Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Здесь мы вкратце опишем конструкцию, предложенную П.Й.Топаловым. Пусть на $Q$ задано слоение Лиувилля, а $W^{*}$ – соответствующая меченая молекула. Идея состоит в том, что топология изоэнергетической, или «круговой» 3 -поверхности $Q$ полностью определяется меченой молекулой $W^{*}$. Это ознячает, что топологические инварианты $Q$ (группы гомологий, фундаментальная группа и т.д.) являются «функциями» от меток молекулы $W^{*}$. Во многих случаях эти «функции» можно явно выписать. С другой стороны, в конкретных задачах физики, геометрии и механики топология 3 -многообразия $Q$ часто бывает известна заранее. При этом в реальных примерах многообразие $Q$ обычно устроено несложно: 3-сфера, $\mathbb{R} P^{3}, S^{1} \times S^{2}, T^{3}$. Поэтому, зная заранее топологию $Q$, мы получаем некоторые соотношения между числовыми метками молекулы $W^{*}$. Эти соотношения иногда позволяют вычислять метки $r, \varepsilon, n$. Для простейших молекул типа $A-A$ мы показали выше, как работает эта общая идея. В качестве топологического инварианта 3 -многообразия $Q$, удобного для применения этой конструкции, П.Й. Топалов предложил использовать следующий инвариант, названный им энергией меченой молекулы $W^{*}$. Предварительно нам потребуются некоторые понятия. Разрежем молекулу $W^{*}$ по всем ее конечным ребрам. Она распадется на куски трех типов. Первый тип – это семьи, то есть куски, состоящие только из седловых атомов. Второй тип – это изолированные атомы $A$. Третий тип связные куски, содержащие как седловые атомы, так и атомы $A$. В кусках третьего типа обязательно существуют ребра, одна из вершин которых есть атом $A$, а другая вершина – седловая. В каждом куске третьего типа выберем и зафиксируем какое-либо из таких ребер. Назовем их «фиксированными ребрами». Ребро молекулы $W^{*}$ будем называть существенным, если оно не является фиксированным и если обе вершины не принадлежат семьям. Сразу отметим, что существенные ребра бывают двух сортов. Это либо внутренние ребра кусков третьего типа, либо ребра, соединяющие между собой куски молекулы 2 -го и 3-го типов. Поясним, что здесь допустимы все варианты: второй тип соединяется со вторым, второй – с третьим, третий – с третьим. Через $g(V)$ будем обозначать род 3-атома $V$, т.е. род замкнутой поверхности, получающейся из базы канонического расслоения Зейферта на 3 -атоме $V$ путем заклейки дисками всех граничных окружностей базы. Через $q(V)$ мы обозначим валентность атома, т. е. число его концов. Аналогичным образом мы определим род $g(F)$ семьи $F$ и валентность $q(F)$ семьи $F$. Напомним, что семья $F$ несет на себе однозначно определенную структуру расслоения Зейферта над некоторой двумерной поверхностью-базой. Будем в дальнейшем предполагать для простоты, что эта поверхность-база ориентируема. Напомним, что здесь через $W^{\prime}$ мы обозначаем граф, получающийся из молекулы $W^{*}$ отождествления каждой ее семьи в одну точку, т.е. в вершину. При этом мы считаем, что разные семьи превращаются в разные точки-вершины. Таким образом, граф $W^{\prime}$ имеет вершины трех типов: 1) семьи, 2) атомы $A$, 3) седловые атомы, не попавшие в семьи. Будем обозначать вершины графа $W^{\prime}$ через $U$. Введем теперь понятие энергии оснащенной молекулы. По определению, это следующее число: Здесь через Tor $H_{1}\left(Q^{3}\right)$ обозначена подгруппа элементов конечного порядка в группе целочисленных одномерных гомологий $H_{1}(Q)$. Если группа Tor $H_{1}\left(Q^{3}\right)$ тривиальна, то считаем, что ее порндок равен 1. где $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{m}$ – это знаменатели $r$-меток $r_{1}=\frac{\alpha_{1}}{\beta_{1}}, \ldots, r_{m}=\frac{\alpha_{m}}{\beta_{m}}$, стоящих на ребрах $e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{m}$, а $\tilde{n}(F)$ – «энергия семьи» $F$, то есть инвариант, введенный нами в предыдущем параграфе. Таким образом, если здесь известны $r$ метки и топология 3 -многообразия $Q$, то можно в явном виде найти метку $n$ для семьи $F$. Она выражается через $\widetilde{n}$ по формуле, приведенной в предыдущем параграфе. ПРимеР 2. Пусть молекула $W$ имеет вид, показанный на рис. 1.21. Здесь мы снова предполагаем, что $F_{1}$ и $F_{2}$ являются какими-то семьями. При этом инцидентные с ними ребра $e_{0}, e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{m}$ являются конечными. В этом случае энергия меченой молекулы равна: Здесь $\beta_{i}$ – знаменатели меток $r_{i}$ на ребрах $e_{i}, \tilde{n}\left(F_{j}\right)$ – энергия семьи $F_{j}$. Здесь $\beta_{i}$ – знаменатели меток $r_{i}$ на ребрах $e_{i}, \tilde{n}\left(F_{j}\right)$ – энергия семьи $F_{j}$. Рис. 1.23 Выше мы предполагали, что молекула $W$ не содержит вершин-звездочек. Если они все-таки есть, то этот случай сводится к случаю без звездочек следующим образом. Если какой-то атом $V$ содержит вершину-звездочку, то, не меняя 3 -многообразия $Q$, можно изменить его разбиение на 3 -атомы, т.