Введение дифференциала (Лейбниц и его последователи).

Параллельно с этим направлением, с которым мы теперь познакомились и в духе которого построена современная научная математика, в течение столетий существовало и распространялось другое существенно отличное понимание исчисления бесконечно малых.

1. Оно исходило из старых метафизических спекулятивных соображений о построении числового континуума из неделимых, т. е. неразложимых далее «бесконечно малых» составных частей. Уже в древности имеются намеки на такого рода представления; у схоластиков и затем у философов-иезуитов они встретили большое сочувствие.

Как на характерный пример я укажу на заглавие уже упомянутой книги Кавальери: «Геометрия сплошных величин, состоящих из неделимых», которое указывает на его истинное основное воззрение. Действительно, точка зрения приближенного нахождения величины играет у Кавальери лишь второстепенную роль; он фактически считает пространство состоящим из неделимых, «последних», т. е. неразложимых далее составных частей. Вообще, для полного уяснения этого рода концепции очень важно и интересно быть знакомым с теми изменениями, которые испытало представление о континууме в течение ряда столетий (и даже тысячелетий).

2. К такого же рода воззрениям примыкает и Лейбниц, который разделяет с Ньютоном славу изобретения исчисления бесконечно малых. Для него первичным элементом исчисления бесконечно малых является не производная как предел, а дифференциал переменной который имеет реальное существование как составная часть оси абсцисс — величина, которая меньше всякой конечной величины и все же не равна нулю (актуально бесконечно малая величина). Аналогично этому дифференциалы высших порядков определяются как бесконечно малые величины второго, третьего, порядков, каждая из которых бесконечно мала по сравнению с предыдущей; таким образом, мы получаем ряд качественно различных систем величин.

Впрочем, у Лейбница это воззрение отнюдь не является единственным; во многих случаях у него выступает на первый план точка зрения приближенного определения величины, согласно которой дифференциал представляет собой конечный, но столь малый отрезок, что вдоль него отклонение кривой о касательной совершенно незаметно, неуловимо. Эти метафизические спекуляции представляют собой, разумеется, лишь идеализацию простых психологических фактов, имеющих здесь место.

Совершенно отдельно стоит у Лейбница третий взгляд, который, пожалуй, наиболее для него характерен; это — формальное, аппаратное выражение. Я уже не раз имел случай отметить, что в лице Лейбница мы должны видеть основателя формальной математики.

Идея, о которой идет речь, заключается в следующем: совершенно безразлично, какое именно значение имеют дифференциалы и даже имеют ли они таковое вообще, лишь бы были соответственным образом определены правила действий с ними; в таком случае, если поступать с дифференциалами согласно правилам, то должно, во всяком случае, получиться нечто разумное, правильное. При этом Лейбниц постоянно указывает на аналогию с комплексными числами, о которых у него были представления, вполне соответствующие этому взгляду. Говоря о правилах действий с дифференциалами, мы имеем в виду прежде всего формулу

теорема о среднем значении показывает, что эта формула будет верна только в том случае, если написать в ней вместо но содержащаяся здесь ошибка есть бесконечно малая величина высшего (второго) порядка, а на такие величины — и в этом заключается главное формальное правило — не следует обращать внимания при вычислениях с дифференциалами.

Самые важные работы Лейбница опубликованы в 1684, 1695 и 1712 гг. Первая из этих статей «Nova methodus pro maximis et minimis» представляет собой первое вообще печатное произведение, посвященное дифференциальному исчислению; Лейбниц излагает в ней попросту правила дифференцирования. Позднейшие работы дают также разъяснения принципиального характера, в которых особенно заметно выступает формальная точка зрения.

