Сформулируем общую идею, позволяющую устанавливать существование изоморфизмов между разными классами систем с использованием теории инвариантов, и применим ее в рассматриваемом случае. Пусть имеется два класса систем $\{v\}$ и $\left\{v^{\prime}\right\}$, каждый из которых зависит от некоторых параметров $\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right) \in \mathcal{U}$ и $\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{l}\right) \in \mathcal{U}^{\prime}$. Предположим, что рассматриваемые системы имеют один и тот же топологический тип, так что нам нужно сравнивать только конечное число инвариантов, непрерывно зависящих от параметров системы. Обозначим через $\mathcal{I}$ пространство этих инвариантов (т.е. множество, в котором они принимают свои значения). В результате мы получаем два отображения $\phi: \mathcal{U} \rightarrow \mathcal{I}$ и $\phi^{\prime}: \mathcal{U}^{\prime} \rightarrow \mathcal{I}$, которые каждому набору параметров ставят в соответствие значение инвариантов для соответствующей динамической системы. В пространстве $\mathcal{I}$ возникают два множества (две «поверхности») $\phi(\mathcal{U})$ и $\phi^{\prime}\left(\mathcal{U}^{\prime}\right)$. Точки их пересечения отвечают эквивалентным системам. С помощью этой естественной и наглядной конструкции удобно также анализировать, каким именно значениям инвариантов отвечают эквивалентные системы, и наоборот, понимать, какие системы не эквивалентны.
Чтобы это сделать, рассмотрим отображения
\[
\begin{aligned}
\xi:(a, b, c) & \rightarrow(k(a, b, c), l(a, b, c)) \in \mathbb{R}^{2}, \\
\Xi:(A, B, C) & \rightarrow(K(A, B, C), L(A, B, C)) \in \mathbb{R}^{2},
\end{aligned}
\]

сопоставляющие каждому эллипсоиду и каждому твердому телу пару траекторных инвариантов соответствующей гамильтоновой системы. Свойства этих отображений и их образов «в пространстве инвариантов» для классов систем $\left\{v_{J}(a, b, c)\right\}$ и $\left\{v_{E}(A, B, C)\right\}$ оказались совершенно идентичными.
Предложение 7.4.
а) $\xi(a, b, c)=\xi\left(a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}\right)$ тогда и только тогда, когда тройки чисел $(a, b, c)$ и ( $a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}$ ) пропорциональны, т.е. соответствующие им эллипсоиды подобны.
б) $\Xi(A, B, C)=\Xi\left(A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}\right)$ тогда и только тогда, когда тройки чисел $(A, B, C)$ и ( $\left.A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}\right)$ пропорциональны, т. е. эллипсоиды инерции соответствующих твердых тел подобны.

в) Образы отображений $\xi$ и совпадают и имеют на двумерной плоскости $\mathbb{R}^{2}(x, y)$ вид $\{x>0, y<-1\}$.

Перечисленные утверждения следуют из явного вида формул путем прямого подсчета. Для случая Эйлера они доказаны в [37], а для случая Якоби в [148].
Из утверждения немедленно вытекает следующее важное утверждение.

Теорема 7.3. Задача Якоби (геодезический поток эллипсоида) и случай Эйлера (в динамике твердого тела) непрерывно траекторно эквивалентны в следующем точном смысле. Для каждого твердого тела существует и притом единственный с точностью до пропорииональности эллипсоид такой, что соответствующие системы $v_{J}(a, b, c)$ и $v_{E}(A, B, C)$ непрерывно траекторно эквивалентны $u$ наоборот.