О преподавании исчисления бесконечно малых в школе.

Если в заключение мы окинем быстрым взглядом отношение школьного преподавания к исчислению бесконечно малых, то увидим, что на первом отразился весь ход развития последнего. Всюду, где в прежнее время занимались в школе анализом бесконечно малых, мы видим — судя, по крайней мере, по учебникам, а иначе и нельзя судить о деле преподавания — полное отсутствие ясного представления о точном научном построении анализа бесконечно малых при помощи метода пределов; этот метод выступал лишь в более или менее расплывчатом виде; на первом плане стояли операции с бесконечно малыми величинами, а подчас и исчисление производных, как его понимает Лагранж. Разумеется, такое преподавание было лишено не только строгости, но и доступности, и нет ничего удивительного в том, что постепенно стало распространяться весьма резкое отрицательное отношение к преподаванию анализа в школе. В 70-х и 80-х гг. (XIX в.) дошли даже до прямого запрещения преподавать анализ, не исключая и реальных школ.

Но это, конечно, не помешало, как я уже раньше имел случай отметить, применению способа пределов в школе в тех случаях, когда в нем оказывалась необходимость, но только при этом избегали самого названия или даже иной раз, пожалуй, думали, что занимаются чем-то другим.

Я приведу только примеры, которые большинству из вас знакомы из вашего школьного времени.

a) Общеизвестное вычисление длины окружности и площади круга по способу приближения к кругу посредством вписанных и описанных правильных многоугольников представляет собой, конечно, точное интегрирование. Как известно, этот способ весьма древнего происхождения, а именно, принадлежит Архимеду; этому своему возрасту, восходящему до античной эпохи, он и обязан тем, что сохранился в школе.

b) Преподавание физики, в особенности ее механического отдела, нуждается безусловно в понятиях скорости и ускорения и в их применении к законам падения тел. Но их вывод представляет собой не что иное, как интегрирование дифференциального уравнения приводящее к функции где а и b суть постоянные интегрирования. Этот вывод школа вынуждена дать ввиду требований, предъявляемых физикой, и те методы, какие школа применяет, представляют собой, конечно, более или менее точные методы интегрирования, но только в замаскированном виде.

Позвольте мне в связи с этим охарактеризовать отношение к этому вопросу наших реформаторских Стремлений, которые в настоящее время встречают в Германии, как и в других странах, в особенности во Франции, все больше и больше сочувствия и, надо надеяться, будут играть руководящую роль в преподавании математики в ближайшие десятилетия. Мы хотим, чтобы понятия, обозначаемые символами стали знакомы ученику вместе с этими обозначениями, но не в виде новой абстрактной дисциплины, а в органической связи со всем преподаванием-, при этом нужно продвигаться вперед постепенно, начиная с самых простых примеров. Так, в классах надо начинать с подробного изучения функции b при определенных численных значениях коэффициентов а, b и функции пользуясь клетчатой бумагой; при этом нужно стараться постепенно пояснить учащимся понятие подъема или падения кривой и площади.

В последнем классе можно будет сделать общий обзор приобретенных таким образом знаний, причем само собой обнаружится, что ученики вполне владеют основами или начатками анализа бесконечно малых. Главная цель при этом должна заключаться в том, чтобы пояснить ученику, что здесь нет ничего мистического, что все это — простые вещи, которые всякий может понять.

Неоспоримая необходимость таких реформ явствует из того, что они имеют в виду выяснение тех математических понятий, которые и теперь господствуют во всех без исключения приложениях математики во всевозможных областях и без которых совершенно теряет почву всякое обучение в высшей школе, начиная с простейших занятий по опытной физике. Я ограничусь здесь этими краткими замечаниями.

Чтобы показать приложение этих общих рассуждений к конкретным вещам, я разберу подробнее один из вопросов исчисления бесконечно малых, а именно теорему Тейлора.