АЛГЕБРА

ВВЕДЕНИЕ

Обращаясь к нашей теме, я должен предупредить вас, что по самому характеру этих лекций я, конечно, не могу дать здесь систематического изложения алгебры; я могу лишь дать отдельные выдержки, так что будет наиболее целесообразным, если я выделю такие вещи, которые несправедливо опускаются другими авторами и которые в то же время способны представить в особенном освещении школьное обучение. Все мое изложение будет группироваться вокруг одного пункта, а именно, вокруг применения графических и вообще геометрических наглядных методов к решению уравнений. Это — весьма обширная и богатая различными результатами тема, из которой я могу выхватить только ряд наиболее важных и интересных вещей; мы будем при этом вступать в органическую связь с различнейшими областями, занимаясь, таким образом, математикой в смысле нашей эволюционной линии В.

I. УРАВНЕНИЯ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ

Мы ограничимся сначала уравнениями с действительными коэффициентами 82) и действительными значениями неизвестных. Комплексными величинами мы займемся позже. Начнем с очень простого частного случая, который поддается геометрической обработке.

1. Уравнения, содержащие один параметр

Это уравнения такого типа:

Мы получим наиболее простое геометрическое истолкование их, если заменим К второй переменной у и станем рассматривать

как уравнение кривой в плоскости (рис. 18). Точки пересечения этой кривой с параллелью к оси абсцисс дают действительные корни уравнения Если приближенно начертить эту кривую, — что при не слишком сложных функциях f нетрудно, — то, перемещая параллель, легко можно видеть, как при изменении изменяется число действительных корней. Особенно пригоден этот прием, когда f есть линейная функция от Я, т. е. для исследования уравнений вида

действительно, в этом случае уравнение дает рациональную кривую, и ее поэтому легко построить.

Рис. 18

Рис. 19

Рис. 20

В этих случаях указанный метод может быть с пользой применен и для вычисления корней.

Рассмотрим в качестве примера квадратное уравнение

Кривая представляет собой параболу (рис. 19), так что сразу видно, для каких значений К число действительных корней уравнения равно 2, 1, 0 соответственно горизонталям, пересекающим параболу в 2, 1, 0 точках.

Выполнение таких простых и наглядных построений кажется мне весьма полезным и для старших классов школы. В качестве второго примера возьмем кубическое уравнение которое дает кубическую параболу . В зависимости от значения коэффициентов а, b эта парабола имеет различный вид. На рис. 20 принято, что уравнение имеет действительные корни; тогда видно, как параллели разделяются на такие, которые пересекают кубическую параболу в одной точке, и на такие, которые пересекают ее в трех точках, тогда как в двух предельных положениях имеем по одному двойному корню.