5. Пифагоровы числа. Великая теорема Ферма

Я перехожу теперь к п. 7 раздела 1, к учению о так называемых пифагоровых числах-, здесь мы опять воспользуемся наглядными представлениями, но в несколько иной форме. Задача о пифагоровых числах заключается, как известно, в том, чтобы найти целые числа, удовлетворяющие уравнению

Положив

мы рассмотрим вместо уравнения (1) уравнение

к которому оно приводится при помощи преобразования (2); нам нужно, следовательно, разыскать все рациональные дроби, удовлетворяющие этому уравнению. Имея это в виду, мы рассмотрим совокупность всех рациональных точек на плоскости (т. е. всех точек, которые имеют рациональные координаты ); точки эти образуют в плоскости всюду плотное множество.

Уравнение (3) выражает окружность на плоскости, описанную из начала координат радиусом, равным единице; наша задача сводится к тому, чтобы определить, как проходит наша окружность в этом плотном множестве рациональных точек, какие из них она содержит. Некоторые из рациональных точек, принадлежащих окружности, мы хорошо знаем наперед: сюда относятся, например, точки ее пересечения с четырьмя осями. Но мы остановимся предпочтительно на точке (рис. 8). Представим себе все лучи, проходящие через точку S; они выражаются уравнением

Каждый из этих лучей мы будем называть рациональным или иррациональным в зависимости от того, имеет ли параметр рациональное или иррациональное значение.

Рис. 8

Теперь нетрудно доказать следующее предложение: каждая рациональная точка окружности проектируется из точки S рациональным лучом и, обратно, каждый рациональный луч (4) пересекает окружность в рациональной точке.

Первая половина непосредственно ясна. Вторую мы докажем прямым вычислением. Именно, подставляя выражение (4) для в уравнение (3), мы получим для абсциссы точки пересечения уравнение

или

Но один корень соответствующий точке S, нам известен; для другого корня мы простым вычислением получаем выражение

а тогда уравнение (4) дает для ординаты выражение

при рациональном К мы, таким образом, действительно получаем рациональную точку пересечения.

Доказанное предложение можно выразить так: все рациональные точки нашей окружности выражаются формулами (5), где К обозначает любое рациональное число. Этим наша задача собственно решена; нам остается только сделать переход к целым числам. Для этого мы полагаем

где и m суть целые числа; тогда выражения (5) принимают вид

Это будет общий вид всех рациональных решений уравнения (3).

Совокупность всех целых решений первоначального уравнения (1), т. е. всех пифагоровых чисел, содержится, стало быть, в формулах

мы получаем отсюда все решения, не имеющие общих делителей, если числа тип пробегают все пары чисел, взаимно простых между собой.

Мы пришли, таким образом, к чрезвычайно наглядному решению этого вопроса, которое обыкновенно получается при помощи весьма абстрактных соображений.

Здесь я хочу кстати остановиться на так называемой «великой теореме Ферма». Я поступлю совершенно в духе древних геометров, если перенесу вопрос о пифагоровых числах — в обыкновенной его постановке на плоскости — в пространство более сложной структуры, и именно следующим образом: возможно ли, чтобы сумма кубов двух целых чисел представляла собой полный куб? Или возможно ли, чтобы сумма четвертых степеней представляла собой полную четвертую степень? Вообще, может ли уравнение

при целом быть разрешено в целых числах? Ферма дал отрицательный ответ на этот вопрос, который заключается в следующей теореме, носящей имя ее автора: уравнение

не имеет целых решений ни при каком , большем 2.

Позвольте мне начать с некоторых исторических сведений. Ферма жил с 1608 до 1665 г. и был в Тулузе советником парламента, — стало быть, юристом. Но он много занимался математическими вопросами и притом настолько плодотворно, что его следует отнести к числу величайших математиков. Ферма может быть вполне заслуженно отнесен к числу основателей аналитической геометрии, исчисления бесконечно малых и теории вероятностей, но особенно важное значение имеют его труды в области теории чисел. Однако все результаты, полученные им в этой области, оставлены им в виде пометок на полях экземпляра Диофанта, знаменитого эллинского математика, написавшего книгу по теории чисел около 300 г. н. э., т. е. приблизительно через 600 лет после Евклида.

Эти заметки Ферма были опубликованы его сыном лишь через 5 лет после его смерти; он сам при жизни их не печатал. Среди этих заметок имеется также и «великая теорема», о которой теперь идет речь, с припиской: «я нашел воистину удивительное доказательство, но за недостатком места не могу его здесь привести». Однако по настоящее время не удалось найти доказательства этого предложения.

Чтобы несколько ближе ориентироваться в содержании этой теоремы Ферма, мы, как и в случае попытаемся сначала найти рациональные решения уравнения

т. е. постараемся представить себе положение заданной этим уравнением кривой относительно рациональных точек плоскости. Рис. 9 и 10 приблизительно изображают кривые, соответствующие значениям

Рис. 9

Рис. 10

Они, во всяком случае, содержат точки и при соответственно точки Утверждение Ферма сводится, таким образом, к тому, что эти кривые в противоположность рассмотренной выше окружности извиваются во всюду плотном множестве рациональных точек, не проходя ни через одну его точку, кроме упомянутых выше.

