений аргумента (просто по соглашению — как условная запись).

Заметим, что такое изложение раздела о показательной функции полностью согласуется с точкой зрения теории функций комплексной переменной. Логарифм вводится как обратная функция.

117. Имеется в виду соотношение

118. Рис. 130 показывает эту ситуацию: пучок пареллелышх прямых имеет с проективной точки зрения общую точку, а именно, бесконечно удаленную точку оси ?. Эта точка принадлежит гиперболе .

119.

120. Для применения формулы Тейлора

к функциям нужно, таким образом, знать последо-» вательные производные функций при что в самом деле легко получается из формул

121. Одна вершина лежит в бесконечности (т. е. на сфере Римана эти области будут в самом деле треугольными).

Рис. 130

122. Как видим, уже в начале века Клейн стоял на правильных позициях и предвидел, что развивающаяся вычислительная техника полностью вытеснит таблицы логарфимов. Сегодня не только логарифмические, но и тригонометрические таблицы полностью утратили свое значение: маленький карманный калькулятор овеществляет семизначные таблицы логарфимов, значений функции тригонометрических и обратных тригонометрических функций, не говоря уже о больших вычислительных возможностях. В обозримом будущем появятся микрокомпьютеры, помещающиеся в кармане (или во всяком случае, в портфеле) и позволяющие выполнять большой объем вычислительной работы без «ручного» вмешательства на промежуточных стадиях. Тем более странным представляется упорство некоторых педагогов, продолжающих отстаивать изучение отживших свой век таблиц и логарифмической линейки.

123. Образованный дугами больших окружностей, меньшими полуокружности.

124. Исследования по сферической тригонометрии являются далеко не самым важным в математическом наследии Мёбиуса Осуществленная Мёбиусом и Листингом классификация замкнутых поверхностей (в том числе односторонних поверхностей, открытых Мёбиусом, — вспомните «лист Мёбиуса») является сейчас классическим результатом, проложившим путь, к развитию топологии (см. Болтянский В. Г. и Ефремович В, А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1983).

Мёбиусу принадлежит также введение и изучение барицентрических координат (положенных им в основу «барицентрического исчисления»), а также ряд других результатов.

125. Как отмечает Клейн, каждой ориентированной большой окружности, т. е. большой окружности с заданным на ней направлением обхода, можно сопоставить из двух ее полюсов (т. е. концов диаметра, перпендикулярного плоскости этой окужности) тот полюс, из которого взятое направление обхода наблюдается как происходящее против часовой стрелки — для наблюдателя, находящегося вне сферы над этим полюсом. Два противоположных полюса задают на их «экваторе» противоположные направления обхода. Отсюда видно, что ориентированные большие окружности находятся во взаимно однозначном соответствии с точками сферы. Если же мы будем рассматривать неориентированные большие окружности, то оба полюса каждой из них окажутся равноправными, т. е. надо отождествить (склеить) каждые две диаметрально противоположные точки сферы, и тогда каждой неориентированной большой окружности будет соответствовать одна такая склеенная точка. Иначе говоря, неориентированные большие окружности находятся во взаимно однозначном соответствии с точками проективной плоскости (см. «Наглядную топологию», приведенную в примечании 124). Проективная плоскость является неориентируемой поверхностью; с этим и связано то, что установить на всех больших окружностях единую ориентацию, непрерывно переходя от одной большой окружности к другой, невозможно.

126. То есть вершинами полярного треугольника являются полюсы сторон исходного треугольника. Эти полюсы определены однозначно, поскольку стороны исходного треугольника являются ориентированными.

127. У некоторых из них. Например, на рис. 131 мы имеем для треугольников ABC и АВС (при указанных направлениях сторон)

Поэтому, обозначая штрихом те координаты которые относятся к смежному треугольнику АВС, находим

Рис. 131

128. Точнее, внешние углы (как Клейн отмечал выше) меряют величину этих поворотов, а внутренние углы дополняют их до (например, надо рассматривать как величину поворота стороны С А до СВ).

