В главе 2 были полностью классифицированы римановы метрики на двумерных поверхностях, геодезические потоки которых интегрируемы при помощи линейных и квадратичных интегралов. Аналогичный вопрос об описании (и классификации) метрик, геодезические потоки которых интегрируемы при помощи полиномов степеней три и выше, остается пока открытым. Здесь имеется, конечно, в виду, что степень таких интегралов непонижаема. Более того, построенные нами выше два примера метрик (Горячева-Чаплыгина и Ковалевской) на двумерной сфере остаются по существу единственными примерами метрик с полиномиальными интегралами степени большей двух. На торе таких примеров не известно. Более того, многочисленные попытки сконструировать такие метрики на торе пока оканчивались неудачей.
Гипотеза А. На двумерном торе не существует римановых метрик, геодезические потоки которых допускают полиномиальные интегралы степени $n>2$, но не допускают линейных и квадратичных интегралов. Другими словами, приведенный в главе 6 список интегрируемых геодезических потоков на торе является полным, т.е. дает полную классификацию потоков, допускающих полиномиальные по импульсам интегралы.

Гипотеза Б. На двумерной сфере не существует римановых метрик, геодезические потоки которых были бы интегрируемы при помощи интегралов степени $n>4$ и не допускали бы интегралов меньших степеней.
Гипотезы А и Б сформулированы В. В. Козловым и А. Т.Фоменко.

В пользу гипотезы А имеется довольно много аргументов. Например, см. работы: В.В.Козлов и Н.В. Денисова [86], [87], М.Л.Бялый [51], В.В.Козлов, Д.В.Трещев [89]. Подробнее об этой гипотезе см. в обзоре А.В.Болсинова, В. В. Козлова, А. Т. Фоменко [29] и в книге В. В. Козлова [84].

Полезно отметить глобальный характер гипотез А и Б. Здесь речь идет о свойствах метрик, заданных на всей сфере и всем торе (т.е. глобально). Если же ограничиться локальным аспектом задачи, то ситуация сразу проясняется. А именно, имеет место следующий результат В. В. Козлова.
Теорема 6.12. Имеются интегриремые системы с гамильтонианом
\[
H=\frac{p_{1}^{2}+p_{2}^{2}}{2 \Lambda\left(x_{1}, x_{2}\right)},
\]

которые допускают в области $D_{x} \times \mathbb{R}_{p}^{2}$ (где $D$ – диск на плоскости $x_{1}, x_{2}$ ) полиномиальный по импульсам интеграл любой заданной степени $n$, независимый от $H$, и при этом не допускают независимого от $H$ полиномиального интеграла степени меньшей, чем $n$.
Доказательство см. в работе В. Тена [194].
Укажем здесь также на следующие два известных интегрируемых случая с интегралами степени три и четыре. Это – цепочка Тоды $[381],[90],[244]$, и система Калоджеро-Мозера [338], [256]. Используя принцип Мопертюи, из них них можно сконструировать интегрируемые геодезические потоки на диске с интегралами степени три и четыре.

Укажем в явном виде интегрируемые случаи цепочки Тоды с двумя степенями свободы, и соответствующие интегралы. Для случая двух степеней свободы известны следующие три интегрируемых случая. Мы указываем ниже гамильтонианы $H$ вместе с соответствующими интегралами $F$ степени 3 или 4 .
Случай 1.
\[
\begin{aligned}
H & =\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)+v_{1} e^{\sqrt{3} x_{1}+x_{2}}+v_{2} e^{-\sqrt{3} x_{1}+x_{2}}+v_{3} e^{-2 x_{2}}, \\
F & =\frac{1}{3} p_{1}^{3}-p_{1} p_{2}^{2}+v_{2}\left(p_{1}+\sqrt{3} p_{2}\right) e^{-\sqrt{3} x_{1}+x_{2}}- \\
& -2 v_{3} p_{1} e^{-2 x_{2}}+v_{1}\left(p_{1}-\sqrt{3} p_{2}\right) e^{\sqrt{3} x_{1}+x_{2}} .
\end{aligned}
\]

Случай 2.
\[
\begin{aligned}
H & =\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)+v_{1} e^{x_{1}}+v_{2} e^{x_{2}}+v_{3} e^{-x_{1}-x_{2}}+v_{4} e^{-\frac{1}{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)} \\
F & =p_{1}^{2} p_{2}^{2}+2 v_{2} p_{1}^{2} e^{x_{2}}+2 p_{1} p_{2}\left(v_{3} e^{-x_{1}-x_{2}}+v_{4} e^{-\frac{1}{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)}\right)+2 v_{1} p_{2}^{2} e^{x_{1}}+ \\
& +2 v_{2} v_{3} e^{-x_{1}}+2 v_{1} v_{3} e^{-x_{2}}+4 v_{1} v_{2} e^{x_{1}+x_{2}}+\left(v_{3} e^{-x_{1}-x_{2}}+v_{4} e^{-\frac{1}{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)}\right)^{2}
\end{aligned}
\]