Интерес этого предложения заключается прежде всего в том, что полного его доказательства до сих пор никому не удалось найти, несмотря на все употребленные к этому усилия.

Что касается попыток доказательства этого предложения, то здесь на первом месте приходится назвать Куммера, существенно подвинувшего вопрос вперед. Куммер привел этот вопрос в связь с теорией алгебраических чисел, в част» ности с числами, к которым приводит задача о делении окружности на равные части. Пользуясь корнем степени из единицы

можно разложить разность на линейные множители; уравнение Ферма принимает тогда вид

иными словами, степень числа должна разлагаться на множители, которые указанным выше способом составляются из чисел и из числа . Для такого рода чисел Куммер построил теории, совершенно аналогичные тем, которые издавна известны для целых чисел: он построил понятие о делимости этих чисел, о разложении числа на простые множители и т. д. Сообразно этому мы говорим теперь о целых алгебраических числах и, в частности, о целых числах, к которым приводит задача о делении окружности на равные части. С точки зрения Куммера, предложение Ферма является теоремой о разложении на множители в области чисел . Исходя из этих соображений, он и пытается доказать теорему. Это ему действительно удалось для большого количества значений показателя в частности, например, предложение им доказано для всех показателей, которые меньше 100. Но между большими числами оказываются исключения, освободиться от которых не удалось ни ему, ни крупнейшим математикам, следовавшим его пути. Я вынужден здесь естественно ограничиться этими указаниями; подробности о состоянии этой задачи вы найдете в «Математической энциклопедии», в конце реферата Гильберта «О теории алгебраических чисел». Гильберт сам принадлежит к числу тех математиков, которые продолжали и развили исследования Куммера.

Вряд ли можно сомневаться, что «удивительное» доказательство Ферма не попадало в эту область идей.

Трудно думать, чтобы он владел операциями над алгебраическими числами в ту пору, когда относительно мнимых чисел математики еще не были достаточно ориентированы, когда была еще в зачаточном состоянии сама теория чисел, которая именно благодаря глубоким исследованиям Ферма получила импульс к дальнейшему развитию. С другой стороны, очень мало вероятно, чтобы такой математик, как Ферма, в своем доказательстве допустил ошибку, хотя такого рода случаи и бывали у величайших математиков. Нужно думать поэтому, что он нашел доказательство благодаря какой-либо особенно удачной, простой идее. Но так как мы не имеем никаких указаний, которые позволили бы уловить эту идею, то полное доказательство теоремы Ферма можно, по-видимому, ожидать получить только путем систематического развития работ Куммера.

Эти вопросы в настоящее время особенно привлекают внимание потому, что Гёттингенское ученое общество располагает премией в 100000 марок за решение задачи Ферма. Это есть завещание скончавшегося около года тому назад математика Вольфскеля из Дармштадта, который, вероятно, всю жизнь занимался этим вопросом и оставил часть своего громадного состояния счастливцу, которому удастся либо доказать это предложение во всей его общности, либо опровергнуть его одним противоречащим примером. Однако разыскать такой пример, конечно, нелегко, так как для показателей, не превышающих ста, теорема уже доказана, и здесь приходится, таким образом, оперировать с чрезвычайно большими числами. Что должен думать о трудности получить эту премию математик, знакомый с усилиями Куммера и его последователей, это ясно из изложенного мною выше, но широкая публика другого мнения об этом. В конце лета этого года известие о премии было распространено газетами (которые, впрочем, не были к тому уполномочены); с этого времени у нас накопился уже целый склад доказательств. Люди всех профессий — инженеры, народные учителя, священники, банкиры, дамы и т. д. — являются авторами этих работ. Общее во всех этих работах лишь то, что их авторы не имеют ни малейшего представления о серьезном математическом значении проблемы; они не делают даже ни малейшей попытки осведомиться в литературе по этому вопросу, всегда стараются справиться с задачей посредством какой-либо необычайной идеи и, конечно, неизменно попадают впросак.

О тех несообразностях, которые появляются в этого рода произведениях, можно прочесть в критических отзывах о подобных доказательствах, которые помещены в большом количестве в журнале «Archiv fur Mathematik und Physik», тома XIV, XV, XVI, XVII и XVIII (1901—1911 гг.).Не могу отказать себе в том, чтобы привести особенно разительный пример из этого вороха нелепостей. Человек, не понимающий смысла знака , вместо

читает

и, конечно, уже при находит решение уравнения:

Это открытие он шлет Гёттингенскому ученому обществу и считает математиков такими глупцами, которые способны за это дать такую премию. Но и серьезная математическая мысль получила благодаря всему этому новый толчок к тому, чтобы заняться теоремой Ферма; действительно, здесь можно уже отметить некоторые успехи, хотя само решение проблемы все еще остается очень далеким.