2. Краткий обзор истории математики

Я хотел бы проследить теперь подробнее контраст между этими различными направлениями в работе математиков на протяжении всей истории математики; при этом я, разумеется, буду иметь возможность упомянуть лишь самые важные моменты развития. Тем не менее различие между направлениями А и В, проходящее через всю область математики, обнаружится здесь еще яснее, чем в приведенном выше сопоставлений, при котором мы ограничивались областью анализа.

Если начнем с древних греков, то мы найдем резкое разграничение чистой и прикладной математики, которое восходит к Платону и Аристотелю. К чистой математике относится прежде всего известное евклидово построение геометрии, к прикладной принадлежат, в частности, числовые операции, так называемая логистика ( — всеобщее число).

При этом к по следней относились довольно презрительно — предрассудок, который во многих случаях сохранился до сих пор, но во всяком случае, большей частью только у людей, которые сами не умеют вычислять. Этому, положению логистики могло содействовать отчасти то, что она развивалась в тесной связи с тригонометрией и с потребностями практического землемерия, которое с древних времен казалось людям недостаточно благородным занятием. Конечно, она снова была несколько реабилитирована тем, что без нее не могла обойтись другая наука, которая хотя и родственна геодезии, но в противоположность ей всегда считалась одной из самых благородных, — астрономия. Эта греческая манера научной работы с ее строгим размежеванием отдельных областей, каждая из которых излагалась затем в виде как бы застывшего логического построения, принадлежит, конечно, линии эволюции А. Тем не менее грекам не были чужды и рассуждения в духе В; они, по-видимому, служили им для эвристических целей и для первого сообщения их открытий; однако для окончательного изложения форма А казалась им незаменимой. Это видно из недавно открытого манускрипта Архимеда, в котором он сообщает вычисления объемов тел во вполне современной живой форме.

Наряду с греками в истории математики в древности особое значение имеют индийцы как творцы современной системы счисления и позднее арабы, передавшие ее нам; у последних встречаются также начатки буквенного исчисления. Ясно, что эти успехи принадлежат алгоритмической линии эволюции С.

Переходя к новому времени, мы можем прежде всего отметить (около 1500 г.) начало возрождения математического творчества, которое принесло с собой целый ряд замечательных открытий. Для примера я назову формальное решение кубического уравнения (формула Кардано), которое находится в труде «Ars magna» Кардано, появившемся в Нюренберге в 1545 г.; это в высшей степени ценное произведение содержит вообще зародыши современной алгебры, выходящие, за пределы схемы античной математики.

Конечно, это не составляет собственной заслуги Кардано, так как он, по-видимому, не сам открыл, свою знаменитую формулу, но заимствовал ее, как и многое другое, у иностранных авторов.

Начиная с 1550 г., на первый план выступают тригонометрические вычисления; появляются первые большие тригонометрические таблицы, вызванные потребностями астрономии, относительно которой я ограничусь одним только именем Коперника. Приблизительно с 1600 г. непосредственно к этому примыкает развитие логарифмов; первые логарифмические таблицы, составленные шотландцем Непером в 1614 г., содержат только логарифмы тригонометрических функций. Таким образом, мы видим, что в эти 100 лет развитие математики в точности следовало схеме А.

Теперь мы приходим к новейшему времени — к дальнейшему течению XVII в. Здесь на первый план выступает исключительно направление В. В 1637 г. появляется аналитическая геометрия Декарта, которая устанавливает связь между числом и пространством, играющую основную роль во всем последующем развитии математики. В связи с этим тотчас выступают две великие проблемы XVII в.: проблема касательных и проблема квадратуры, т. е. проблемы дифференцирования и интегрирования. Для развития дифференциального и интегрального исчисления в собственном смысле недостает еще только одного: еще не знают, что обе проблемы находятся в очень тесной связи, что одна представляет собой обращение другой; в уяснении этого заключалось, по-видимому, ядро того громадного прогресса, который осуществился в конце столетия.

Но еще раньше, в том же столетии, возникает учение о бесконечных рядах, в частности о степенных рядах, и Притом не как самостоятельная дисциплина в смысле современного алгебраического анализа, но в теснейшей связи с Квадратурными проблемами.

