Главная > ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ (А. В. Болсинов А. Т. Фоменко)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Здесь мы вкратце опишем конструкцию, предложенную П.Й.Топаловым. Пусть на Q задано слоение Лиувилля, а W — соответствующая меченая молекула. Идея состоит в том, что топология изоэнергетической, или «круговой» 3 -поверхности Q полностью определяется меченой молекулой W. Это ознячает, что топологические инварианты Q (группы гомологий, фундаментальная группа и т.д.) являются «функциями» от меток молекулы W. Во многих случаях эти «функции» можно явно выписать. С другой стороны, в конкретных задачах физики, геометрии и механики топология 3 -многообразия Q часто бывает известна заранее. При этом в реальных примерах многообразие Q обычно устроено несложно: 3-сфера, RP3,S1×S2,T3. Поэтому, зная заранее топологию Q, мы получаем некоторые соотношения между числовыми метками молекулы W. Эти соотношения иногда позволяют вычислять метки r,ε,n. Для простейших молекул типа AA мы показали выше, как работает эта общая идея. В качестве топологического инварианта 3 -многообразия Q, удобного для применения этой конструкции, П.Й. Топалов предложил использовать следующий инвариант, названный им энергией меченой молекулы W. Предварительно нам потребуются некоторые понятия.

Разрежем молекулу W по всем ее конечным ребрам. Она распадется на куски трех типов. Первый тип — это семьи, то есть куски, состоящие только из седловых атомов. Второй тип — это изолированные атомы A. Третий тип связные куски, содержащие как седловые атомы, так и атомы A.

В кусках третьего типа обязательно существуют ребра, одна из вершин которых есть атом A, а другая вершина — седловая. В каждом куске третьего типа выберем и зафиксируем какое-либо из таких ребер. Назовем их «фиксированными ребрами».

Ребро молекулы W будем называть существенным, если оно не является фиксированным и если обе вершины не принадлежат семьям. Сразу отметим, что существенные ребра бывают двух сортов. Это либо внутренние ребра кусков третьего типа, либо ребра, соединяющие между собой куски молекулы 2 -го и 3-го типов. Поясним, что здесь допустимы все варианты: второй тип соединяется со вторым, второй — с третьим, третий — с третьим.

Через g(V) будем обозначать род 3-атома V, т.е. род замкнутой поверхности, получающейся из базы канонического расслоения Зейферта на 3 -атоме V путем заклейки дисками всех граничных окружностей базы. Через q(V) мы обозначим валентность атома, т. е. число его концов. Аналогичным образом мы определим род g(F) семьи F и валентность q(F) семьи F. Напомним, что семья F несет на себе однозначно определенную структуру расслоения Зейферта над некоторой двумерной поверхностью-базой. Будем в дальнейшем предполагать для простоты, что эта поверхность-база ориентируема.

Напомним, что здесь через W мы обозначаем граф, получающийся из молекулы W отождествления каждой ее семьи в одну точку, т.е. в вершину. При этом мы считаем, что разные семьи превращаются в разные точки-вершины. Таким образом, граф W имеет вершины трех типов: 1) семьи, 2) атомы A, 3) седловые атомы, не попавшие в семьи. Будем обозначать вершины графа W через U.

Введем теперь понятие энергии оснащенной молекулы. По определению, это следующее число:
N(W)={0, если ранг H1(Q3)> ранг H1(W)+2UeqAg(U), порядок группы Tor H1(Q3), в противном случае. 

Здесь через Tor H1(Q3) обозначена подгруппа элементов конечного порядка в группе целочисленных одномерных гомологий H1(Q). Если группа Tor H1(Q3) тривиальна, то считаем, что ее порндок равен 1.
Оказывается, энергия меченой молекулы может быть выражена через метки этой молекулы с помощью довольно простых формул. При этом для каждой грубой молекулы W, то есть для молекулы без меток, получается, вообще говоря, «своя формула». Однако имеется несложный алгоритм, позволяющий находить эту «формулу» для каждой конкретной молекулы W. Этот алгоритм описан в [198]. Мы не будем излагать его подробно, а ограничимся лишь некоторыми примерами.
ПРимер 1. Пусть молекула W имеет вид, показанный на рис. 1.20. Через e1,e2,,em обозначены ребра молекулы, а через F обозначена некоторая семья. Все ребра e1,e2,,em инцидентны семье F. При этом все ребра e1,e2,,em являются конечными, т. е. имеют конечные r-метки. Тогда энергия меченой молекулы равна:
N(W)=±β1β2βmn~(F),

где β1,β2,,βm — это знаменатели r-меток r1=α1β1,,rm=αmβm, стоящих на ребрах e1,e2,,em, а n~(F) — «энергия семьи» F, то есть инвариант, введенный нами в предыдущем параграфе.

