Здесь мы вкратце опишем конструкцию, предложенную П.Й.Топаловым. Пусть на $Q$ задано слоение Лиувилля, а $W^{*}$ — соответствующая меченая молекула. Идея состоит в том, что топология изоэнергетической, или «круговой» 3 -поверхности $Q$ полностью определяется меченой молекулой $W^{*}$. Это ознячает, что топологические инварианты $Q$ (группы гомологий, фундаментальная группа и т.д.) являются «функциями» от меток молекулы $W^{*}$. Во многих случаях эти «функции» можно явно выписать. С другой стороны, в конкретных задачах физики, геометрии и механики топология 3 -многообразия $Q$ часто бывает известна заранее. При этом в реальных примерах многообразие $Q$ обычно устроено несложно: 3-сфера, $\mathbb{R} P^{3}, S^{1} \times S^{2}, T^{3}$. Поэтому, зная заранее топологию $Q$, мы получаем некоторые соотношения между числовыми метками молекулы $W^{*}$. Эти соотношения иногда позволяют вычислять метки $r, \varepsilon, n$. Для простейших молекул типа $A-A$ мы показали выше, как работает эта общая идея. В качестве топологического инварианта 3 -многообразия $Q$, удобного для применения этой конструкции, П.Й. Топалов предложил использовать следующий инвариант, названный им энергией меченой молекулы $W^{*}$. Предварительно нам потребуются некоторые понятия.

Разрежем молекулу $W^{*}$ по всем ее конечным ребрам. Она распадется на куски трех типов. Первый тип — это семьи, то есть куски, состоящие только из седловых атомов. Второй тип — это изолированные атомы $A$. Третий тип связные куски, содержащие как седловые атомы, так и атомы $A$.

В кусках третьего типа обязательно существуют ребра, одна из вершин которых есть атом $A$, а другая вершина — седловая. В каждом куске третьего типа выберем и зафиксируем какое-либо из таких ребер. Назовем их «фиксированными ребрами».

Ребро молекулы $W^{*}$ будем называть существенным, если оно не является фиксированным и если обе вершины не принадлежат семьям. Сразу отметим, что существенные ребра бывают двух сортов. Это либо внутренние ребра кусков третьего типа, либо ребра, соединяющие между собой куски молекулы 2 -го и 3-го типов. Поясним, что здесь допустимы все варианты: второй тип соединяется со вторым, второй — с третьим, третий — с третьим.

Через $g(V)$ будем обозначать род 3-атома $V$, т.е. род замкнутой поверхности, получающейся из базы канонического расслоения Зейферта на 3 -атоме $V$ путем заклейки дисками всех граничных окружностей базы. Через $q(V)$ мы обозначим валентность атома, т. е. число его концов. Аналогичным образом мы определим род $g(F)$ семьи $F$ и валентность $q(F)$ семьи $F$. Напомним, что семья $F$ несет на себе однозначно определенную структуру расслоения Зейферта над некоторой двумерной поверхностью-базой. Будем в дальнейшем предполагать для простоты, что эта поверхность-база ориентируема.

Напомним, что здесь через $W^{\prime}$ мы обозначаем граф, получающийся из молекулы $W^{*}$ отождествления каждой ее семьи в одну точку, т.е. в вершину. При этом мы считаем, что разные семьи превращаются в разные точки-вершины. Таким образом, граф $W^{\prime}$ имеет вершины трех типов: 1) семьи, 2) атомы $A$, 3) седловые атомы, не попавшие в семьи. Будем обозначать вершины графа $W^{\prime}$ через $U$.

Введем теперь понятие энергии оснащенной молекулы. По определению, это следующее число:
\[
N\left(W^{*}\right)=\left\{\begin{array}{l}
0, \text { если ранг } H_{1}\left(Q^{3}\right)>\text { ранг } H_{1}\left(W^{\prime}\right)+2 \sum_{U
eq A} g(U), \\
\text { порядок группы Tor } H_{1}\left(Q^{3}\right), \text { в противном случае. }
\end{array}\right.
\]

Здесь через Tor $H_{1}\left(Q^{3}\right)$ обозначена подгруппа элементов конечного порядка в группе целочисленных одномерных гомологий $H_{1}(Q)$. Если группа Tor $H_{1}\left(Q^{3}\right)$ тривиальна, то считаем, что ее порндок равен 1.
Оказывается, энергия меченой молекулы может быть выражена через метки этой молекулы с помощью довольно простых формул. При этом для каждой грубой молекулы $W$, то есть для молекулы без меток, получается, вообще говоря, «своя формула». Однако имеется несложный алгоритм, позволяющий находить эту «формулу» для каждой конкретной молекулы $W$. Этот алгоритм описан в [198]. Мы не будем излагать его подробно, а ограничимся лишь некоторыми примерами.
ПРимер 1. Пусть молекула $W$ имеет вид, показанный на рис. 1.20. Через $e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{m}$ обозначены ребра молекулы, а через $F$ обозначена некоторая семья. Все ребра $e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{m}$ инцидентны семье $F$. При этом все ребра $e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{m}$ являются конечными, т. е. имеют конечные $r$-метки. Тогда энергия меченой молекулы равна:
\[
N\left(W^{*}\right)= \pm \beta_{1} \beta_{2} \ldots \beta_{m} \tilde{n}(F),
\]

