Счетность множества рациональных и алгебраических чисел.

Начнем с доказательства этой теоремы для случая рациональных чисел, которое, несомненно, известно многим из вас. Всякое рациональное число — положительное или отрицательное — можно представить однозначным образом в виде дроби , где и q — взаимно простые целые числа и q положительно (тогда как может быть и отрицательным)

Чтобы расположить все эти дроби в один ряд, прежде всего отметим мысленно в плоскости все точки с целочисленными координатами , q и расположим их в счетный ряд, как показывает спиралеобразный путь на рис. 122. В соответствии с этим мы можем перенумеровать все наши числовые пары — так, что каждой паре будет отвечать только одно целое число и в то же время будут исчерпаны все целые числа. Теперь удалим из этого ряда все те числовые пары, которые не удовлетворят высказанным выше условиям (отсутствие общих делителей и ), и перенумеруем только оставшиеся пары (отмеченные на рисунке точками). Получаются следующие две строки:

которые позволяют каждому рациональному числу поставить в соответствие ровно одно натуральное число и каждому натуральному числу — ровно одно рациональное; это доказывает счетность множества рациональных чисел. Заметим, что при указанном расположении рациональных чисел в счетный ряд коренным образом нарушается их естественное упорядочение по величине; это видно на рис. 123, где под рациональными точками оси абсцисс подписаны их порядковые номера в проведенном выше искусственном расположении.

Рис. 122

Теперь перейдем к алгебраическим числам: здесь я также хочу ограничиться действительными числами, хотя рассмотрение комплексных чисел, собственно, также не представляет существенных затруднений.

Всякое действительное алгебраическое число со удовлетворяет некоторому действительному целочисленному уравнению

которое мы можем считать неприводимым; другими словами, мы считаем, что выделены все, какие только можно, рациональные множители левой части, а также все общие делители целых чисел , а и

Рис. 123

Предположим также, что есть число положительное. При таких условиях всякое алгебраическое число как известно, удовлетворяет только одному неприводимому уравнению указанного вида с целыми коэффициентами; обратно, всякому такому уравнению принадлежит в виде корней, самое большее, действительных алгебраических чисел, но их может быть и меньше чем , или их может даже вовсе не быть. Если бы мы сумели расположить в один счетный ряд все такие алгебраические уравнения, то этим самым, очевидно, были бы перечислены и все их корни, а следовательно, и все действительные алгебраические числа.

Кантору удалось достигнуть этого следующим образом: он относит каждому уравнению определенное положительное число, так называемую высоту уравнения

и распределяет уравнения в счетный ряд классов, соответствующих значениям

В каждом таком классе, согласно определению числа N, показатель степени и модуль каждого из коэффициентов должны не превосходить заданного конечного числа N, так что каждому классу может принадлежать лишь конечное число уравнений и, в частности, лишь конечное число неприводимых уравнений. Коэффициенты легко можно определить путем испытания всех возможных комбинаций для данного значения N, а первые члены ряда уравнений для низших значений N можно написать сразу.

Определим для каждой определенной высоты N действительные корни всех принадлежащих к этой высоте неприводимых уравнений, число которых конечно; число этих корней также конечно, и мы можем расположить их по величине. Теперь возьмем расположенные таким образом числа с высотой 1, затем числа с высотой 2 и т. д. и перенумеруем их в этом порядке. Этим будет перенумеровано множество всех действительных алгебраических чисел, так как, с одной стороны, мы таким образом приходим к каждому алгебраическому числу, а с другой — всякое целое число служит номером для некоторого алгебраического числа. В самом деле, если иметь достаточно терпения, то можно определить, например, 7563-е число указанной последовательности или же найти для данного сколь угодно сложного алгебраического числа соответствующий ему номер.

В этом случае расположение в счетный ряд тоже коренным образом нарушает естественную последовательность алгебраических чисел по их величине, хотя она и сохраняется в каждой группе чисел одинаковой высоты. Так, например, два таких близких числа, как у и имеют далеко отстоящие высоты 7 и 7001, между тем как как корень уравнения имеет ту же высоту 7, что и

Прежде чем перейти к последнему примеру, я хочу сообщить вам небольшую вспомогательную теорему, которая даст нам возможность получать дальнейшие счетные множества и одновременно познакомит нас с одним приемом доказательства, которым мы ещё воспользуемся впоследствии.

Если даны два счетных множества то множество, получаемое объединением обоих этих множеств в одно, тоже будет счетным. Действительно, его можно записать в таком порядке:

и тем сразу же установить взаимно однозначное соответствие с натуральным рядом чисел. Аналогично этому, и вообще конечное число счетных множеств, взятые вместе, образуют снова счетное множество. Но не столь очевидным представляется следующий факт, составляющий содержание нашей вспомогательной теоремы: объединение даже бесконечного, но счетного ряда счетных множеств образует тоже счетное множество.

В самом деле, обозначим через элементы первого множества, через — элементы второго, через — элементы третьего и т. д. и представим себе, что эти множества написаны одно под другим; тогда достаточно лишь расположить все элементы в том. порядке, который указывают последовательные диагонали в следующей схеме:

Получаемое при этом расположение элементов

относит всякому числу один и только один номер, чем и доказывается наше утверждение. Этот прием можно было бы назвать, имея в виду приведенную схему, «нумерацией по диагоналям».