2. Историческое развитие учения о логарифме

Если мы хотим найти все те внутренние причины, о которых шла речь, и узнать более глубокие основания того, почему такие, по-видимому, произвольные допущения все же приводят к разумным результатам, - короче говоря, если мы хотим действительно достичь полного понимания теории логарифма, — то будет лучше всего проследить в общих чертах ход исторического развития этой теории. Вы увидите, что он нисколько не соответствовал изложенной выше школьной практике, но что последняя стоит к нему как бы в положении проекции, построенной из очень неблагоприятной точки.

Прежде всего приходится назвать одного немецкого математика XVI в. — шваба Михаэля Штифеля, который выпустил в Нюрнберге свою «Arithmetica integra»; это было в 1544 г., т. е. в самом начале развития современной алгебры, за один год перед тем, как появилось, тоже в Нюрнберге, уже упомянутое выше сочинение Кардано.

В этой книге Штифеля вы впервые встречаете действия над степенями с любыми рациональными показателями, причем особенно подчеркивается правило умножения. Штифель дает даже, видимо, первую из существовавших таблиц логарифмов, но, конечно, весьма рудиментарную: она содержит всего лишь целые числа от —3 до 6 в качестве показателей и рядом с ними соответствующие степени числа 2, т. е. По-видимому, Штифель имел представление о значении дальнейшего развития этих идей, так как он замечает, что об этих замечательных числовых соотношениях можно было бы написать целую книгу.

Для того чтобы иметь возможность сделать логарифмы пригодными для практических вычислений, Штифелю недоставало еще одного важного вспомогательного средства, а именно десятичных дробей, так что лишь со времени изобретения последних — после 1600 г. — стало возможным построение настоящих логарифмических таблиц. Первые таблицы принадлежат шотландцу Джону Неперу, жившему с 1550 г. до 1617 г., истинному изобретателю логарифмов, придумавшему само их название; эти таблицы появились в 1614 г. в Эдинбурге под заглавием «Описание чудесного канона логарифмов» («Mirifici logarithmorum canonis descriptio»). О воодушевлении, вызванном этими замечательными таблицами, вы можете судить по тем забавным стихам, которые напечатаны в начале таблиц и в которых различные авторы воспевают отменные качества логарифмов. Впрочем, сам способ Непера для вычисления логарифмов был опубликован лишь после его смерти, в 1620 г.

В сущности, натуральные логарифмы появились еще до Непера по поводу одного весьма важного успеха в картографии: открытие «меркаторской проекции» Герхардом Меркатором (около 1550 г.) можно считать первым графическим открытием логарифмов. Достаточно сослаться на главу III части 2 тома II этих лекций, где выяснена связь меркаторской проекции с логарифмической функцией. Если хотят, не зная этой связи, вывести меркаторскую проекцию при помощи подходящего предельного перехода, то неявно появляется (натуральный) логарифм с совершенно такой же точки зрения, как у Непера из логарифмов Бюрги.

Что же касается работ Непера и Бюрги, то здесь указаны только их руководящие основные идеи; для полного вычисления своих таблиц они пользовались, конечно, наряду с определением последовательных степеней числа и соответственно числа — на основании разностных уравнении, также интерполяционными методами. Кроме того, Непер владел уже идеей предельного перехода к натуральным логарифмам в собственном смысле, т. е., выражаясь современным языком, перехода к дифференциальному уравнению

именно, он рассматривает движение, скорость которого растет пропорционально расстоянию от исходной точки; этим представлением он даже пользовался при построении своих таблиц.

Независимо от Непера швейцарец Бюрги (1552—? 1632) построил таблицы, которые он опубликовал, впрочем, лишь в 1620 г. в Праге под заглавием «Progresstabuln». Для нас, гёттингенцев, Бюрги представляет особый интерес, как земляк, так как он долгое время жил в Касселе. Вообще Кассель и в особенности его старая обсерватория играли весьма важную роль в истории развития арифметики, астрономии, оптики перед изобретением исчисления бесконечно малых — подобно тому как впоследствии имел значение Ганновер как местожительство Лейбница. Таким образом, вблизи от нас находится почва, представлявшая историческое значение для нашей науки еще задолго до того, как был основан наш университет.