2. Уравнение диэдра

Так называют следующее уравнение:

основание же для такого названия будет выяснено ниже. Умножая на находим, что степень этого уравнения равна . Вводя однородные переменные, получаем

здесь действительно числитель и знаменатель представляют собой формы степени . Их функциональный определитель равен

Прежде всего, он имеет корни кратности каждый; остальные корней получаются из уравнения

или

Если ввести наряду с корнем степени из единицы

которым мы пользовались уже выше, еще и следующий корень степени из —1;

то остальные корней таковы:

и

так как соответствующие значения имеют каждое модуль 1 и поэтому расположены на экваторе z (соответствующем окружности радиуса 1 на плоскости ) на одинаковых угловых расстояниях одно от другого. Итак, мы находим следующие замечательные точки на сфере : южный полюс и северный полюс каждый кратности точек на экваторе каждая кратности 1.

Сумма всех кратностей равна как того требует общая теорема (с. 156) при степени . В силу (1) замечательным точкам на сфере w отвечает точка всем точкам — точка и, наконец, всем точкам — точка Поэтому на сфере w имеются только три места ветвления: . При этом

над расположены 2 точки ветвления кратности

над расположены точек ветвления кратности 1, над расположены точек ветвления кратности 1.

Таким образом, из листов поверхности Римана в точке циклически сходятся обе группы по листов, а в каждой из точек и сходятся раз по два листа. Детали расположения этих листов представятся нагляднее, если мы изучим соответствующее разбиение сферы на полуобласти.

Для этого полезно знать, как замечено выше, те линейные подстановки, которые преобразуют уравнение (1) в себя. Прежде всего, оно остается неизменным, подобно двучленному уравнению, при подстановках

где так как при них Точно так же оно переходит в себя при следующих подстановках:

так как они только меняют местами . В итоге мы имеем линейных преобразований уравнения (1) в себя, т. е. как раз число, равное степени уравнения. Поэтому, зная при некотором значении w один корень уравнения, можно сразу получить все корней: ), если только известен корень степени из единицы.

Теперь перейдем к исследованию того разбиения сферы z, которое соответствует разрезанию римановой поверхности над сферой да вдоль действительной прямой; при этом мы будем различать на этой прямой, как и в предыдущем примере, отрезки, определяемые тремя местами ветвления, а именно: от до (сплошная линия), от до —1 (пунктир), от —1 до (штриховая линия) (рис. 42). Каждому из этих трех отрезков отвечают на сфере z по различных дуг, которые все получаются из одной из них с помощью линейных подстановок (2); поэтому достаточно определить каждый раз положение одной из них. С другой стороны, все эти дуги должны соединять замечательные точки которые мы прежде всего отмечаем на сфере z.

Аналогично предыдущему случаю, изображение этих отрезков несколько различается в зависимости от того, является ли четным или нечетным числом. Для нас достаточно будет наглядно представить себе один какой-нибудь определенный случай, например Рис. 42 изображает в прямоугольной проекции переднюю сторону сферы ; на ней видны из точек лежащих на экваторе на расстоянии 60° друг от друга, начиная слева, точки а из точек расположенных посередине между первыми, видны точки

Рис. 42

Я утверждаю, что луч действительной прямой на сфере z соответствует части на сфере . Действительно, если положить и придавать действительные значения от 1 до то принимать также возрастающие действительные значения от I до Из этой дуги получаются других связных дуг на сфере z с помощью линейных подстановок (2а), которые, как мы знаем из первого примера, изображают повороты сферы около вертикальной оси ) на углы таким образом, мы получаем полумеридианов, соединяющих северный полюс с точками в экватора. Еще одну связную дугу мы получим, применяя, например, подстановку , которая переводит отрезок положительного луча от до в нижний отрезок меридиана, соединяющий точки и 0.

Если подвергнуть и эту кривую всем поворотам (-соединение этих поворотов с преобразованием - дает все подстановки то получим еще полумеридианов, соединяющих южный полюс с точками экватора так что мы действительно получаем искомых связных дуг, соответствующих полумеридиану сферы w. При эти дуги составляют три больших окружности, которые получаются из одной (действительной) поворотами на углы 0, 60, 120°.

Теперь мы можем убедиться в том, что совокупность значений где снова пробегает действительные значения от до соответствует части действительного меридиана w, изображенной пунктиром; в самом деле, уравнение (1) при этих значениях дает

следовательно, w постоянно убывает от —1 до Но представляет полумеридиан от до точки на экваторе; применяя к нему снова подстановки (2а) и находим аналогично предыдущему, что части действительного меридиана w, отмеченной пунктиром, соответствуют все полумеридианы, соединяющие полюсы с точками экватора так что эти меридианы делят пополам углы между меридианами, которые мы использовали выше.

