V. СОВРЕМЕННОЕ РАЗВИТИЕ И СТРОЕНИЕ МАТЕМАТИКИ ВООБЩЕ

1. Два различных ряда эволюций, по которым параллельно развивался математический анализ

Позвольте мне начать с замечания, что в истории развития математики до самого последнего времени очень ясно выступают две различные линии развития, которые то сменяют друг друга, то выступают одновременно и независимо, то, наконец, взаимно переплетаются. Различие, которое я имею в виду, вы поймете лучше всего на конкретном примере, а именно, если я покажу вам, как в действительности пришлось бы построить самые элементарные главы анализа в духе той и другой линии эволюции.

Если следовать одной из них — мы будем называть ее линией эволюции А, — то получается следующая система, которая преимущественно господствует теперь в школах и в элементарных руководствах:

1. Главное место занимает формальное учение об уравнениях, следовательно, действия с целыми рациональными функциями и изучение тех случаев, в которых алгебраические уравнения разрешимы в радикалах.

2. При систематическом развитии понятия степени и ее обращения возникают логарифмы, которые оказываются весьма полезными при оперировании с числами,

3. Между тем как до сих пор геометрия оставалась совершенно изолированной от арифметики и анализа, у нее теперь производят заем, который дает определения трансцендентных функций другого рода, - именно, тригонометрических функций; дальнейшая теория этих функций строится затем в виде отдельной дисциплины.

4. За этим следует алгебраический анализ, который учит разлагать простейшие функции в бесконечные ряды; здесь рассматриваются бином Ньютона в общем виде, логарифм и его обращение — показательная функция — и тригонометрические функции. Сюда же относится общая теория бесконечных рядов и действий с ними. При этом обнаруживаются поразительные соотношения между названными элементарными трансцендентными функциями, в особенности знаменитая формула Эйлера

Эти соотношения представляются тем более уди вительными, что они устанавливают связь между функциями, определения которых были взяты из совершенно различных областей.

5. За пределами школьной математики к этому построению примыкает в качестве естественного продолжения разработанная Вейерштрассом теория функций комплексной переменной.

Теперь я представляю в общих чертах схему второй линии эволюции, которую назовем линией В; здесь в общем господствует дух аналитической геометрии, а именно, идея слияния представлений числа s и пространства. Соответственно этому:

1. Начинают с графического изображения простейших функций — многочленов и рациональных функций одной переменной. Точки пересечения получаемых при этом кривых с осью абсцисс определяют корни многочленов. Сюда же, естественно, примыкает учение о приближенном решении численных уравнений.

2. Геометрический образ кривой является естественным и наглядным источником для понятий производной и интеграла; к первому приводит подъем или спуск кривой, ко второму — площадь, заключенная между кривой и осью абсцисс.

3. В тех случаях, когда процесс интегрирования (или нахождение квадратур в узком смысле слова) не может быть выполнен в явном виде с помощью рациональных функций, он дает повод к возникновению новых функций, которые таким образом вводятся вполне естественно и единообразно. Так, квадратура гиперболы дает определение логарифма:

между тем как квадратура круга легко сводится к интегралу

другими словами, к обращениям тригонометрических функций. Как вам известно, этот же самый ход мыслей приводит далее к новым высшим классам функций, в частности к эллиптическим функциям.

4. Разложение всех полученных таким путем функций в бесконечные степенные ряды производится опять-таки по единообразному принципу — на основании теоремы Тейлора.

5. Высшим применением этого приема является разработанная Коши и Риманом аналитическая теория функций комплексной переменной, основанная на дифференциальных уравнениях Коши — Римана или на теореме об интеграле Коши.

Если мы пожелаем четко выразить в немногих словах результат этого обзора, то можно сказать, что в основе линии А лежит тенденция к дроблению, т. е. такое понимание науки, которое всю ее область разбивает на ряд частей, вполне отграниченных одна от другой, и каждой из них стремится обойтись минимумом вспомогательных средств, по возможности избегая заимствований у соседних областей; идеалом здесь является изящно выкристаллизованное, логически замкнутое в себе построение каждой отдельной области. В противоположность этому приверженец направления

В придает главное значение как раз органической связи между отдельными областями и многочисленным случаям их взаимного содействия; соответственно этому он предпочитает те методы, которые дают ему одновременное понимание многих областей с одной и той же точки зрения; его идеал состоит в том, чтобы обнять все математические науки как одно целое.

Не может быть сомнения относительно того, какое из двух направлений более жизненно, какое из них способно в большей степени заинтересовать ученика, если только он не имеет специального предрасположения к абстрактным математическим рассуждениям. Возьмем для примера, чтобы лучше себе это уяснить, функции относительно которых нам придется именно по этому же поводу еще много говорить. В системе А, — к сожалению, почти исключительно к ней в данном случае примыкает школа — они представляются совершенно разнородными: функция и соответственно логарифм появляются в качестве удобного вспомогательного средства при оперировании с числами, a sinx возникает в геометрии треугольника. Как же после этого понять то, что эти функции находятся в столь простой зависимости между собой, и особенно то, что в самых разнообразных областях, не имеющих ничего общего ни с техникой вычислений, ни с геометрией, они постоянно и неожиданно появляются как естественное выражение царящих там законов? Названия «функция сложных процентов» или «закон органического роста», которые давали функции и, с другой стороны, то, что играет центральную роль всюду, где идет речь о колебаниях, показывают, как далеко заходит возможность их применения. В системе же В все это представляется вполне понятным и соответствующим значению функций, отмеченному с самого начала. Ведь здесь функции возникают из одного источника, из квадратуры простых кривых, а это приводит, как мы увидим ниже, к дифференциальным уравнениям простейшего типа которые составляют естественную основу всех упомянутых приложений.

Но для полного понимания развития математики необходимо еще вспомнить о третьей линии эволюцци С, которая очень часто играет важную роль то отдельно, то вместе с линиями эволюции А и В.

Речь идет о том, что обозначают словом «алгоритм», возникшим из искаженного имени одного известного арабского математика. Алгоритмом является, в сущности, всякое строго установленное формальное исчисление — в частности буквенное исчисление. Мы неоднократно отмечали, какую огромную роль в развитии науки играл алгоритмический процесс, являясь как бы самостоятельной движущей силой, присущей самим формулам и оказывающей свое действие независимо от намерения и предвидения того или другого математика и часто даже вопреки его желанию. Так и в начале развития исчисления бесконечно малых алгоритм, как мы еще при случае увидим, часто побуждал к созданию новых понятий и действий даже прежде, чем математики могли отдать себе отчет в их допустимости. Даже на высших ступенях развития эти алгоритмические моменты могут приносить пользу и действительно приносили ее, так что их можно назвать подпочвой развития математики. Поэтому оставлять в стороне эти моменты как играющие в развитии математики исключительно формальную роль — а это теперь в моде — значит не считаться с историческим ходом развития науки.