3. Замечания исторического и педагогического характера

Мне хотелось бы прибавить к этому еще некоторые замечания исторического и педагогического характера.

Я отмечу раньше всего, что связь, которую Тейлор установил между разностным и дифференциальным исчислениями, сохранялась в течение продолжительного времени: еще у Эйлера в работах его, посвященных анализу, эти две дисциплины тесно связаны одна с другой, и формулы дифференциального исчисления рассматриваются как предельные случаи совершенно элементарных соотношений, имеющих место в разностном исчислении. Это вполне естественное соединение двух наук продолжалось до тех пор, пока на появилось исчисление производных Лагранжа с его не раз уже упомянутыми выше формальными определениями. Я должен здесь указать на одно компилятивное сочинение конца XVIII в., в котором его автор, Лакруа, становясь на почву учения Лагранжа, излагает все известные в то время факты исчисления бесконечно малых. Как характерный пример из этой работы я приведу определение производной. Пусть некоторая функция определена степенным рядом; пользуясь разложением бинома Ньютона и соединяя члены с одинаковыми степенями буквы мы получим

Лакруа просто обозначает член, линейный относительно А, через и, так как вместо можно писать получает для производной, или, как он это называет, для дифференциального коэффициента, соотношение

Это равенство получает, таким образом, совершенно формальный характер, хотя против правильности его нельзя возражать.

Понятно, что при таком характере изложения Лакруа не может исходить из разностного исчисления; он считает, однако, последнее настолько важным для практики, что не решается вовсе его опустить, а дает его в виде самостоятельной дисциплины — и притом в очень подробной обработке — в последнем томе.

Историческое значение этой книги, которую называют «большой Лакруа», состоит главным образом в том, что она является источником, из которого черпали материал многие учебники исчисления бесконечно малых, появившиеся в XIX в., - раньше всего здесь нужно назвать учебник, составленный самим Лакруа, — «маленький Лакруа».

Впрочем, начиная с 20-х годов этого столетия наряду с влиянием Лакруа в учебниках сказывается также влияние способа пределов, которому Коши возвратил его прежнее значение; я имею в виду главным образом французские учебники, выходившие под названием «Cours d’analyse de l’ecole polytechnique» и предназначенные для высших учебных заведений. Немецкие учебники, за единственным исключением Шлемильха, не носят самостоятельного характера, а зависят прямо или косвенно от французских. Из этой массы книг я выделю только книгу Серре, которая в первый раз вышла в Париже в 1884 г.; Гарнак перевел ее на немецкий язык, и она стала также в Германии одним из самых распространенных учебников.

Мне еще хотелось бы упомянуть об одной, совсем новой французской книге: это двухтомный «Cours d’analyse mathematique» Гурса; он по многим вопросам содержит гораздо больше материала, чем Серре, и в него входит целый ряд новейших исследований; кроме того, он очень доступно написан.

Во всех этих новых учебниках производная и интеграл определяются при помощи предельного перехода — о разностном исчислении в них нет и речи. При таком изложении многое может стать более отчетливым, но при этом, как в микроскопе, суживается поле зрения. Разностное исчисление теперь предоставлено тем, кто занимается практическими вычислениями, главным образом астрономам; математики же совсем не изучают его.

На этом я закончу свое изложение исчисления бесконечно малых и только в заключение опять укажу на особенности, отличающие его от того изложения, которое обыкновенно дается в учебниках.

1. Я иллюстрирую абстрактные рассуждения при помощи наглядных, конкретных чертежей. (Приближенные кривые для рядов Фурье и Тейлора.)

2. Я подчеркиваю связь с соседними областями, например с разностным и интерполяционным исчислениями и даже с философскими исследованиями.

3. Я указываю на историю развития предмета.

4. Я привожу примеры изложения из популярной литературы с целью выяснить разницу между основанными на ней воззрениями публики и воззрениями специалистов-математиков.

Я считаю знакомство с этими вещами особенно важным для будущих учителей. Как только вы вступаете в практическую жизнь, вам приходится столкнуться с ходячими воззрениями, и если вы в них не разобрались раньше, если вы не знакомы с элементом наглядности в математике и не сознаете ее живой связи с соседними областями, если вы, что важнее всего, не знаете исторического развития вашей науки, то вы теряете всякую почву под ногами; вы становитесь на почву самой ортодоксальной математики и вас тогда не понимают ученики, или же вы признаете себя побежденными, отказываетесь от всего, чему вы научились в университете, и придерживаетесь в преподавании традиционной рутины. Как раз здесь, в области исчисления бесконечно малых, разрыв между средней и высшей школой особенно велик; я надеюсь, что мое изложение будет содействовать его устранению и что я дал вам для вашей педагогической деятельности полезное орудие.

Теперь я оставляю традиционный анализ и хочу посвятить приложение изложению нескольких теорий новейшей математики, о которых мне уже приходилось упоминать раньше и с которыми, как мне кажется, учитель должен быть немного знаком.