7. Разрешимость в радикалах

Одного вопроса в теории нормальных уравнений я еще не затрагивал. Представляют ли наши нормальные уравнения вообще что-либо алгебраически существенно новое и нельзя ли их свести одно к другому и, в частности, к двучленным уравнениям? Другими словами: можно ли решение z этих уравнений выразить посредством конечного числа последовательных извлечений корня?

Что касается, прежде всего, уравнений диэдра, уетраэдра и октаэдра, то с помощью алгебраической теории легко убедиться в том, что их возможно свести к двучленным уравнениям.

Покажем это на примере уравнения диэдра

Если положить

то уравнение принимает вид

отсюда непосредственно следует, что

а поэтому

что и представляет искомое решение в радикалах.

Между тем для уравнения икосаэдра подобное решение в радикалах невозможно, так что это уравнение определяет некоторую существенно новую алгебраическую функцию. Я покажу вам одно особенно наглядное доказательство этого утверждения, которое я недавно опубликовал оно основано на известном в теории функций построении функции икосаэдра . Я пользуюсь при этом следующей леммой Абеля, доказательство которой вы можете найти в любом учебнике алгебры: если алгебраическое уравнение разрешимо с помощью ряда радикалов, то каждый входящий в это выражение радикал может быть представлен в виде рациональной функции всех корней первоначального уравнения.

Применим все это к уравнению икосаэдра.

Итак, если допустить, что его корень выражается с помощью ряда извлечений корня из коэффициентов уравнения, т. е. из рациональных функций от w (а мы покажем, что это допущение ведет к противоречию), то каждый входящий в выражения корней радикал выражает некоторую рациональную функцию 60 корней уравнения

Но так как все корни уравнения икосаэдра получаются из какого-нибудь одного из них с помощью линейных подстановок, то можно вместо последнего выражения написать просто рациональную функцию одного только . Представим себе это как функцию w, которая получится, если вместо z подставить -значную функцию икосаэдра Ввиду того, что каждый обход в плоскости который возвращает z к его начальному значению, необходимым образом приводит и функцию к ее первоначальному значению, то R может иметь ветвления только в точках в которых разветвляется и вместе с тем число листов поверхности Римана для R, которые циклически сходятся в каждом таком месте, должно быть делителем соответствующего числа для которые, как мы знаем, равны соответственно 3, 2 и 5. Всякая рациональная функция одного из корней уравнения икосаэдра и, следовательно, всякий радикал, входящий в предполагаемое решение, может в качестве функции w иметь ветвления (если только она их вообще имеет) лишь в точках а именно, в данном случае в точке 0 должно сходиться по 3 листа ее римановой поверхности, в точке 1 по 2 листа и в точке по 5 листов, так как числа 2, 3, 5 не имеют других делителей, кроме 1.

Теперь мы постараемся показать, что мы необходимо должны прийти к противоречию с этим результатом: с этой целью рассмотрим самый внутренний, радикал, какой входит в допущенное нами выражение: для Он должен представлять собой корень из рациональной функции и мы можем считать его показатель простым числом , так как всякий другой радикал можно составить из ряда корней с простыми показателями. Кроме того, не может быть степенью рациональной функции от w, ибо иначе наш радикал был бы вообще излишен, и мы могли бы отнести наши рассуждения к ближайшему действительно необходимому знаку корня.

Посмотрим, какие ветвления может иметь этот радикал Для этого наиболее удобно написать подкоренное выражение в однородном виде;

где g, h — формы одной и той же степени в однородных переменных Согласно основной теореме алгебры функции g и h можно разложить на линейные множители:

где ввиду равенства степеней числителя и знаменателя

Ясно, что все показатели не могут делиться на , ибо иначе Р представляло бы собой полную степень; с другой стороны, составленное из всех показателей выражение а равно нулю, а потому делится на вследствие этого не может быть, чтобы только одно из этих чисел не делилось на , т. е. таких чисел (не делящихся на ) должно быть по крайней мере два. Поэтому корни соответствующих линейных множителей должны заведомо быть такими местами ветвления для . В которых циклически сходится по листов. Но это находится в противоречии с установленным выше положением, которое должно, конечно, иметь место и для . В самом деле, мы там перебрали все возможные ветвления и среди них мы не нашли двух с равным числом сходящихся листов. Таким образом, наше допущение оказывается ложным, и уравнение икосаэдра не разрешимо в радикалах.

Это доказательство существенным образом основано на том, что характерные для икосаэдра числа 3, 2, 5 не имеют попарно общих делителей.

Когда же, наоборот, общий делитель имеется, как, например, в случае чисел 3, 2, 4 для октаэдра, то возможны такие рациональные функции которые в двух местах имеют одинаковые ветвления, например, функция, у которой сходится по два листа в точках 1 и такие функций в самом деле можно представить в виде корней из рациональной функции Таким именно образом обнаруживается разрешимость в радикалах уравнений октаэдра и тетраэдра (с числами 3, 2, 3), а также диэдра ().

Я хотел бы указать здесь, как сильно отстала от успехов современной науки та терминология, которая царит в широких математических кругах. Слово «корень» теперь употребляют почти всегда в двояком смысле: во-первых, для обозначения решения всякого алгебраического уравнения и, во-вторых, для обозначения решения именно двучленного уравнения. Это словоупотребление ведет свое начало, конечно, с тех времен, когда занимались исключительно двучленными уравнениями. В настоящее время оно является, если и не прямо-таки вредным, то во всяком случае довольно неудобным. Но в гораздо большей степени дает повод к недоразумениям другое выражение, сохранившееся из истоков алгебры, согласно которому алгебраическое уравнение, которое неразрешимо в радикалах, т. е. которое не сводится к двучленным уравнениям, называют алгебраически неразрешимым. Это находится в самом резком противоречии с современным значением слова «алгебраический». В настоящее время алгебраически разрешимым называют такое уравнение, которое оказывается возможным свести К цепи таких возможно более простых уравнений, для которых зависимость решений от параметров, взаимная связь различных значений корней и т. д. известны с такою же полнотой, как это имело место с давних пор для двучленного уравнения, но это отнюдь не должны быть непременно двучленные уравнения. В этом смысле мы можем отнести уравнение икосаэдра к числу тех, которые вполне разрешаются алгебраически, ибо все наши рассуждения показали, что мы можем построить их теорию, удовлетворяя всем указанным требованиям. То, что оно неразрешимо в радикалах, скорее делает его особенно интересным, так как вследствие этого оно является подходящим нормальным уравнением, к которому можно попытаться свести другие уравнения, тоже неразрешимые алгебраически в старинном смысле слова, чтобы вполне овладеть и их решением.

Это замечание приводит нас к последнему разделу настоящей главы.