129. Клейн считает, что масса маятника (сосредоточенная в одной точке М) равна единце: и потому (численно) величина силы тяжести

130. При выводе этого уравнения учащимися и студентами (и даже в некоторых учебниках) можно встретить такую аргументацию: если разложить силу тяжести на нормальную (направленную по оси ОМ) и тангенциальную (направленную по касательной) составляющие, то нормальная составляющая «уравновешивается» реакцией нити (поскольку она предполагается нерастяжимой); остается тангенциальная составляющая, равная (если положительное направление по касательной соответствует возрастанию угла ); так как перемещение маятника равно то его ускорение равно откуда по второму закону, Ньютона получаем что и дает уравнение Эта аргументация имеет неточности: во-первых, в силу криволинейности движения ускорение не направлено по касательной, т. е., кроме тангенциальной составляющей, имеет еще и нормальную составляющую; во-вторых, как следствие этого, нормальная составляющая силы тяжести и реакция нити не уравновешивают, друг друга, т. е. равнодействующая этих двух сил не равна нулю Однако если ограничиться рассмотрением только тангенциальный составляющих (и силы тяжести, и ускорения; рекацию нити можно не учитывать, так как ее тангенциальная составляющая равна нулю), то мы можем применить приведенные выше соображения.

131. Это, строго говоря, не очевидно. Здесь Клейн (как, впро чем, и большинство авторов учебников математического анализа) молчаливо считает «понятным», что если в правой части уравнения (1) заменить на то при «малых» решение уравнения (1) будет «мало» отличаться от решений уравнения (2). Иначе говоря, замена нелинейного уравнения (1) его линейным приближением (2) мало изменяет характер решений вблизи положения равновесия Обоснование этого утверждения получается на основе второй теоремы Ляпунова, которая как раз и говорит о возможности замены нелинейного уравнения его линейным приближением в окрестности невырожденного положения равновесия.

Однако таким способом мы сможем обосновать лишь то, что и для уравнения (1) положение равновесия является устойчивым (по Ляпунову): решения нелинейного уравнения (1) остаются (при всех в окрестности этого положения равновесия, т. е. маятник не удаляется от него. Тот факт, что решения уравнения (1) будут периодическими (с периодом, близким к периоду решений линейного уравнения), требует отдельного обоснования. Его можно получить с помощью методов фазовой плоскости и математического эквивалента энергетических соображений (см. примечание 134).

132. Сейчас в курсе физики не говорят о центробежной «силе», а рассматривают ускоренце точки, равномерно движущейся по окружности со скоростью v; это ускорение — вектор, направленный К центру окружности и имеющий величину

133. Сила тяжести разлагается на две составляющие, одна из которых направлена по образующей конуса, а другая (горизонтальная) — к центру окружности.

134. Как отмечалось в примечании 131, допустимость замены на а не так уж очевидна. Вводя переменные мы сможем записать уравнение (1) в виде системы из которой получаем непосредственно . Следовательно, вдоль каждого решения величина принимает постоянное значение, т. е. — первый интеграл рассматриваемой системы (так называемый интеграл энергии). Если в момент имеем (маятник находится вблизи положения равновесия и имеет небольшую скорость), то I принимает (и сохраняет вдоль траектории) небольшое положительное значение

Ясно, что Теперь легко понять, что линия, определяемая уравнением замкнута, симметрична относительно осей координат и пересекает ось абсцисс в точках , а ось ординат — в точках эта линия (рис. 132) представляет собой «фазовый портрет» движения маятника, т. е. проекцию траектории в пространстве переменных на плоскость Отсюда вытекает периодичность решений нелинейного уравнения (1).