В особенности характерна в этом отношении небольшая работа, напечатанная в 1712 г., т. е. в последние годы жизни Лейбница; в ней Лейбниц говорит о теоремах и определениях: «Rigorem quidem non sustinent, habent tamen usum magnum in calcutando et ad artem inveniendi universalesque conceptus valent» («они не выдерживают строгой критики, но тем не менее находят большое применение в вычислениях и годятся как эвристическое средство и для уяснения общих понятий»). Это Лейбниц относит как к комплексным числам, так и к бесконечности; например, когда мы говорим о бесконечно малом, то «commodi tali expressions sea breviloquio mentalis inservimus, sed non nisi toleranter vera loquimur, quae explicatione rigidantur» («пользуемся ими для удобства выражения и для сокращения речи, но высказываем лишь относительные истины, которые укрепляются объяснением»).

3. Начиная с Лейбница, новое исчисление быстро распространяется по континенту, причем каждая из трех его установок находит своих представителей. Прежде всего я должен назвать первое руководство по дифференциальному исчислению, какое только было вообще опубликовано; это «Analyse des infini-ment petits pour l’intelligence des courbes» (Париж, 1692) де Лопиталя, одного из учеников Иоганна Бернулли, который, со своей стороны, поразительно быстро перенял новые идеи от Лейбница и выпустил в свет первое руководство по интегральному исчислению. В этой книге проводится точка зрения приближенного определения; так, например, кривую де Лопиталь рассматривает как ломаную с очень малыми сторонами, касательную — как продолжение такой стороны. Распространению дифференциального исчисления Лейбница в Германии особенно содействовал Христиан Вольф, опубликовавший в Галле в 1710 г. свои лекции. Вольф в самом начале дифференциального исчисления вводит дифференциалы Лейбница, но при этом особенно подчеркивает, что они не имеют никакого реального эквивалента. А относительно всего того, что для нашего восприятия является бесконечно малым, он снова проводит исключительно точку зрения приближенного определения. Так, в виде примера Вольф говорит, что высота горы не испытает изменения, заметного для практического измерения, если снять с нее или прибавить пылинку.

4. Нередко встречается также метафизическое представление, приписывающее дифференциалам реальное существование. Особенно оно распространено среди философов, но и среди представителей математической физики оно находит немало приверженцев. К числу последних принадлежал, между прочим, Пуассон, который в предисловии к своему знаменитому трактату по механике в очень категорической форме высказывается в том смысле, что бесконечно малые величины не только представляют собой орудие исследования, но даже вполне реально существуют.

5. Вероятно, вследствие философской традиции это представление перешло в популярную учебную литературу и играет в ней большую роль и по сию пору. Для примера я назову учебник Любсена «Введение в исчисление бесконечно малых», впервые появившийся в 1855 г. и имевший необычайное влияние на широкие круги публики; в мое время, несомненно, всякий в ученические годы или позже — брал в руки эту книгу, и многие из нее впервые почерпнули побуждение к дальнейшему изучению математики. Любсен сперва определяет производную при помощи понятия предела, но наряду с этим, начиная со второго издания, помещает то, что он считает истинным исчислением бесконечно малых, — мистические операции над бесконечно малыми величинами. Соответствующие главы помечены звездочкой в знак того, что они не содержат нового материала. Здесь дифференциалы вводятся как последние доли, которые возникают, например, при последовательном делении конечной величины пополам бесконечное, не поддающееся определению число раз; каждая из таких Долей, «хотя и отлична от абсолютного нуля, но не поддается установлению; она представляет собой бесконечно малую, дуновение, мгновение».

Причину живучести подобных воззрений наряду с математически точным методом пределов надо искать в весьма распространенной потребности заглянуть, минуя абстрактно-логические рассуждения способа пределов, поглубже в саму природу непрерывных величин; желают составить себе о ней более конкретные представления, чем те, которые возникают, когда мы подчеркиваем только психологические моменты, определяющие понятие предела. В этом отношении характерен один афоризм, который, насколько я знаю, принадлежит философу Гегелю и в прежнее время часто повторялся в книгах и лекциях; он утверждает, что функция у = f(x) изображает бытие вещей, а производная — их становление. Конечно, в этом утверждении есть нечто привлекательное, но только надо ясно сознавать, что подобные фразы нисколько не содействуют дальнейшему развитию математики, ибо последняя нуждается в более точных понятиях.