Таким образом, если здесь известны r метки и топология 3 -многообразия Q, то можно в явном виде найти метку n для семьи F. Она выражается через n~ по формуле, приведенной в предыдущем параграфе.

ПРимеР 2. Пусть молекула W имеет вид, показанный на рис. 1.21. Здесь мы снова предполагаем, что F1 и F2 являются какими-то семьями. При этом инцидентные с ними ребра e0,e1,e2,,em являются конечными. В этом случае энергия меченой молекулы равна:
N(W)=±β0β1β2βm[n~(F1)n~(F2)β02].

Здесь βi — знаменатели меток ri на ребрах ei,n~(Fj) — энергия семьи Fj.
ПРимЕР 3. Пусть молекула W имеет вид, показанный на рис. 1.22. Как и выше, здесь предполагается, что F0,F1,F2 являются какими-то семьями, и все инцидентные с ними ребра e0,e1,,em являются конечными. При этом семья F2 может не иметь никаких других внешних ребер, кроме ребер e0,e1. Тогда энергия меченой молекулы имеет вид:
N(W)=±β0β1β2βm[n~(F0)n~(F1)n~(F2)n~(F0)β02n~(F1)β12].

Здесь βi — знаменатели меток ri на ребрах ei,n~(Fj) — энергия семьи Fj.
ПРиМЕР 4. Пусть молекула W имеет вид, показанный на рис. 1.23. Здесь предполагается, что F является какойто семьей, и инцидентные с ней ребра e0,e1,,em конечные. Одно из ребер, а именно e0, является здесь петлей. В этом случае энергия меченой молекулы имеет вид:
N(W)=±β0β1βm[n~(F)2β01].

Рис. 1.23
Здесь βi — знаменатели меток ri на ребрах ei, n~(F) — энергия семьи F.

Выше мы предполагали, что молекула W не содержит вершин-звездочек. Если они все-таки есть, то этот случай сводится к случаю без звездочек следующим образом. Если какой-то атом V содержит вершину-звездочку, то, не меняя 3 -многообразия Q, можно изменить его разбиение на 3 -атомы, т.е. поиному выбрать граничные 2 -торы, разбивающие Q в сумму 3 -атомов. Рассмотрим слоение Лиувилля в окрестности того особого слоя типа (2,1) в расслоении Зейферта, который и дает нам звездочку. Добавим формально еще один «разрезающий 2-тор», являющийся границей полнотория, окружающего выбранный нами особый слой типа (2,1). В результате появятся «новый атом» типа A и новое ребро, инцидентное с ним. Вырезая окрестности всех особых слоев из 3 -атома V, мы получаем на «остатке» структуру тривиального S1-расслоения, т.е. прежний 3-атом может рассматриваться теперь как атом без звездочек. В результате мы превращаем каждую вершину-звездочку в дополнительное ребро вида A, на котором, как нетрудно видеть, стоят метки r=12,ε=1. Структура семей молекулы при этом не меняется.

После сделанной редукции несложно выписать явные формулы для энергии молекул, изображенных на рис. 1.20 , рис. 1.21 , рис. 1.22 , рис. 1.23 в случае атомов со звездочками.

Если в примере 1 (рис. 1.20) молекула W содержит p вершин-звездочек, то формула для ее энергии принимает вид:
N(W)=±2pβ1β2βmn~(F).

При этом энергия n~(F) семьи, содержащей вершины-звездочки, вычисляется так. В формуле для энергии семьи без звездочек, выписанной выше, в предложении 1.8 , нужно добавить еще одно слагаемое, отвечающее p вершинам-звездочкам. Другими словами, получаем:
(n~(F))нован =(n~(F))старан +p2.

Во всех остальных примерах 2,3,4 происходит буквально то же самое. В результате энергии молекул, показанных на рис. 1.21 , рис. 1.22 , рис. 1.23 , принимают соответственно вид:
N(W)=±2pβ0β1β2βm[n~(F1)n~(F2)β02].N(W)=±2pβ0β1β2βm[n~(F0)n~(F1)n~(F2)n~(F0)β02n~(F1)β12].N(W)=±2pβ0β1βm[n~(F)2β01].

где p — суммарное число вершин-звездочек по всем семьям указанных молекул, а n~(F) — «новые» энергии семей.