Рис. 132

Точное значение периода колебания получается из соотношения из которого находим

где интеграл берется в течение одного обхода рассматриваемой замкнутой траектории. Теперь можно оценить расхождение между решениями уравнений (1) и (2) и убедиться, что, в самом деле,

135. Этот интеграл получает простое и наглядное геометрическое истолкование с помощью соображений, связанных с рассмотрением гильбертова пространства

Для двух функций заданных на отрезке и рассматриваемых как векторы этого пространства, их скалярное произведение считается равным интегралу это — естественное бесконечномерное обобщение формулы для скалярного произведения двух векторов евклидова -мериого пространства. Если теперь мы рассмотрим всевозможные тригонометрические суммы получаемые при различных значениях коэффициентов то они, вместе взятые, образуют плоскость, натянутую на векторов, изображаемых функциями Интеграл, о котором пишет! в тексте Клейн, т. е. скалярный квадрат вектора представляет собой квадрат расстояния от точки до некоторой точки принадлежащей этой плоскости. Минимум же этого интеграла соответствует нахождению ближайшей к точки рассматриваемой плоскости, т. е. нахождению ортогональной проекции точки на эту плоскость. Эта геометрическая интерпретация в точности описывает те вычисления, которые Клейн далее проводит из аналитических соображений. Вообще, не только постановка задачи, но и весь вывод, идущий далее, может быть (как видно из дальнейших примечаний) полностью геометризован.

136. Вместо дифференцирования под знаком интеграла можно применить прозрачные геометрические соображения. В самом деле, пусть — ортогональная проекция вектора на плоскость, о которой шла речь в примечании 135. Тогда вектор ортогонален этой плоскости, а потому имеет нулевые скалярные произведения со всеми векторами лежащими в рассматриваемой плоскости. Именно эту ортогональность и выражают равенства

137. В геометрической интерпретации сказанное означает, что векторы

образуют ортогональную систему, т. е. скалярное произведение любых двух (различных) из них равно нулю. Это и есть те «известные свойства» интегралов от тригонометрических функций, о которых пишет Клейн. Далее, скалярный квадрат каждого из этих векторов, кроме первого, равен я, тогда как скалярный квадрат первого из них (т. е. функции, тождественно равной единице) равен Все эти соотношения легко проверяются; например, при имеем

Из этих соотношений ортогональности и получаются равенства

138. Это также легко пояснить геометрически. Мы имеем

Второе слагаемое в правой части равно нулю, так как вектор ортогонален рассматриваемой плоскости, а третий интеграл в правой части, т. е. скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов его координат, умноженных на скалярные квадраты базисных векторов

139. Этим не очень четким способом выражения Клейн хочет описать то, что сейчас называют топологическим пределом.

Рассмотрим графики функций для всех Точка считается принадлежащей (верхнему) топологическому пределу этих графиков, если любая ее окрестность, как бы мала она ни была, пересекается с бесконечным числом графиков . В рассматриваемом случае (поскольку все графики ) являются связными) их верхний топологический предел также является связным множеством, т. е. состоит из «одного куска». Об этом пределе графиков функций и идет речь в явлении Гиббса.

140. Понятие площади является более общим, чем понятие определенного интеграла в этой трактовке. Площадь обычно сначала определяется для многоугольников (этот путь принят и в школе). Именно, площадь есть действительная функция, определенная на множестве всех многоугольников и обладающая следующими четырьмя свойствами (которые можно считать аксиомами площади):

1)

2) Если конгруэнтны, то

3) Если причем не имеют общих внутренних точек, то

4) Если Q — квадрат с длиной стороны 1, то

Доказывается теорема существования и единственности, утверждающая, что такая функция (площадь) существует и притом только одна. Затем понятие площади обобщается, причем наиболее близкое к элементарной геометрии обобщение принадлежит Жордану. Именно, фигура Ф называется квадрируемой по Жордану, если для любого можно найти такие многоугольники , что

Оказывается, что теорема существования и единственности имеет место и на классе всех фигур, квадрируемых по Жордану.

При этом s где меняются, как указано выше (т. е. ) Из этого следует, что если — последовательность вложенных многоугольников, исчерпывающая фигуру Ф, квадрируемую по Жордану (т. е. любая внутренняя точка этой фигуры, Начиная с некоторого k, принадлежит многоугольнику ), то s Это — так называемый метод исчерпывания, идущий еще от Архимеда.

