Здесь мы вкратце опишем конструкцию, предложенную П.Й.Топаловым. Пусть на задано слоение Лиувилля, а — соответствующая меченая молекула. Идея состоит в том, что топология изоэнергетической, или «круговой» 3 -поверхности полностью определяется меченой молекулой . Это ознячает, что топологические инварианты (группы гомологий, фундаментальная группа и т.д.) являются «функциями» от меток молекулы . Во многих случаях эти «функции» можно явно выписать. С другой стороны, в конкретных задачах физики, геометрии и механики топология 3 -многообразия часто бывает известна заранее. При этом в реальных примерах многообразие обычно устроено несложно: 3-сфера, . Поэтому, зная заранее топологию , мы получаем некоторые соотношения между числовыми метками молекулы . Эти соотношения иногда позволяют вычислять метки . Для простейших молекул типа мы показали выше, как работает эта общая идея. В качестве топологического инварианта 3 -многообразия , удобного для применения этой конструкции, П.Й. Топалов предложил использовать следующий инвариант, названный им энергией меченой молекулы . Предварительно нам потребуются некоторые понятия.
Разрежем молекулу по всем ее конечным ребрам. Она распадется на куски трех типов. Первый тип — это семьи, то есть куски, состоящие только из седловых атомов. Второй тип — это изолированные атомы . Третий тип связные куски, содержащие как седловые атомы, так и атомы .
В кусках третьего типа обязательно существуют ребра, одна из вершин которых есть атом , а другая вершина — седловая. В каждом куске третьего типа выберем и зафиксируем какое-либо из таких ребер. Назовем их «фиксированными ребрами».
Ребро молекулы будем называть существенным, если оно не является фиксированным и если обе вершины не принадлежат семьям. Сразу отметим, что существенные ребра бывают двух сортов. Это либо внутренние ребра кусков третьего типа, либо ребра, соединяющие между собой куски молекулы 2 -го и 3-го типов. Поясним, что здесь допустимы все варианты: второй тип соединяется со вторым, второй — с третьим, третий — с третьим.
Через будем обозначать род 3-атома , т.е. род замкнутой поверхности, получающейся из базы канонического расслоения Зейферта на 3 -атоме путем заклейки дисками всех граничных окружностей базы. Через мы обозначим валентность атома, т. е. число его концов. Аналогичным образом мы определим род семьи и валентность семьи . Напомним, что семья несет на себе однозначно определенную структуру расслоения Зейферта над некоторой двумерной поверхностью-базой. Будем в дальнейшем предполагать для простоты, что эта поверхность-база ориентируема.
Напомним, что здесь через мы обозначаем граф, получающийся из молекулы отождествления каждой ее семьи в одну точку, т.е. в вершину. При этом мы считаем, что разные семьи превращаются в разные точки-вершины. Таким образом, граф имеет вершины трех типов: 1) семьи, 2) атомы , 3) седловые атомы, не попавшие в семьи. Будем обозначать вершины графа через .
Введем теперь понятие энергии оснащенной молекулы. По определению, это следующее число:
Здесь через Tor обозначена подгруппа элементов конечного порядка в группе целочисленных одномерных гомологий . Если группа Tor тривиальна, то считаем, что ее порндок равен 1.
Оказывается, энергия меченой молекулы может быть выражена через метки этой молекулы с помощью довольно простых формул. При этом для каждой грубой молекулы , то есть для молекулы без меток, получается, вообще говоря, «своя формула». Однако имеется несложный алгоритм, позволяющий находить эту «формулу» для каждой конкретной молекулы . Этот алгоритм описан в [198]. Мы не будем излагать его подробно, а ограничимся лишь некоторыми примерами.
ПРимер 1. Пусть молекула имеет вид, показанный на рис. 1.20. Через обозначены ребра молекулы, а через обозначена некоторая семья. Все ребра инцидентны семье . При этом все ребра являются конечными, т. е. имеют конечные -метки. Тогда энергия меченой молекулы равна:
где — это знаменатели -меток , стоящих на ребрах , а — «энергия семьи» , то есть инвариант, введенный нами в предыдущем параграфе.
Таким образом, если здесь известны метки и топология 3 -многообразия , то можно в явном виде найти метку для семьи . Она выражается через по формуле, приведенной в предыдущем параграфе.
ПРимеР 2. Пусть молекула имеет вид, показанный на рис. 1.21. Здесь мы снова предполагаем, что и являются какими-то семьями. При этом инцидентные с ними ребра являются конечными. В этом случае энергия меченой молекулы равна:
Здесь — знаменатели меток на ребрах — энергия семьи .
ПРимЕР 3. Пусть молекула имеет вид, показанный на рис. 1.22. Как и выше, здесь предполагается, что являются какими-то семьями, и все инцидентные с ними ребра являются конечными. При этом семья может не иметь никаких других внешних ребер, кроме ребер . Тогда энергия меченой молекулы имеет вид:
Здесь — знаменатели меток на ребрах — энергия семьи .
ПРиМЕР 4. Пусть молекула имеет вид, показанный на рис. 1.23. Здесь предполагается, что является какойто семьей, и инцидентные с ней ребра конечные. Одно из ребер, а именно , является здесь петлей. В этом случае энергия меченой молекулы имеет вид:
Рис. 1.23
Здесь — знаменатели меток на ребрах , — энергия семьи .