Меркатор (латинская переделка немецкого имени «Кремер»: Kramer — торговец), в особенности известный как творец меркаторской проекции, первый проложил здесь путь; ему принадлежит смелая идея — для разложения в ряд представить в виде ряда дробь и проинтегрировать почленно:

Это в точности соответствует ходу его мыслей, хотя он, конечно, пользуется не нашими простыми знаками и т. д., но более тяжелым языком. После

1660 г. этим приемом стал пользоваться Ньютон, который построил ряд для выражения бинома с любым показателем. Конечно, им руководили при этом только заключения по аналогии с известными ему простейшими случаями; он не владел строгим доказательством и не знал границ приложимости этого разложения — в этом снова обнаруживается алгоритмическая линия С. Применяя этот прием к выражению он получает по способу

Меркатора ряд для . С помощью очень искусного обращения этого ряда, а также ряда для функции он далее получает ряды для . В заключение этой цепи открытий следует назвать, наконец, Тейлора, нашедшего в 1714 г. свой общий принцип для разложения функций в степенные ряды.

Возникновением исчисления бесконечно малых в собственном смысле в конце XVII в. мы обязаны, как известно, Лейбницу и Ньютону. У Ньютона основной идеей является представление о течении; обе переменные х, у рассматриваются как функции времени i; течет время — «текут» непрерывно и эти функции. Соответственно этому переменная называется у Ньютона флюентой (fluens), а то, что мы называем производной, он обозначает как «флюксию» х, у. Мы видим, как тут все сплошь основано на наглядном представлении.

То же относится и к изложению Лейбница, первая работа которого появилась в 1684 г.

Он сам называет своим главнейшим открытием принцип непрерывности во всяком процессе природы, т. е. положение «Natura non facit saltum». На этом представлении процессов природы он основывает свои математические построения — опять-таки черта, типичная для линии В. С другой стороны, у Лейбница большую роль играет влияние алгоритма (линия С); от него ведут начало такие ценные с точки зрения алгоритма обозначения, как

В целом результат этого обзора заключается в том, что великие открытия XVII в. по существу целиком принадлежат эволюционной линии В.

В XVIII в. этот период открытий продолжается сперва в том же направлении; в качестве наиболее блестящих имен следует назвать Эйлера и Лагранжа. В эту эпоху развивается, говоря кратко, учение о дифференциальных уравнениях в самом общем смысле, включая вариационное исчисление, а также здание аналитической геометрии и аналитической механики, всюду здесь мы видим живое движение вперед. Это напоминает эпоху в истории географии после открытия Америки, когда новые страны исследовали и объезжали вдоль и поперек. Но совершенно подобно тому, как там еще долго не было и речи о точных измерениях, так что в первое время имели место совершенно ложные представления даже об общем положении новой части света (ведь думал же вначале Колумб, что открыл восточный берег Азии), - так и здесь, во вновь завоеванных странах новой математической части света, анализа бесконечно малых, в первое время представления были довольно далеки от надежной логической постановки. Даже в отношении старых, хорошо известных областей математики впадали подчас в заблуждения, считая исчисление бесконечно малых чем-то мистическим, не допускающим точного логического анализа. До чего шатко было основание, на котором первоначально стояли творцы нового анализа, стало вполне ясным лишь тогда, когда понадобилось изложить новые отрасли математики в доступном виде в руководствах; тогда сразу обнаружилось, что направление В, до сих пор единственно господствовавшее, здесь уже бессильно, и Эйлер первый оставил его.

Хотя у него самого исчисление бесконечно малых и не вызывало никаких сомнений, но для начинающих оно, по мнению Эйлера, представляло слишком много трудностей и сомнений. Исходя из этих дидактических соображений, он счел нужным предпослать ему в виде отдельного курса под названием «Введение в анализ бесконечно малых» (Introductio in analysin infinitorum», 1748) ту дисциплину, которую мы теперь называем алгебраическим анализом. К этому курсу Эйлер относит, в частности, учение о бесконечных рядах и других бесконечных процессах, которое служит ему потом фундаментом при построении исчисления бесконечно малых.

Гораздо более радикальный путь прокладывает почти 50 лет спустя (в 1797 г.) Лагранж в своей «Теории аналитических функций».

Свои сомнения относительно современного ему обоснования исчисления бесконечно малых он находит возможным устранить лишь тем, что он отказывается от него как от общей дисциплины, понимая под ним просто собрание формальных правил, относящихся к известным специальным функциям; а именно, он рассматривает исключительно такие функции, которые даны в виде степенных рядов:

и такие именно функции он и называет аналитическими, т. е. такими, которые встречаются в анализе и с которыми последний действительно может что-либо предпринять. Производная такой функции f(x) определяется вполне формально с помощью второго такого же степенного ряда, как мы это еще увидим впоследствии, а взаимная связь между такими рядами и составляет предмет дифференциального и интегрального исчислений. Такое ограничение чисто формальными построениями, конечно, устраняло для того времени целый ряд затруднений.

Вы видите, что эта деятельность Эйлера и Лагранжа целиком принадлежит направлению А, поскольку они заменяют наглядно-генетическое развитие строго замкнутым в себе кругом мыслей.