В частности, для любой непрерывной положительной функции, заданной на отрезке b], соответствующая криволинейная трапеция, о которой и говорит Клейн, является квадрируемой по Жордану, так что можно говорить о ее площади. Ступенчатая фигура представляющая собой объединение прямоугольников, вписанных в эту фигуру, исчерпывает ее при надлежащем «утончении» прямоугольников, откуда и вытекает, что площадь криволинейной трапеции равна пределу суммы площадей вписанных прямоугольников.

Подробное изложение теории площадей имеется в книге: Болтянский В. Г. Третья проблема Гильберта. — М.: Наука, 1977, а также в заключительной главе книги: Болтянский В. Г. Элементарная геометрия. — М.: Просвещение, 1985.

141. Клейн говорит об этом, несомненно, как об исторически интересной первоначальной идее, которая была впоследствии преодолена, поскольку она не оправдывала себя и не поддавалась точному математическому описанию. Клейн отрицает эту идрю (и это было совершенно оправдано в период обоснования понятий анализа на основе теории пределов). Сейчас наступило отрицание отрицания, мы прошли «виток спирали» и как бы вернулись в исходную точку, но со значительно обогащенным содержанием. Это выражается в том, что теперь — в рамках современного нестандартного анализа, развитого в работах Робинсона и его последователей, — мы можем определять производную через настоящее, имеющее точный математический смысл, отношение двух бесконечно малых чисел (дифференциалов). Подробнее об этом сказано в примечаниях 145, 146, 149).

142. Клейн всюду далее за основное строгое изложение начал анализа безоговорочно принимает изложение, основание на теории пределов. При всей корректности и четкости такого изложения оно, как показывает многолетняя практика нашей школы, очень трудно для массовой школы. Дело, конечно, не в самом понятии предела (которое представляет собой определенный элемент культуры и знакомство с которым школьник получить должен), а в развитии теории пределов с ее доказательствами, основанными на технике. Проникновение в существо этих доказательств представляет непреодолимые трудности для средне успевающего школьника, и потому строить понятие производной на основе непонятых и формально заученных теорем теории пределов означает сделать исключительно наглядное и простое по своей сущности понятие производной таким же непонятым. Практика это полностью подтверждает.

Существует, однако, и иной путь введения понятия производной, всецело базирующийся на теореме о среднем значении и являющийся коротким и доступным. Для того чтобы пояснить этот путь, будем сначала исходить из того, что основные понятия уже построены и проведем некоторое их исследование, а затем на основе этого исследования укажем возможный путь изложения в школе. Пусть функция имеет на отрезке непрерывную производную. Тогда для любых точек справедливо неравенство , где за К можно принять наибольшее значение на рассматриваемом отрезке (это непосредственно вытекает из теоремы о среднем). Иначе говоря, удовлетворяет условию Липшица с константой Таким образом, если ограничиваться лишь функциями с непрерывной производной (что для школы и втуза совершенно достаточно), то можно заранее ограничиваться рассмотрением липшицевых функций, определение и свойства которых существенно проще, чем для произвольных непрерывных функций.

Изложение (после 2—3 уроков, посвященных пояснению понятия липшицевой функции) может быть построено на базе теоремы о среднем (которая теперь становится определением производной) следующим образом. Пусть — средняя скорость прямолинейного движения тела за промежуток времени — его мгновенная скорость в момент t. Пройденный путь равен Ясно, что в течение всего промежутка неравенство не могло быть выполнено (тогда бы мы прошли больше чем ). Не могло быть все время выполнено и неравенство Значит, были моменты, когда и моменты, когда и Следовательно, по непрерывности (которая для липшицевых функций поясняется существенно проще, чем в общем случае) найдется такой момент что (точное равенство!). Понятие производной обобщает это свойство скорости. Именно, пусть — две липшицевы функции, заданные на отрезке функция называется производной от если для любых (на этом отрезке) найдется такая промежуточная точка 0 между что