Перечисленные примеры помогают вычислять метки молекул W во многих конкретных ситуациях. Приведем еще несколько теорем П.Й. Топалова, связывающих топологию 3 -многообразия Q с метками молекул W.
Теорема 1.3 (П. Й. Топалов [198]). Пусть W — меченая молекула какой-то интегрируемой системы на 3 -многообразии Q, и W — граф, полученный описанным выие способом.

1) Тогда всегда выполнены следующие соотношения:
 ранг H1(Q3)pангH1(W)+2UeqAg(U),paнгH1(Q)[paнгH1(W)+2UeqAg(U)]+UeqAq(U).

Здесь суммирование ведется по всем вериинам графа W, отличным от атомов A.
2) Любое существенное ребро е молекулы W дает в группе целочисленных гомологий H1(Q) прямое слагаемое вида Zβ(e), где β(e) — знаменатель r-метки αβ на ребре е. Здесь мы считаем, что при β=0 группа Zβ(е) изоморфна Z. При β=1 группа Zβ(е) тривиальна. Кроме существенных ребер, вклад в группу гомологий H1(Q) дают и некоторые атомы со звездочками. А именно, если атом не принадлежит никакой семье, то все его вершины-звездочки дают независимые прямые слагаемые Z2.
Из этой теоремы получаются следующие интересные следствия.

Следствие 1. Если ранг H1(Q)<2, то все атомы V в молекуле W плоские, т.е. их род равен нулю. В частности, для следующих 3-многообразий: сфера S3, гомологические 3 -сферы, S1×S2,RP3, гомологические проективные 3-пространства — мы получаем, что все атомы у любой молекулы W на таком 3 -многообразии Q являются плоскими.

Следствие 2.
1) Если Q3 является сферой S3 или тором T3, то на существенных ребрах молекулы W всегда стоит r-метка 0 .
2) Если Q3 является проективным пространством RP3, то на существенных ребрах молекулы W всегда стоит r-метка 0 или 12. При этом r-метка 12 может появиться только в одном месте.
3) Если Q3 является прямым произведением S1×S2, или связной суммой нескольких экземпляров 3 -многообразий S1×S2, то на существенных ребрах молекулы W всегда стоит r-метка 0 или .

Следствие 3. Если молекула W не содержит семей, то знаменатели всех конечных r-меток не превосходят порядка аруппы Тог H1(Q3). Более того, произведение знаменателей всех конечных r-меток тоже не превосходит Tor H1(Q3). Если же молекула W содержит р вериин-звездочек, то справедлива даже более сильная оценка. А именно,
2p (произведение знаменателей конечных r-меток)
порядок группы Tor H1(Q3).

В заключение рассмотрим полезный пример меченой молекулы W :
AAA,

с r-метками r1=α1β1,r2=α2β2 и одной меткой n на атоме A. Молекула такого вида появляется, например, в известном интегрируемом случае Горячева-Чаплыгина. В этом конкретном случае изоэнергетическое 3-многообразие является 3 -сферой. Применяя перечисленные выше результаты, мы получаем следующее соотношение между r-метками и меткой n=[α1β1]+[α2β2] (где [x] — целая часть числа x ) для молекулы случая Горячева-Чаплыгина:
2β1β2(α1β1+α2β2+21)=1

Далее, из вида гамильтоновой системы случая Горячева-Чаплыгина видно, что меченая молекула AAA симметрична относительно атома A. Отсюда следует, что обе ее r-метки совпадают. Это означает, что {α1β1}={α2β2}, т.е. равны дробные части, а поэтому совпадают знаменатели r-меток, то есть β1=β2. Следовательно, полученное выше соотношение на метки переписывается так:

Рис. 1.24
2β2(α1β+α2β+21)=1.

Поэтому β(2(α1+α2)+β)=1. Отсюда получаем два варианта: либо β=1, α1+α2=0, либо β=1,α1+α2=1. Для первого варианта молекула W показана на рис. 1.24a. Для второго варианта молекула показана на рис. 1.24b.

Напомним, что метка n зависит от выбора ориентации на Q. Закон ее изменения указан в томе I. В данной конкретной ситуации при изменении ориентации метка n=0 превращается в метку n=1. Или наоборот. В этом смысле «n=0 » и « n=1 » — это на самом деле «одно и то же».

Приведенный пример убедительно показывает, что изложенные выше методы действительно позволяют во многих случаях эффективно вычислять метки на молекулах W.

Таблицы к главе 1
Таблица 1.1(a)

Таблица 1.1(b)

Таблица 1.2

1
Оглавление
email@scask.ru