Остается найти криволинейных отрезков, соответствующих дуге отмеченной штриховой линией; я докажу, что это как раз отрезки, определяемые на экваторе сферы z точками . В самом деле, экватор изображает точки с модулем 1 и поэтому может быть представлен посредством функции где принимает действительные значения от 0 до Поэтому соответствующее w равно

оно, действительно, остается всегда действительным и по модулю меньшим единицы, а именно, принимает по разу все значения между пробегает дугу длиною т. е. w пробегает один из тех отрезков, о которых идет речь.

Определенные таким образом дуги делят сферу на треугольных (при полуобластей; каждая из них ограничена тремя дугами, по одной каждого рода, и соответствует одному из полулистов поверхности Римана. В замечательных точках сходятся вместе по нескольку областей, а именно, как это и должно быть по таблице кратностей , в северном и южном полюсах по а в каждой из точек по 2•2. Чтобы определить, какие из этих областей следует заштриховать, обратим внимание на то, что граница заштрихованной полусферы (соответствующей значениям w с положительной мнимой частью), пробегаемая в положительном направлении, состоит из сплошной, штриховой и пунктирной дуг; ввиду конформности отображения следует заштриховать все те полуобласти, у которых три части периферии следуют одна за другой в таком же порядке, все же остальные оставить без штриховки.

Таким образом, мы получили полное геометрическое изображение зависимости между , выражаемой нашим уравнением; это изображение можно проследить еще дальше, подробнее разбирая конформное отображение отдельной треугольной области на полусферу w, но мы не станем здесь этим заниматься. Я хочу только описать эти результаты в применении к случаю на котором мы останавливались выше. В этом случае сфера распадается на 12 заштрихованных и 12 незаштрихованных треугольников, из которых на нашем рисунке видно по 6 тех и других. В каждом полюсе сходятся по 6 треугольников того и другого рода, а в 12 равноотстоящих точках экватора по 2. Каждая область конформно отображается на такой же полулист поверхности Римана; последние соответственно группировке полуобластей соединяются по 6 полулистоз каждого рода над местом ветвления и по 2 каждого рода над местами ветвления ±1.

Особенно удобное и — ввиду аналогии с последующим особенно ценное изображение деления сферы получается так: соединяют отрезком каждые две соседние точки деления экватора, отстоящие одна от другой на — (например, все ), и затем каждую из них с обоими полюсами (рис. 43).

Таким образом получают вписанную в сферу двойную пирамиду с (на нашем рисунке 6) боковыми гранями у каждой из простых пирамид. Если спроектировать сферу с ее областями из центра на эту пирамиду, то каждая треугольная грань разделится своей высотой на две половины, одна из которых заштрихована.

Рис. 43

Рис. 44

Если принять эту двойную пирамиду за изображение деления сферы и, следовательно, как наглядное представление а нашей функции, то она окажет нам те же услуги, какие представят правильные многогранники в нижеследующих примерах. Мы достигаем полной аналогии с последними, если представим себе, что наша двойная пирамида сплюснута в плоскость оснований, и станем рассматривать получающийся при этом дважды покрытый правильный -угольник (шестиугольник), обе стороны которого разделены прямыми, соединяющими центр его с вершинами и с серединами сторон, на треугольников каждая (рис. 44). Я всегда был склонен причислять эту фигуру, называя ее диэдром, к пяти правильным многогранникам, которые известны со времен Платона 10°). Действительно, она удовлетворяет всем условиям, которыми обыкновенно определяют правильный многогранник: все ее ребра равны между собой (стороны правильного -угольника), и углы ее также равны между собой (углы -угольника); единственное различие заключается в том, что она не представляет собой тела в буквальном смысле, так как заключает в себе объем, равный нулю.

Таким образом, теорема Платона о том, что существует только пять правильных многогранников, справедлива лишь в том случае, если включить в определение требование — всегда, конечно, молчаливо подразумеваемое, — что многогранник является телом в собственном смысле слова.

Исходя из диэдра, можно, очевидно, получить наше деление сферы, проектируя на сферу не только его вершины, но также середины его сторон и боковые грани; поэтому его тоже можно рассматривать как представителя изображаемой нашим уравнением функциональной зависимости между w и z, так что это уравнение можно, как уже было указано, назвать уравнением диэдра.

Теперь мы переходим к упомянутым уже примерам, которые имеют непосредственное отношение к правильным телам Платона.