Устанавливается (на основании липшицевости функции ), что если функция f дифференцируема (т. е. имеет производную), то эта производная определена однозначно. Несложно доказывается следующий критерий: для того чтобы липшицева функция была производной функции на отрезке , необходимо и достаточно существование такой константы М, что для любых о и (на этом отрезке) было выполнено неравенство Из этих двух теорем без труда вытекают обычные общие свойства производной (теорема Ферма об экстремумах, промежутки возрастания и убывания, производные суммы и произведения, единственность первообразной с точностью, до постоянного слагаемого), а также формулы для производных многочленов, тригонометрических функций и т. д.

143. Во избежание недоразумений отметим, что речь идет об отрезке, т. е. замкнутом промежутке. К сожалению, четкие и краткие термины отрезок и интервал до сих пор заменяют иногда расплывчатыми выражениями «промежуток», «замкнутый промежуток», «открытый промежуток», «замкнутый интервал» и т. п.

144. Клейн говорит о случае, когда и рассматриваемое наибольшее значение единственное на интервале от до ; если это наибольшее значение не единственно, рассуждения существенно не меняются.

145. Далее Клейн дает некоторое (не доведенное до деталей) представление о неархимедовой прямой и неархимедовой геометрии. Приведем несколько более подробное изложение. Пусть некоторый символ. Будем рассматривать всевозможные формальные бесконечные ряды вида

(слово «формальный» означает, что мы только записываем этот ряд, произвольно задавая его коэффициенты, и не ставим никаких вопросов о том, «сходится» ли этот ряд и что понимать под его суммой). Под будем понимать произвольное целое число — положительное, отрицательное или нуль. Каждый ряд вида условимся называть «числом», а множество всех «чисел» обозначим через Если то «число» условимся отождествлять с действительным числом Кроме того, к присоединим число 0 (его нужно брать отдельно в силу условия в записи ). Таким образом, множество действительных чисел R содержится в

В множестве можно очевидным образом определить сложение. Именно, если

— другое «число», то при сумму определим почленным сложением коэффициентов, т. е. сумма равна

Если же (скажем, то мы сможем записать «число» в виде

а затем произвести почленное сложение коэффициентов этого ряда (не имеющего в скобках свободного члена) и ряда Естественно определяется и умножение «чисел». Несложный подсчет (с помощью метода неопределенных коэффициентов) показывает, что в неограниченно выполнимы вычитание и деление и что в выполнены все аксномы поля.

Далее, определим в неравенства. Обозначим «число» через , а «число» — через . Если то будем считать, что Далее, если то при будем считать если же то при считаем в случае сравниваем коэффициенты и т. д. Несложно проверяется, что — упорядоченное поле.

Поле удовлетворяет и аксиоме вложенных отрезков (см. примечание 39). Однако аксиоме Архимеда оно не удовлетворяет, В самом деле, рассмотрим число, которое получается, если в записи положить это число можно обозначить просто через к.

Согласно определению неравеиств мы имеем для любого натурального , т. е. — отличное от нуля бесконечно число. Мы получили, таким образом, модель неархимедова поля, построенную из «материала» действительного поля. Поэтому, считая, что аксиоматика действительных чисел непротиворечива, мы должны заключить, что и рассмотрение неархимедова поля свободно от противоречий.

146. На примере неархимедова поля рассмотренного в примечании 145, это можно пояснить следующим образом. «Число» а поля называтся конечным, если существует такое натуральное , что Прочие «числа» называются бесконечными (например, если у — отличное от нуля бесконечно малое «число», то — бесконечное «число»). Далее, два конечных «числа» а и а будем называть эквивалентными, если разность а — а есть бесконечно малое «число». Это отношение эквивалентности, как легко видеть, рефлексивно, симметрично и транзитивно; поэтому все конечные числа разбиваются на классы эквивалентности, каждый из которых называется ореолом. Любой ореол содержит ровно одно действительное число (напомним, что ). Таким образом, если — действительное число, то все «числа», входящие в ореол числа а, отлияаются от а на бесконечно малое «число». Иными словами, если конечное число, то а, где а—действительное, а — бесконечно малое. Это действительное число а однозначно определяется «числом» а и называется стандартной частью «числа» . Обозначать стандартную часть «числа» условимся через , т. е. для любого конечного «числа» имеем а, где , а — бесконечно малое «число».