е. поиному выбрать граничные 2 -торы, разбивающие $Q$ в сумму 3 -атомов. Рассмотрим слоение Лиувилля в окрестности того особого слоя типа $(2,1)$ в расслоении Зейферта, который и дает нам звездочку. Добавим формально еще один «разрезающий 2-тор», являющийся границей полнотория, окружающего выбранный нами особый слой типа $(2,1)$. В результате появятся «новый атом» типа $A$ и новое ребро, инцидентное с ним. Вырезая окрестности всех особых слоев из 3 -атома $V$, мы получаем на «остатке» структуру тривиального $S^{1}$-расслоения, т.е. прежний 3-атом может рассматриваться теперь как атом без звездочек. В результате мы превращаем каждую вершину-звездочку в дополнительное ребро вида $\longrightarrow A$, на котором, как нетрудно видеть, стоят метки $r=\frac{1}{2}, \varepsilon=1$. Структура семей молекулы при этом не меняется. После сделанной редукции несложно выписать явные формулы для энергии молекул, изображенных на рис. 1.20 , рис. 1.21 , рис. 1.22 , рис. 1.23 в случае атомов со звездочками. Если в примере 1 (рис. 1.20) молекула $W$ содержит $p$ вершин-звездочек, то формула для ее энергии принимает вид: При этом энергия $\tilde{n}(F)$ семьи, содержащей вершины-звездочки, вычисляется так. В формуле для энергии семьи без звездочек, выписанной выше, в предложении 1.8 , нужно добавить еще одно слагаемое, отвечающее $p$ вершинам-звездочкам. Другими словами, получаем: Во всех остальных примерах $2,3,4$ происходит буквально то же самое. В результате энергии молекул, показанных на рис. 1.21 , рис. 1.22 , рис. 1.23 , принимают соответственно вид: где $p$ – суммарное число вершин-звездочек по всем семьям указанных молекул, а $\tilde{n}(F)$ – «новые» энергии семей. Перечисленные примеры помогают вычислять метки молекул $W^{*}$ во многих конкретных ситуациях. Приведем еще несколько теорем П.Й. Топалова, связывающих топологию 3 -многообразия $Q$ с метками молекул $W^{*}$. 1) Тогда всегда выполнены следующие соотношения: Здесь суммирование ведется по всем вериинам графа $W^{\prime}$, отличным от атомов $A$. Следствие 1. Если ранг $H_{1}(Q)<2$, то все атомы $V$ в молекуле $W^{*}$ плоские, т.е. их род равен нулю. В частности, для следующих 3-многообразий: сфера $S^{3}$, гомологические 3 -сферы, $S^{1} \times S^{2}, \mathbb{R} P^{3}$, гомологические проективные 3-пространства – мы получаем, что все атомы у любой молекулы $W^{*}$ на таком 3 -многообразии $Q$ являются плоскими. Следствие 2. Следствие 3. Если молекула $W^{*}$ не содержит семей, то знаменатели всех конечных $r$-меток не превосходят порядка аруппы Тог $H_{1}\left(Q^{3}\right)$. Более того, произведение знаменателей всех конечных $r$-меток тоже не превосходит Tor $H_{1}\left(Q^{3}\right)$. Если же молекула $W^{*}$ содержит $р$ вериин-звездочек, то справедлива даже более сильная оценка. А именно, В заключение рассмотрим полезный пример меченой молекулы $W^{*}$ : с $r$-метками $r_{1}=\frac{\alpha_{1}}{\beta_{1}}, r_{2}=\frac{\alpha_{2}}{\beta_{2}}$ и одной меткой $n$ на атоме $A^{*}$. Молекула такого вида появляется, например, в известном интегрируемом случае Горячева-Чаплыгина. В этом конкретном случае изоэнергетическое 3-многообразие является 3 -сферой. Применяя перечисленные выше результаты, мы получаем следующее соотношение между $r$-метками и меткой $n=\left[\frac{\alpha_{1}}{\beta_{1}}\right]+\left[\frac{\alpha_{2}}{\beta_{2}}\right]$ (где $[x]$ – целая часть числа $x$ ) для молекулы случая Горячева-Чаплыгина: Далее, из вида гамильтоновой системы случая Горячева-Чаплыгина видно, что меченая молекула $A \longleftarrow A^{*} \longrightarrow A$ симметрична относительно атома $A^{*}$. Отсюда следует, что обе ее $r$-метки совпадают. Это означает, что $\left\{\frac{\alpha_{1}}{\beta_{1}}\right\}=\left\{\frac{\alpha_{2}}{\beta_{2}}\right\}$, т.е. равны дробные части, а поэтому совпадают знаменатели $r$-меток, то есть $\beta_{1}=\beta_{2}$. Следовательно, полученное выше соотношение на метки переписывается так: Рис. 1.24 Поэтому $\beta\left(2\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)+\beta\right)=1$. Отсюда получаем два варианта: либо $\beta=1$, $\alpha_{1}+\alpha_{2}=0$, либо $\beta=-1, \alpha_{1}+\alpha_{2}=1$. Для первого варианта молекула $W^{*}$ показана на рис. 1.24a. Для второго варианта молекула показана на рис. 1.24b. Напомним, что метка $n$ зависит от выбора ориентации на $Q$. Закон ее изменения указан в томе I. В данной конкретной ситуации при изменении ориентации метка $n=0$ превращается в метку $n=-1$. Или наоборот. В этом смысле $« n=0$ » и « $n=-1$ » – это на самом деле «одно и то же». Приведенный пример убедительно показывает, что изложенные выше методы действительно позволяют во многих случаях эффективно вычислять метки на молекулах $W^{*}$. Таблицы к главе 1 Таблица 1.1(b) Таблица 1.2
|
1 |
Оглавление
|