где $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{m}$ — это знаменатели $r$-меток $r_{1}=\frac{\alpha_{1}}{\beta_{1}}, \ldots, r_{m}=\frac{\alpha_{m}}{\beta_{m}}$, стоящих на ребрах $e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{m}$, а $\tilde{n}(F)$ — «энергия семьи» $F$, то есть инвариант, введенный нами в предыдущем параграфе.

Таким образом, если здесь известны $r$ метки и топология 3 -многообразия $Q$, то можно в явном виде найти метку $n$ для семьи $F$. Она выражается через $\widetilde{n}$ по формуле, приведенной в предыдущем параграфе.

ПРимеР 2. Пусть молекула $W$ имеет вид, показанный на рис. 1.21. Здесь мы снова предполагаем, что $F_{1}$ и $F_{2}$ являются какими-то семьями. При этом инцидентные с ними ребра $e_{0}, e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{m}$ являются конечными. В этом случае энергия меченой молекулы равна:
\[
N\left(W^{*}\right)= \pm \beta_{0} \beta_{1} \beta_{2} \ldots \beta_{m}\left[\widetilde{n}\left(F_{1}\right) \widetilde{n}\left(F_{2}\right)-\beta_{0}^{-2}\right] .
\]

Здесь $\beta_{i}$ — знаменатели меток $r_{i}$ на ребрах $e_{i}, \tilde{n}\left(F_{j}\right)$ — энергия семьи $F_{j}$.
ПРимЕР 3. Пусть молекула $W$ имеет вид, показанный на рис. 1.22. Как и выше, здесь предполагается, что $F_{0}, F_{1}, F_{2}$ являются какими-то семьями, и все инцидентные с ними ребра $e_{0}, e_{1}, \ldots, e_{m}$ являются конечными. При этом семья $F_{2}$ может не иметь никаких других внешних ребер, кроме ребер $e_{0}, e_{1}$. Тогда энергия меченой молекулы имеет вид:
\[
N\left(W^{*}\right)= \pm \beta_{0} \beta_{1} \beta_{2} \ldots \beta_{m}\left[\widetilde{n}\left(F_{0}\right) \widetilde{n}\left(F_{1}\right) \widetilde{n}\left(F_{2}\right)-\widetilde{n}\left(F_{0}\right) \beta_{0}^{-2}-\widetilde{n}\left(F_{1}\right) \beta_{1}^{-2}\right] .
\]

Здесь $\beta_{i}$ — знаменатели меток $r_{i}$ на ребрах $e_{i}, \tilde{n}\left(F_{j}\right)$ — энергия семьи $F_{j}$.
ПРиМЕР 4. Пусть молекула $W$ имеет вид, показанный на рис. 1.23. Здесь предполагается, что $F$ является какойто семьей, и инцидентные с ней ребра $e_{0}, e_{1}, \ldots, e_{m}$ конечные. Одно из ребер, а именно $e_{0}$, является здесь петлей. В этом случае энергия меченой молекулы имеет вид:
\[
N\left(W^{*}\right)= \pm \beta_{0} \beta_{1} \ldots \beta_{m}\left[\widetilde{n}(F)-2 \beta_{0}^{-1}\right] .
\]

Рис. 1.23
Здесь $\beta_{i}$ — знаменатели меток $r_{i}$ на ребрах $e_{i}$, $\tilde{n}(F)$ — энергия семьи $F$.

Выше мы предполагали, что молекула $W$ не содержит вершин-звездочек. Если они все-таки есть, то этот случай сводится к случаю без звездочек следующим образом. Если какой-то атом $V$ содержит вершину-звездочку, то, не меняя 3 -многообразия $Q$, можно изменить его разбиение на 3 -атомы, т.е. поиному выбрать граничные 2 -торы, разбивающие $Q$ в сумму 3 -атомов. Рассмотрим слоение Лиувилля в окрестности того особого слоя типа $(2,1)$ в расслоении Зейферта, который и дает нам звездочку. Добавим формально еще один «разрезающий 2-тор», являющийся границей полнотория, окружающего выбранный нами особый слой типа $(2,1)$. В результате появятся «новый атом» типа $A$ и новое ребро, инцидентное с ним. Вырезая окрестности всех особых слоев из 3 -атома $V$, мы получаем на «остатке» структуру тривиального $S^{1}$-расслоения, т.е. прежний 3-атом может рассматриваться теперь как атом без звездочек. В результате мы превращаем каждую вершину-звездочку в дополнительное ребро вида $\longrightarrow A$, на котором, как нетрудно видеть, стоят метки $r=\frac{1}{2}, \varepsilon=1$. Структура семей молекулы при этом не меняется.