Неархимедовость поля «R означает, что существуют конечные «числа», не совпадающие со своей стандартной частью, т. е. являющиеся нестандартными. В связи с этим анализ, основанный на рассмотрении неархимедова поля (вместо поля R действительных чисел), называют нестандартным анализом. Методы нестандартного анализа позволяют многие доказательства классических теорем анализа сделать более простыми и наглядными (см., например, примечание 149).

147. В самом деле, если (оба эти числа положительны), то, как мы говорили в примечании 145, для любого натурального , т. е. Это означает, что неравенство не имеет места ни для какого п.

148. Множество всевозможных пар действительных чисел образует, как известно, арифметическую модель евклидовой плоскости. Прямая в этой модели есть просто уравнение которое рассматривается с точностью до пропорциональности элементов и в котором хотя бы одно из чисел А, В отлично от нуля. Расстояние между точками равно

Понятным образом определяются отрезки, окружности, полуплоскости, углы и т. д.

Если теперь вместо поля действительных чисел R взять некоторое неархимедово поле, то, рассматривая пары чисел этого поля, можно аналогичным образом строить неархимедову геометрию. При этом поле , рассмотренное в примечании 145, неприемлемо, так как в нем, вообще говоря, не извлекаются квадратные корни из положительных «чисел», что не позволяет определять расстояния (по указанной выше формуле). Но если взять такое расширение поля в котором извлекаются корни из положительных чисел (такое поле получится, например, если вместо в примечании 145 взять формальные ряды вида где коэффициенты и показатели действительны, причем последовательность неограниченно возрастающая), то ггостроение неархимедовой геометрии проходит. Наиболее удобным является неархимедово поле гипердействительных чисел, упоминаемое в примечании 35, которое в некотором смысле обладает максимальностью.

О применениях неархимедовых геометрий можно прочитать, например, в книгах: Гильберт Д. Основания геометрии. — М.: Гостехиздат, 1948; Болтянский В. Г. Третья проблема Наука, 1977.

149. Со времен написания книги Клейна ситуация изменилась: в работах Робинсона и его последователей создан нестандартный анализ. Наиболее последовательный его вариант основывается на рассмотрении поля гипердействительных чисел, представляющего собой весьма «массивное» неархимедово расширение поля действительных чисел. Отсылая интересующегося деталями читателя к книге: Успенский В. А. Что такое нестандартный анализ? -М.: Наука, 1987, укажем совсем кратко идею использования бесконечно малых чисел при построении нестандартного анализа. Для простоты рассмотрим функцию представляющую собой многочлен с действительными коэффициентами:

Так как числа принадлежат полю R, содержащемуся в поле R гипердействительных чисел, и так как в R определены сложение и умножение, то вместо можно в подставлять любое гипердействительное число, т. е. мы получаем расширение функции (заданной первоначально только на R) на все поле R. Значение поля R гипердействительных чисел состоит в том, что не только многочлены, но и любые конкретно заданные функции (не только непрерывные, но даже такие «патологические» функции, как функция Дирихле, равная единице в рациональных точках и нулю в, иррациональных) допускают аналогичное расширение на все поле R. Но вернемся к нашему многочлену Если а — действительное число, — бесконечно малое отличное от нуля число, то определено бесконечно малое число и частное этих двух бесконечно малых чисел. Легко видеть (например, с помощью бинома Ньютона), что стандартная часть этого частного представляем собой действительное числр, не зависящее от

Вообще, если частное находится в одном и том же ореоле для всех бесконечно малых то называется дифференцируемой в точке а, а стандартная часть этого ореола называется производной в этом случае

где при любом бесконечно малом число а также бесконечно малое.