В новейшей математике «актуально» бесконечно малые величины снова попали в честь, но теперь в совершенно ином порядке идей; именно, мы встречаем их в геометрических исследованиях Веронезе, а также в «Основаниях геометрии» Гильберта. Идея, которую я имею в виду, в самых кратких словах сводится к следующему. Рассматривают геометрию, в которой задание (а — обыкновенное действительное число) определяет собой не одну только точку оси а бесконечное множество точек, абсциссы которых отличаются между собой на конечные кратные бесконечно малых величин различных порядков таким образом, точка будет определена, если дано

где а, b, с, ... означают обыкновенные действительные числа; суть актуально бесконечно малые возрастающих порядков. У Гильберта вопрос поставлен так: он устанавливает относительно введенных таким образом величин особые положения в качестве аксиом и при их помощи обнаруживает, что с ними можно оперировать без риска впасть во внутреннее противоречие. Самый важный момент представляет при этом надлежащий выбор критериев сравнения числа и другого числа Прежде всего, конечно, устанавливают, что больше или меньше если а больше или меньше если же вопрос о сравнении величин решают вторые коэффициенты в том смысле, что если если же и то коэффициенты с дают решение вопроса и т. д. Вы поймете это лучше всего, если не будете пытаться связывать с написанными буквами никаких особенных представлений.

Оказывается, что с такими объектами можно оперировать по этим и еще другим указываемым далее правилам совершенно аналогично тому, как оперируют с конечными числами; при этом отпадает только одна существенно важная теорема, имеющая место в системе обыкновенных действительных чисел, а именно, теорема, гласящая, что для всяких двух положителышх чисел ей а, как бы мало ни было первое из них и как бы велико ни было второе, можно подыскать такое целое число , чтобы было

В данном случае из приведенных определений непосредственно вытекает, что любое конечное кратное величины всегда будет меньше всякого конечного положительного числа а; именно это свойство и характеризует как бесконечно малую величину. Точно так же всегда т. е. есть бесконечно малая величина высшего порядка, чем Такую систему чисел называют неархимедовой, так как упомянутую теорему о конечных числах называют аксиомой Архимеда; Архимед формулирует ее как недоказуемое, — вернее, как не допускающее дальнейшего доказательства — основное допущение относительно конечных чисел. То, что эта аксиома перестает иметь место, является характерным для появления актуально бесконечно малых величин. Впрочем, присвоение этой аксиоме имени Архимеда, как и большинство других именных обозначений, является исторически неточным: уже за сто лет до Архимеда ее высказал Евклид, который, по-видимому, тоже не сам ее нашел, а заимствовал, как и очень многие другие из своих теорем, у Евдокса Книдского.

Изучение неархимедовых величин, применяемых, в частности, в качестве координат для построения «неархимедовой геометрии» 148), имеет целью более глубокое проникновение в сущность тех положений, которыми устанавливается непрерывность, и принадлежит к обширной группе исследований о логической зависимости различных аксиом обыкновенной геометрии и арифметики; с этой целью обыкновенно строят такую искусственную числовую систему, в которой имеет место только часть всех аксиом, и из этого заключают о логической независимости прочих аксиом от первых.

Естественно возникает вопрос о том, нельзя ли распространить на такие числовые системы анализ бесконечно малых в строгой современной его постановке; другими словами, нельзя ли построить своего рода неархимедов анализ.

Первая и самая главная задача заключалась бы в доказательстве на основании принятых аксиом теоремы о среднем значении; . Я не хочу утверждать, что в этом направлении успех невозможен, но, во всяком случае, до сих пор никому из тех (а их немало!), кто занимается актуально бесконечно малыми величинами, не удалось добиться каких-либо положительных результатов в этом направлении.

Чтобы помочь вам лучше ориентироваться, я замечу еще, что со времен Коши термин «бесконечно малый» стали употреблять в современных учебниках в другом смысле. А именно, теперь никогда не говорят, что величина бесконечно мала, но говорят лишь, что она становится бесконечно малой, и видят в этом лишь удобное сокращенное обозначение того, что рассматриваемая величина неограниченно убывает, стремясь к нулю.