Оба эти сочинения имели огромное влияние на школьное преподавание; если в настоящее время в средней школе изучают бесконечные ряды или решают уравнения разложением по степеням по так называемому способу неопределенных коэффициентов, но отказываются включить в ее программу дифференциальное и интегральное исчисления в собственном смысле слова, то это значит, что наша школа вполне еще находится под влиянием Эйлера и Лагранжа.

Наиболее существенным для начала XIX в., к которому мы теперь переходим, является строгое обоснование высшего анализа посредством признаков сходимости, о которых раньше не заботились. В XVIII в. в этом отношении царит еще райское состояние, в котором не различают добра и зла, сходящегося и расходящегося ряда; даже в «Introductio» Эйлера мирно уживаются рядом сходящиеся и расходящиеся ряды. Но в начале нового столетия Гаусс и Абель публикуют первые точные исследования о сходимости, а в 20-х годах Коши развивает в своих лекциях и сочинениях первое точное обоснование исчисления бесконечно малых в современном духе. Он не только дает точное определение производной и интеграла как пределов конечных отношений и сумм, как это уже делали иногда и до него, но впервые строит на нем последовательную систему преподавания анализа, выдвигая на первый план теорему о среднем значении. Впоследствии мы еще остановимся на этом подробнее. Эти теории принадлежат, конечно, направлению А, так как они систематично, логически разрабатывают известную область изолированно от других областей. Между тем эти теории не оказали никакого влияния на нашу школу, хотя они были вполне способны разрушить старые предрассудки против дифференциального и интегрального исчислений.

Из дальнейшего развития математики в XIX в. я отмечу лишь очень немногое. Прежде всего я назову некоторые успехи, принадлежащие направлению В: возникают новая геометрия, математическая физика и теория функций комплексной переменной по Коши и Риману. Вождями при возникновении этих трех обширных областей были сперва французы. Здесь уместно будет сказать несколько слов о стиле математического изложения.

У Евклида вы все найдете расчлененным по схеме «предположение, утверждение, доказательство», к которой он еще присоединяет «определение» (ограничение области, внутри которой действительны рассуждения); в широких кругах вы можете встретить мнение, что вся математика всегда движется по такой схеме в четыре такта. А между тем, как раз в тот период, о котором мы сейчас говорим, у французов стала вырабатываться новая, художественная форма математического изложения, которую можно называть искусно расчлененной дедукцией. Сочинения Монжа или, чтобы назвать более новую книгу, «Курс анализа» Пикара читаются как хорошо написанный увлекательный роман. Это стиль, свойственный манере В, тогда как евклидово изложение вполне родственно манере А.

Из немцев, сделавших великое завоевание в названных областях, я назову еще Якоби и Римана и присоединю сюда же из новейшего времени Клебша и норвежца Ли. Все они существенно принадлежат направлению В, но только по временам у них замечается алгоритмическая тенденция.

С Вейерштрассом снова сильнее выступает на первый план метод мышления А. Особенно это относится к периоду с 1860 г., когда он стал читать свои лекции в Берлине. Теорию функций Вейерштрасса я уже приводил под буквой А. В равной степени принадлежат типу А новейшие исследования об аксиомах геометрии; здесь мы имеем исследования совсем в духе Евклида, которые и по изложению приближаются к указанному типу.

Этим мы закончим наш краткий исторический обзор; в качестве итога мы можем указать, что за целые столетия истории математики оба наши главнейшие направления развития появлялись равномерно и каждое из них (а часто как раз их смена) приводило к великим успехам науки. Таким образом, математика только тогда сможет равномерно развиваться по всем направлениям, когда ни один из методов исследования не будет оставлен в пренебрежении. Пусть каждый математик работает в том направлении, к которому лежит его сердце.

Но школьное преподавание, к сожалению, находится с давних пор (я это уже отмечал) под односторонним влиянием направления А. Всякое движение в пользу реформы математического образования должно поэтому ратовать за более сильное выделение направления В.

При этом я считаю необходимым прежде всего провести в преподавании генетический метод, более настойчиво подчеркивать наглядные пространственные представления и, в особенности, выдвинуть на первый план понятие функции, сливая при этом представление о пространстве и числе. Этой же цели должны служить и настоящие лекции, тем более, что в тех книгах по элементарной математике, к которым мы обращаемся за советом (книги Вебера и Вельштейна, Тропфке, Симона), почти исключительно представлено направление А; на этот контраст я уже указывал во введении к этому курсу.

На этом мы заканчиваем историческое отступление и обратимся к следующему большому разделу курса.