Теперь идея доказательства теоремы Ферма об экстремуме, а вместе с ней и теоремы о среднем будет выглядеть так. Пусть достигает наибольшего значения во внутренней точке а своего отрезка определения. Это сохраняется и для «расширенной» функции (обозначим ее тоже через ), определенной на отрезке в R. Если бы было то в соотношении мы имели бы (поскольку а — бесконечно малая). Следовательно, при имеем (а), что невозможно. Аналогично приводит к противоречию предположение Таким образом,

150. Иначе говоря, термин «бесконечно малая величина», в котором не уточнено, в каком смысле понимается несколько неопределенное слово «величина», может означать либо бесконечно малое число (т. е. число, модуль которого меньше любого положительного рационального числа), либо бесконечно малую функцию, т. е. функцию которая удовлетворяет условию (при этом надо уточнять, при каком условии на — в данном случае при : а — эта функция является бесконечно малой). Именно о последнем понимании бесконечно малой и говорит Клейн в этом абзаце, применяя выражение «величина становится бесконечно малой». Что же касается бесконечно малых чисел, то в поле действительных чисел таким является лишь число 0, но в неархимедовых полях (см. примечание 35) существуют отличные от нуля бесконечно малые числа, и это — одно из отличий нестандартного анализа от «обычного».

151. Клейн здесь не уточняет, что он имеет в виду под — первообразную или определенный интеграл, который он для простоты пишет без указания пределов. Между тем математическое различие этих понятий особенно сильно сказывается на школьном преподавании. Напомним прежде всего, что аккуратное введение определенного интеграла довольно сложно и, вне всякого сомнения, является слишком трудным для школы. Оно требует рассмотрения верхних и нижних интегральных сумм и оценки разностей между ними (с использованием понятия равномерной непрерывности), причем «предел» интегральных сумм понимается не в обычном смысле (скажем при или ), а по довольно сложному частично упорядоченному множеству всевозможных конечных разбиений отрезка [a, b], по которому производится интегрирование. Достаточно вспомнить, насколько длинным и сложным оказывается полное рассмотрение этого вопроса в университетских или пединститутских курсах анализа, чтобы стало ясно, что при попытке введения этого понятия в школу придется отказываться от логической строгости и даже точной формулировки того, что такое определенный интеграл.

Другой путь состоит в том, чтобы ограничиться введением понятия первообразной — для многочленов, тригонометрических и показательных функций. Первообразные находятся без труда. Из теоремы о среднем непосредственно следует, что для функции заданной на отрезке (или интервале), перцообразная определяется однозначно с точностью до постоянного слагаемого.

Если теперь -площадь криволинейной трапеции под графиком функции между ординатами, проведенными в точках а и то «отщепление» справа полоски между ординатами (площадь этой полоски примерно равна площади прямоугольника, т. е. ) сразу показывает, что — первообразная для функции Следовательно, если — какая-нибудь первообразная для функции то откуда (поскольку ). Это и есть формула Ньютона — Лейбница (можно считать, что определенным интегралом называется разность значений первообразной в концах интервала, т. е. площадь криволинейной трапеции равна соответствующему определенному интегралу). Аналогичное рассуждение применимо к вычислению работы, пути и других величин, изображаемых определенными интегралами.

Интегральная сумма при таком изложении появляется как способ приближенного вычисления определенного интеграла, если выражение для первообразной найти не удается (мотивировка очевидна: площадь криволинейной трапеции примерно равна площади ступенчатой фигуры, составленной из вписанных прямоугольников)

Такое изложение (сторонником которого является академик А. Н. Колмогоров) может быть сделано строгим, легким для понимания и нисколько не менее бедным в идейном плане, чем обычное вузовское изложение с его сложной теорией верхних и нижних интегральных сумм. Для школы оно наиболее приемлемо,

152. Здесь и далее целые числа понимаются в обычном смысле (т. е. целыми являются числа где — произвольное натуральное число, и число 0). В алгебре их называют целыми рациональными числами (в отличие от целых комплексных чисел или целых алгебраических чисел, которые в излагаемых доказательствах трансцендентности чисел не рассматриваются)

153. Автор пишет вместо так как ?— число простое и, следовательно, нечетное.

