3. Уравнения тетраэдра, октаэдра и икосаэдра

Мы увидим, что два последних уравнения мы могли бы с таким же правом назвать уравнениями куба и додекаэдра, так что действительно перебраны все пять правильных тел. Здесь мы пойдем по обратному пути по сравнению с предыдущим примером: сначала мы выведем, исходя из правильного тела, деление сферы на области и затем составим соответствующее алгебраическое уравнение, которое находит в этой фигуре свое геометрическое наглядное изображение. Но мне придется при этом часто ограничиваться намеками, и поэтому я с самого начала указываю вам на мою книгу «Лекции об икосаэдре и о решении уравнений пятой степени», в которой вы найдете систематическое изложение всей этой обширной теории со всеми ее приложениями.

Я буду разбирать все три случая параллельно и начну с деления сферы на области для тетраэдра.

1. Тетраэдр. Разделим каждый из 4 равносторонних треугольников тетраэдра тремя высотами на 6 треугольничков, которые по три получаются друг из друга поворотами, в то время как соседние треугольнички зеркально симметричны между собой (рис. 46).

В результате получается разбиение всей поверхности тетраэдра на 24 треугольничка; одну из этих групп треугольничков отметим штриховкой (рис. 46). Что же касается вершин этих треугольников, то можно различать три рода их, так что каждый треугольник имеет по одной вершине каждого рода:

а) 4 вершины первоначального тетраэдра, в которых сходятся по 3 заштрихованных и по 3 незаштрихованных треугольника;

Рис. 45

Рис. 46

b) 4 центра граней, которые в свою очередь образуют правильный тетраэдр (гомотетичный первоначальному с коэффициентом в них сходятся по 3 треугольника каждого рода; середин ребер, образующие правильный октаэдр; в них сходятся по 2 треугольника каждого рода.

Если спроектировать это деление на треугольники из центра на описанную сферу, то последняя разделится на 2-12 треугольников, ограниченных дугами больших кругов; они попеременно получаются друг из друга поворотами и зеркальными симметриями. Около каждой вершины рода а, b, с расположены соответственно по 6, 6, 4 равных углов, и так как сумма углов на поверхности шара вокруг точки всегда равна то каждый из наших сферических треугольников имеет в вершинах а и b углы, а в вершине с — угол

Характерное свойство этого разбиения сферы заключается в том, что оно, как и сам тетраэдр, при некоторых поворотах около центра переходит в себя. Вы легко можете представить себе это во всех деталях на модели тетраэдра, но здесь я ограничусь тем, что перечислю все возможные повороты, причем к ним всегда будет причисляться «движение», оставляющее фигуру в покое, в качестве «тождественного поворота».

Выберем какую-нибудь определенную вершину перво» начального тетраэдра; поворотом мы можем совместить ее с любой другой вершиной тетраэдра (или с нею же самой), что дает четыре возможных случая. Оставляя же ее неподвижной в одном из этих положений, можно тремя различными поворотами совместить тетраэдр с самим собой, а именно, поворачивая его на углы 0, 120 или 240° вокруг прямой, проходящей через эту неподвижную вершину и через центр. Это дает в общем поворотов, которые переводят тетраэдр или соответствующее деление описанной сферы на треугольники в себя. Посредством таких поворотов можно любой заштрихованный (или незаштрихованный) треугольник перевести в любой другой заштрихованный (соответственно незаштрихованный) треугольник; любой поворот вполне определен, если дан и этот второй треугольник. Эти 12 поворотов образуют, очевидно, то, что называют группой т. е. если произвести два таких поворота один после другого, то результат будет также одним из этих 12 поворотов 101).

Если рассматривать нашу сферу как сферу z, то каждый из этих 12 поворотов может быть представлен посредством линейного преобразования переменной z; получаемые таким образом 12 линейных преобразований не изменяют уравнения, принадлежащего тетраэдру. Для сравнения я замечу, что, как вы сами можете убедиться, линейных подстановок уравнения диэдра можно интерпретировать как совокупность поворотов диэдра в себя.