После сделанной редукции несложно выписать явные формулы для энергии молекул, изображенных на рис. 1.20 , рис. 1.21 , рис. 1.22 , рис. 1.23 в случае атомов со звездочками.

Если в примере 1 (рис. 1.20) молекула $W$ содержит $p$ вершин-звездочек, то формула для ее энергии принимает вид:
\[
N\left(W^{*}\right)= \pm 2^{p} \beta_{1} \beta_{2} \ldots \beta_{m} \tilde{n}(F) .
\]

При этом энергия $\tilde{n}(F)$ семьи, содержащей вершины-звездочки, вычисляется так. В формуле для энергии семьи без звездочек, выписанной выше, в предложении 1.8 , нужно добавить еще одно слагаемое, отвечающее $p$ вершинам-звездочкам. Другими словами, получаем:
\[
(\widetilde{n}(F))_{\text {нован }}=(\widetilde{n}(F))_{\text {старан }}+\frac{p}{2} .
\]

Во всех остальных примерах $2,3,4$ происходит буквально то же самое. В результате энергии молекул, показанных на рис. 1.21 , рис. 1.22 , рис. 1.23 , принимают соответственно вид:
\[
\begin{array}{l}
N\left(W^{*}\right)= \pm 2^{p} \beta_{0} \beta_{1} \beta_{2} \ldots \beta_{m}\left[\tilde{n}\left(F_{1}\right) \tilde{n}\left(F_{2}\right)-\beta_{0}^{-2}\right] . \\
N\left(W^{*}\right)= \pm 2^{p} \beta_{0} \beta_{1} \beta_{2} \ldots \beta_{m}\left[\tilde{n}\left(F_{0}\right) \tilde{n}\left(F_{1}\right) \tilde{n}\left(F_{2}\right)-\tilde{n}\left(F_{0}\right) \beta_{0}^{-2}-\tilde{n}\left(F_{1}\right) \beta_{1}^{-2}\right] . \\
N\left(W^{*}\right)= \pm 2^{p} \beta_{0} \beta_{1} \ldots \beta_{m}\left[\widetilde{n}(F)-2 \beta_{0}^{-1}\right] .
\end{array}
\]

где $p$ — суммарное число вершин-звездочек по всем семьям указанных молекул, а $\tilde{n}(F)$ — «новые» энергии семей.

Перечисленные примеры помогают вычислять метки молекул $W^{*}$ во многих конкретных ситуациях. Приведем еще несколько теорем П.Й. Топалова, связывающих топологию 3 -многообразия $Q$ с метками молекул $W^{*}$.
Теорема 1.3 (П. Й. Топалов [198]). Пусть $W^{*}$ — меченая молекула какой-то интегрируемой системы на 3 -многообразии $Q$, и $W^{\prime}$ — граф, полученный описанным выие способом.

1) Тогда всегда выполнены следующие соотношения:
\[
\begin{array}{r}
\text { ранг } H_{1}\left(Q^{3}\right) \geqslant \operatorname{pанг} H_{1}\left(W^{\prime}\right)+2 \sum_{U
eq A} g(U), \\
\operatorname{paнг} H_{1}(Q) \leqslant\left[\operatorname{paнг} H_{1}\left(W^{\prime}\right)+2 \sum_{U
eq A} g(U)\right]+\sum_{U
eq A} q(U) .
\end{array}
\]

Здесь суммирование ведется по всем вериинам графа $W^{\prime}$, отличным от атомов $A$.
2) Любое существенное ребро е молекулы $W$ дает в группе целочисленных гомологий $H_{1}(Q)$ прямое слагаемое вида $\mathbb{Z}_{\beta(e)}$, где $\beta(e)$ — знаменатель $r$-метки $\frac{\alpha}{\beta}$ на ребре е. Здесь мы считаем, что при $\beta=0$ группа $\mathbb{Z}_{\beta(е)}$ изоморфна $\mathbb{Z}$. При $\beta=1$ группа $\mathbb{Z}_{\beta(е)}$ тривиальна. Кроме существенных ребер, вклад в группу гомологий $H_{1}(Q)$ дают и некоторые атомы со звездочками. А именно, если атом не принадлежит никакой семье, то все его вершины-звездочки дают независимые прямые слагаемые $\mathbb{Z}_{2}$.
Из этой теоремы получаются следующие интересные следствия.