Выше мы предполагали, что молекула не содержит вершин-звездочек. Если они все-таки есть, то этот случай сводится к случаю без звездочек следующим образом. Если какой-то атом содержит вершину-звездочку, то, не меняя 3 -многообразия , можно изменить его разбиение на 3 -атомы, т.е. поиному выбрать граничные 2 -торы, разбивающие в сумму 3 -атомов. Рассмотрим слоение Лиувилля в окрестности того особого слоя типа в расслоении Зейферта, который и дает нам звездочку. Добавим формально еще один «разрезающий 2-тор», являющийся границей полнотория, окружающего выбранный нами особый слой типа . В результате появятся «новый атом» типа и новое ребро, инцидентное с ним. Вырезая окрестности всех особых слоев из 3 -атома , мы получаем на «остатке» структуру тривиального -расслоения, т.е. прежний 3-атом может рассматриваться теперь как атом без звездочек. В результате мы превращаем каждую вершину-звездочку в дополнительное ребро вида , на котором, как нетрудно видеть, стоят метки . Структура семей молекулы при этом не меняется.
После сделанной редукции несложно выписать явные формулы для энергии молекул, изображенных на рис. 1.20 , рис. 1.21 , рис. 1.22 , рис. 1.23 в случае атомов со звездочками.
Если в примере 1 (рис. 1.20) молекула содержит вершин-звездочек, то формула для ее энергии принимает вид:
При этом энергия семьи, содержащей вершины-звездочки, вычисляется так. В формуле для энергии семьи без звездочек, выписанной выше, в предложении 1.8 , нужно добавить еще одно слагаемое, отвечающее вершинам-звездочкам. Другими словами, получаем:
Во всех остальных примерах происходит буквально то же самое. В результате энергии молекул, показанных на рис. 1.21 , рис. 1.22 , рис. 1.23 , принимают соответственно вид:
где — суммарное число вершин-звездочек по всем семьям указанных молекул, а — «новые» энергии семей.
Перечисленные примеры помогают вычислять метки молекул во многих конкретных ситуациях. Приведем еще несколько теорем П.Й. Топалова, связывающих топологию 3 -многообразия с метками молекул .
Теорема 1.3 (П. Й. Топалов [198]). Пусть — меченая молекула какой-то интегрируемой системы на 3 -многообразии , и — граф, полученный описанным выие способом.
1) Тогда всегда выполнены следующие соотношения:
Здесь суммирование ведется по всем вериинам графа , отличным от атомов .
2) Любое существенное ребро е молекулы дает в группе целочисленных гомологий прямое слагаемое вида , где — знаменатель -метки на ребре е. Здесь мы считаем, что при группа изоморфна . При группа тривиальна. Кроме существенных ребер, вклад в группу гомологий дают и некоторые атомы со звездочками. А именно, если атом не принадлежит никакой семье, то все его вершины-звездочки дают независимые прямые слагаемые .
Из этой теоремы получаются следующие интересные следствия.
Следствие 1. Если ранг , то все атомы в молекуле плоские, т.е. их род равен нулю. В частности, для следующих 3-многообразий: сфера , гомологические 3 -сферы, , гомологические проективные 3-пространства — мы получаем, что все атомы у любой молекулы на таком 3 -многообразии являются плоскими.
Следствие 2.
1) Если является сферой или тором , то на существенных ребрах молекулы всегда стоит -метка 0 .
2) Если является проективным пространством , то на существенных ребрах молекулы всегда стоит -метка 0 или . При этом -метка может появиться только в одном месте.
3) Если является прямым произведением , или связной суммой нескольких экземпляров 3 -многообразий , то на существенных ребрах молекулы всегда стоит -метка 0 или .
Следствие 3. Если молекула не содержит семей, то знаменатели всех конечных -меток не превосходят порядка аруппы Тог . Более того, произведение знаменателей всех конечных -меток тоже не превосходит Tor . Если же молекула содержит вериин-звездочек, то справедлива даже более сильная оценка. А именно,
(произведение знаменателей конечных -меток)
порядок группы Tor .
В заключение рассмотрим полезный пример меченой молекулы :
с -метками и одной меткой на атоме . Молекула такого вида появляется, например, в известном интегрируемом случае Горячева-Чаплыгина. В этом конкретном случае изоэнергетическое 3-многообразие является 3 -сферой. Применяя перечисленные выше результаты, мы получаем следующее соотношение между -метками и меткой (где — целая часть числа ) для молекулы случая Горячева-Чаплыгина:
Далее, из вида гамильтоновой системы случая Горячева-Чаплыгина видно, что меченая молекула симметрична относительно атома . Отсюда следует, что обе ее -метки совпадают. Это означает, что , т.е. равны дробные части, а поэтому совпадают знаменатели -меток, то есть . Следовательно, полученное выше соотношение на метки переписывается так:
Рис. 1.24
Поэтому . Отсюда получаем два варианта: либо , , либо . Для первого варианта молекула показана на рис. 1.24a. Для второго варианта молекула показана на рис. 1.24b.
Напомним, что метка зависит от выбора ориентации на . Закон ее изменения указан в томе I. В данной конкретной ситуации при изменении ориентации метка превращается в метку . Или наоборот. В этом смысле » и « » — это на самом деле «одно и то же».
Приведенный пример убедительно показывает, что изложенные выше методы действительно позволяют во многих случаях эффективно вычислять метки на молекулах .
Таблицы к главе 1
Таблица 1.1(a)
Таблица 1.1(b)
Таблица 1.2