2. Приложим аналогичные рассуждения к октаэдру, но теперь мы можем выражаться более сжато. Разделим, как и раньше, каждую из 8 боковых треугольных граней на 6 треугольничков; получается разбиение всей поверхности октаэдра на 24 заштрихованных треугольничка, получающихся друг из друга поворотами, и на 24 незаштрихованных (зеркально симметричных по отношению к первым) треугольничка (рис. 47).

И на этот раз можно различать вершины трех родов; вершин октаэдра, в которых сходятся по 4 треугольника каждого рода; центров граней, образующих вершины куба; в них сходятся по 3 треугольника каждого рода; середин ребер, в которых встречаются по 2 треугольника каждого рода.

Переходя с помощью центральной проекции к описанной сфере, получаем ее разбиение на 2-24 треугольников, половина из которых заштрихована (они получаются друг из друга поворотами, а незаштрихованные зеркально симметричны им). Каждый из треугольников имеет в вершине а угол в вершине b — угол и в вершине с — угол у Принимая во внимание то, что вершины b образуют куб, легко можно убедиться в том, что точно такое же подразделение получается, если исходить от куба и проектировать его вершины и середины граней и ребер на сферу; таким образом, действительно, не приходится рассматривать куб отдельно.

Рис. 47

Рис. 48

Совершенно так же, как и в первом случае, можно убедиться в том, что как октаэдр, так и это разбиение сферы на области переходят в себя при 24 поворотах, образующих группу каждый отдельный поворот характеризуется тем, что он переводит один заданный треугольник в определенный другой треугольник.

3. Теперь мы подошли к икосаэдру (двадцатиграннику). И здесь в основу кладем деление каждой из 20 треугольных граней на 6 составляющих треугольничков и в общем получаем 60 заштрихованных и 60 незаштрихованных таких треугольничков (рис. 48). Три типа вершин в этом случае будут:

a) 12 вершин икосаэдра, в которых сходится по 5 треугольников каждого рода;

b) 20 центров граней, они образуют вершины правильного додекаэдра (двенадцатигранника с пятиугольными гранями); в них сходятся по 3 треугольника каждого рода;

c) 30 середин ребер; в них сходятся по 2 треугольника того и другого рода.

Поэтому при перенесении на сферу каждый треугольник получает при вершинах а, b, с углы —

Из свойства углов b можно опять заключить, что такая же фигура получилась бы из правильного додекаэдра. Наконец, можно видеть, что икосаэдр и соответствующее подразделение сферы переходят в себя посредством группы из 60 поворотов сферы около центра. Эти повороты, как и повороты октаэдра, вы можете уяснить себе на модели.

Я еще раз хочу сопоставить те углы сферических треугольников, которые получались в трех рассмотренных случаях, присоединяя сюда же и диэдр:

Натуралист, вероятно, немедленно заключил бы из этого, что возможны и дальнейшие аналогичные подразделения сферы с углами

Но математик не должен, разумеется, применять таких заключений по аналогии, и его осторожность оказывается в данном случае оправданной, так как действительно ряд возможных разбиений сферы описанного рода обрывается на перечисленных выше. Конечно, этот факт стоит в связи с тем, что нет других правильных многогранных тел, кроме 5 Платоновых тел. Еще одно основание этого можно усмотреть в некотором свойстве целых чисел, которое не может быть сведено к более простым соображениям.

А именно, можно показать, что углы каждого из наших треугольников должны быть такими целыми частями чтобы было удовлетворено неравенство

оказывается, что этому неравенству удовлетворяют только перечисленные выше решения. Смысл этого неравенства легко понять, так как оно говорит, что сумма углов сферического треугольника всегда больше

Я хотел бы здесь еще упомянуть о том, что, как многим из вас, конечно, известно, разумное обобщение этой теории выходит за эти как будто слишком узкие рамки: теория автоморфных функций рассматривает деление сферы на бесчисленное множество треугольников с суммой углов, меньшей я или соответственно равной