Следствие 1. Если ранг $H_{1}(Q)<2$, то все атомы $V$ в молекуле $W^{*}$ плоские, т.е. их род равен нулю. В частности, для следующих 3-многообразий: сфера $S^{3}$, гомологические 3 -сферы, $S^{1} \times S^{2}, \mathbb{R} P^{3}$, гомологические проективные 3-пространства — мы получаем, что все атомы у любой молекулы $W^{*}$ на таком 3 -многообразии $Q$ являются плоскими.

Следствие 2.
1) Если $Q^{3}$ является сферой $S^{3}$ или тором $T^{3}$, то на существенных ребрах молекулы $W^{*}$ всегда стоит $r$-метка 0 .
2) Если $Q^{3}$ является проективным пространством $\mathbb{R} P^{3}$, то на существенных ребрах молекулы $W^{*}$ всегда стоит $r$-метка 0 или $\frac{1}{2}$. При этом $r$-метка $\frac{1}{2}$ может появиться только в одном месте.
3) Если $Q^{3}$ является прямым произведением $S^{1} \times S^{2}$, или связной суммой нескольких экземпляров 3 -многообразий $S^{1} \times S^{2}$, то на существенных ребрах молекулы $W$ всегда стоит $r$-метка 0 или $\infty$.

Следствие 3. Если молекула $W^{*}$ не содержит семей, то знаменатели всех конечных $r$-меток не превосходят порядка аруппы Тог $H_{1}\left(Q^{3}\right)$. Более того, произведение знаменателей всех конечных $r$-меток тоже не превосходит Tor $H_{1}\left(Q^{3}\right)$. Если же молекула $W^{*}$ содержит $р$ вериин-звездочек, то справедлива даже более сильная оценка. А именно,
$2^{p}$ (произведение знаменателей конечных $r$-меток) $\leqslant$
$\leqslant$ порядок группы Tor $H_{1}\left(Q^{3}\right)$.

В заключение рассмотрим полезный пример меченой молекулы $W^{*}$ :
\[
A \longleftarrow A^{*} \longrightarrow A,
\]

с $r$-метками $r_{1}=\frac{\alpha_{1}}{\beta_{1}}, r_{2}=\frac{\alpha_{2}}{\beta_{2}}$ и одной меткой $n$ на атоме $A^{*}$. Молекула такого вида появляется, например, в известном интегрируемом случае Горячева-Чаплыгина. В этом конкретном случае изоэнергетическое 3-многообразие является 3 -сферой. Применяя перечисленные выше результаты, мы получаем следующее соотношение между $r$-метками и меткой $n=\left[\frac{\alpha_{1}}{\beta_{1}}\right]+\left[\frac{\alpha_{2}}{\beta_{2}}\right]$ (где $[x]$ — целая часть числа $x$ ) для молекулы случая Горячева-Чаплыгина:
\[
2 \beta_{1} \beta_{2}\left(\frac{\alpha_{1}}{\beta_{1}}+\frac{\alpha_{2}}{\beta_{2}}+2^{-1}\right)=1
\]

Далее, из вида гамильтоновой системы случая Горячева-Чаплыгина видно, что меченая молекула $A \longleftarrow A^{*} \longrightarrow A$ симметрична относительно атома $A^{*}$. Отсюда следует, что обе ее $r$-метки совпадают. Это означает, что $\left\{\frac{\alpha_{1}}{\beta_{1}}\right\}=\left\{\frac{\alpha_{2}}{\beta_{2}}\right\}$, т.е. равны дробные части, а поэтому совпадают знаменатели $r$-меток, то есть $\beta_{1}=\beta_{2}$. Следовательно, полученное выше соотношение на метки переписывается так:

Рис. 1.24
\[
2 \beta^{2}\left(\frac{\alpha_{1}}{\beta}+\frac{\alpha_{2}}{\beta}+2^{-1}\right)=1 .
\]

Поэтому $\beta\left(2\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)+\beta\right)=1$. Отсюда получаем два варианта: либо $\beta=1$, $\alpha_{1}+\alpha_{2}=0$, либо $\beta=-1, \alpha_{1}+\alpha_{2}=1$. Для первого варианта молекула $W^{*}$ показана на рис. 1.24a. Для второго варианта молекула показана на рис. 1.24b.

Напомним, что метка $n$ зависит от выбора ориентации на $Q$. Закон ее изменения указан в томе I. В данной конкретной ситуации при изменении ориентации метка $n=0$ превращается в метку $n=-1$. Или наоборот. В этом смысле $« n=0$ » и « $n=-1$ » — это на самом деле «одно и то же».

Приведенный пример убедительно показывает, что изложенные выше методы действительно позволяют во многих случаях эффективно вычислять метки на молекулах $W^{*}$.

Таблицы к главе 1
Таблица 1.1(a)

Таблица 1.1(b)

Таблица 1.2