154. Обратите внимание на множитель между двумя многоточиями в числителе.

155. Точнее «не отходит» далеко от оси , т. е. модуль подынтегральной функции можно сделать как угодно малым (равномерно на всем отрезке при достаточно большом .

156. Допустим, что — алгебраическое число, т. е. существует уравнение апхп с целыми коэффициентами , которому удовлетворяет число п. Тогда

т. e. число ( является корнем уравнения вида ) где многочлены с целыми (действительными).

Так как

то число является также корнем уравнения имеющего целые (действительные) коэффициенты. Это означает, что также является алгебраическим числом (впрочем, это вытекает также из более общих соображений, содержащихся в примечании 158).

157. Если раскрыть скобки и произвести приведение только тех слагаемых, у которых показатель степени равен нулю; например, если встретится слагаемое оставляется в этом виде и рассматривается как степень с не равным нулю показателем.

158. Пусть — многочлен степени , корнями которого являются числа По предположению, этот многочлен имеет рациональные коэффициенты (их можно сделать целыми, умножая на общий знаменатель). Тогда

— элементарные симметрические многочлены от Теперь уравнение, корнями которого являются всевозможные двучленные суммы имеет вид

Его коэффициенты являются, очевидно, какими-то симметрическими многочленами от (с целыми коэффициентами) и потому они выражаются через откуда вытекает, что левая часть уравнения представляет собой многочлен от 2 с рациональными коэффициентами. При этом степень уравнения равна количеству всевозможных двучленных сумм равна Аналогично получается уравнение, корнями которого являются все трехчленные суммы причем коэффициенты этого уравнения рациональны, а степень уравнения равна количеству всевозможных трехчленных сумм, т. е. равна и т. д.

Рис. 133

159. Контур интегрирования молено разложить на два (рис. 133). Интеграл по левому контуру равен нулю, так как подынтегральное выражение, не имеет полюсов в конечной части плоскости, а интеграл по правому контуру стремится к нулю при перемещении вертикального отрезка вправо. Это и означает возможность замены пути интегрирования.

160. Непрерывное отображение отрезка на квадрат осуществляется кривой Пеано (см. с. 377, а также книгу «Наглядная топология», указанную на с. 412). Это Отображение хотя и не является взаимно однозначным, но показывает, что мощность отрезка не меньше мощности квадрата, а потому из теоремы Кантора — Бернштейна (с. 370) вытекает равенство этих мощностей. Непрерывного и взаимно однозначного отображения отрезка на квадрат не существует — об этом Клейн пишет ниже,

161: Клейн посвящает этот раздел обсуждению различия между континуумами разного числа измерений, причем показывает это различие, пользуясь понятием линейно упорядоченного множества (и с привлечением соображений непрерывности). При всей важности понятий, связанных с рассмотрением упорядоченных множеств, следует отметить, что сегодня различие кубов несовпадающих размерностей проводится методами топологии — и, в частности, с помощью топологического понятия размерности, введенного работами А. Лебега и П. С. Урысона.

162. Очень существенно правильно понять смысл этого высказывания Клейна. Речь идет здесь о теоремах теории множеств, о счетности и несчетности и т. п. Что же касается терминологии, заимствованной из учения о множествах (элемент, множество, принадлежность, отображение и т. п.), то Клейн, как это видно из введения (с. 18), напротив, видит важное прогрессивное значение слияния геометрии и теории функций на основе понятия отображения и относящихся сюда слов, связанных с множествами. Таким образом, Клейна никак нельзя считать сторонником тех анекдотических устремлений запрета слов, связанных с множествами, которые некоторое время назад проявлялись. Надо сказать, что после вклада в школьную педагогику, осуществленного академиком А. Н. Колмогоровым, большинство учителей с удовлетворением восприняли введение теоретико-множественной терминологии в школе.