Классификация уравнений по числу действительных корней.

Если сравнить между собой оба рассмотренных нами способа, то окажется, что по отношению к одной определенной, но весьма важной цели второй способ имеет существенное преимущество, — а именно, в тех случаях, когда хотят получить наглядное представление о совокупности всех тех уравнений определенного типа, которые имеют данное число действительных корней.

Такие совокупности уравнений изображаются при первом способе системами прямых, а при втором областями точек; последние формы совокупностей в силу некоторой особенности наших геометрических представлений или же в силу привычки нам существенно легче наглядно себе представить, чем первые.

Теперь я хочу показать на примере квадратного уравнения, чего можно достигнуть в этом направлении; в этом случае через точки, лежащие внутри параболы (рис. 26), не проходит ни одной касательной к ней, а через каждую точку, взятую вне параболы, проходит по две действительных касательных; таким образом, эти области изображают совокупности всех уравнений, имеющих 0 или 2 (действительных) корня. Через каждую точку на самой параболе проходит только по одной касательной, которая принимается за двойную; таким образом, как здесь, так и вообще сама определяющая кривая является геометрическим местом точек, для которых два корня уравнения совпадают; вследствие этого ее можно назвать дискриминантной кривой.

В случае кубического уравнения через каждую точку внутри клина определяющей кривой проходит по три касательных к ней (рис. 27); действительно, для точек, расположенных на срединной линии, это следует из симметричности фигуры; с другой же стороны, число касательных не может изменяться, если переходить к другим точкам, не пересекая при этом кривой.

Рис. 26

Рис. 27

Когда точка попадает на кривую, два корня из трех совпадают; когда же эта точка переходит в область, лежащую вне кривой, эти два корня становятся мнимыми, и остается только один действительный корень. Наконец, в острие кривой имеем только одну тройную касательную, так что соответствующее уравнение имеет только один тройной корень. Чертеж позволяет охватить эту группировку одним взглядом.

Фигуры получаются еще интереснее и дают существенно больше, если ввести — как это часто приходится делать в алгебре — еще некоторые ограничения для корней: например, если задаться целью найти все действительные корни, лежащие в данном промежутке Общий ответ на этот вопрос дает, как известно, теорема Штурма. Нетрудно так дополнить наши фигуры, чтобы они давали удовлетворительное наглядное решение и этого общего вопроса.

Построим для этого попросту касательные к определяющей кривой, соответствующие значениям параметра и рассмотрим получающееся разделение плоскости на области. Если применить этот прием прежде всего опять к квадратному уравнению, то вопрос сводится к определению числа касательных, которые проходят через данную точку и касаются параболы в точках ее дуги между (рис. 28). Через каждую точку треугольника, образуемого этой дугой параболы и оси ими «основными» касательными, проведенными через концы рассматриваемой дуги, проходят по две касательные; при переходе через каждую из основных касательных теряется одна из касательных, ибо она касается параболы вне взятой дуги; через точки серповидных областей, ограниченных параболой и одной из основных касательных, не проходит ни одной прямой, касающейся параболы в точках дуги через внутренние точки параболы вовсе не проходят действительные касательные. Таким образом, обе дуги для получающегося при этом разделения плоскости не имеют существенного значения; остаются только сплошные линии рис. 28, благодаря которым мы получаем возможость, пользуясь проставленными числами, ясно обозреть совокупность тех квадратных уравнений, которые действительных корней между .

Рис. 28

Рис. 29

Точно так же поступаем и с кубическим уравнением. Пусть Снова проводим основные касательные с этими значениями параметра (рис. 29); надо рассмотреть только то разделение на области, которое производят эти касательные и заключенная между ними дуга определяющей кривой.

В четырехугольной области у острия действительно через каждую точку проходит по три касательных, касающихся кривой в точках дуги между и . Если принять во внимание; что при переходе через каждую из основных касательных теряется одна, а при переходе через кривую — две касательные этого рода, что непосредственно видно из чертежа, то получается указанное распределение областей, соответствующих уравнениям с 3, 2, 1, 0 действительными корнями между Чтобы составить себе представление об огромной пользе графического метода, попробуйте только описать абстрактно это подразделение кубических уравнений, не апеллируя ни к каким пространственным образам; это потребует у вас несравненно больше времени. Доказательство, которое здесь постигается при одном взгляде на чертеж, тоже окажется тогда далеко не простым.

Что касается отношения этого геометрического метода к известным алгебраическим критериям Штурма, Декарта, Будана — Фурье, то я замечу только, что геометрический метод охватывает все эти критерии. Более подробный разбор этих интересных соотношений вы найдете в моей работе «Приложение геометрии к подсчету корней алгебраических уравнений»