Случай 3.
\[
\begin{aligned}
H & =\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)+e^{-x_{1}-x_{2}}+\gamma_{1} e^{x_{1}}+\frac{1}{2} \beta_{1} e^{2 x_{1}}+\gamma_{2} e^{x_{2}}+\frac{1}{2} \beta_{2} e^{2 x_{2}} \\
F & =p_{1}^{2} p_{2}^{2}+p_{1}^{2}\left(2 \gamma_{2} e^{x_{2}}+\beta_{2} e^{2 x_{2}}\right)+2 p_{1} p_{2} e^{-x_{1}-x_{2}}+p_{2}^{2}\left(2 \gamma_{1} e^{x_{1}}+\beta_{1} e^{2 x_{1}}\right)+ \\
& +e^{-2\left(x_{1}+x_{2}\right)}+\beta_{1} \beta_{2} e^{2\left(x_{1}+x_{2}\right)}+2 \beta_{1} \gamma_{2} e^{2 x_{1}+x_{2}}+2 \beta_{2} \gamma_{1} e^{x_{1}+2 x_{2}}+ \\
& +4 \gamma_{1} \gamma_{2} e^{x_{1}+x_{2}}+2 \gamma_{1} e^{-x_{2}}+2 \gamma_{2} e^{-x_{1}} .
\end{aligned}
\]

Укажем в явном виде интегрируемые случаи системы Калоджеро-Мозера с двумя степенями свободы и соответствующие интегралы. Рассмотрим $n$ частиц единичной массы, расположенных на прямой в точках $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ и взаимодействующих друг с другом с потенциалом попарного взаимодействия $f$. Их динамика описывается гамильтоновой системой с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} p_{i}^{2}+\sum_{i<j} f\left(x_{i}-x_{j}\right) .
\]

Для случая двух степеней свободы известны следующие четыре типа потенциалов, дающих интегрируемые случаи системы $n$ частиц. Соответствующие системы обычно называются системами Калоджеро-Мозера.
1) $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$,
2) $f(x)=\frac{1}{\sin ^{2} x}$,
3) $f(x)=\frac{1}{\operatorname{sh}^{2} x}$,
4) $f(x)=\frac{1}{\operatorname{sn}^{2} x}$

где $\operatorname{sn}(x)=\operatorname{sn}(x \mid m)$ – эллиптический синус (или синус амплитуды). Напомним его определение. Рассмотрим следующий эллиптический интеграл:
\[
u(\varphi, m)=\int_{0}^{\varphi} \frac{d \theta}{\sqrt{1-m^{2} \sin ^{2} \theta}} .
\]

Здесь $0 \leqslant m \leqslant 1$. Тогда $\varphi$ можно рассматривать как функцию $\varphi=\varphi(u, m)$, т.е. $\varphi$ можно считать функцией, обратной к $u$. Она называется амплитудой эллиптического интеграла $u$ и обозначается $\operatorname{am}(u)$. Тогда, по определению, $\operatorname{sn}(u)=\sin \operatorname{am}(u)$.

В то же время потенциал $f(x)$ можно переписать в терминах функции Вейерштрасса $\wp(x)$. Функция Вейерштрасса связана с эллиптическим синусом простым соотношением
\[
\wp(x)=e_{3}+\frac{e_{1}-e_{3}}{\operatorname{sn}^{2}\left(\sqrt{e_{1}-e_{3}} x\right)} .
\]

Здесь $\wp(x)$ – функция Вейерштрасса, отвечающая ортогональной решетке с произвольными периодами $\omega_{1} \in \mathbb{R}, \omega_{2} \in i \mathbb{R}$. Далее, $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ – значения функции Вейерштрасса в полупериодах, т.е.
\[
e_{1}=\wp\left(\frac{\omega_{1}}{2}\right), \quad e_{2}=\wp\left(\frac{\omega_{1}+\omega_{2}}{2}\right), \quad e_{3}=\wp\left(\frac{\omega_{2}}{2}\right) .
\]

В этом случае параметр $m$ эллиптического синуса выражается по формуле
\[
m^{2}=\frac{e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}} .
\]

Отметим, что первые три потенциала $f(x)$
\[
\frac{1}{x^{2}}, \frac{1}{\sin ^{2} x}, \frac{1}{\operatorname{sn}^{2} x}
\]

являются на самом деле вырождениями функции Вейерштрасса при стремлении периодов функции Вейерштрасса (одного или сразу двух) к бесконечности.

Для изготовления из указанных гамильтонианов интегрируемого геодезического потока следует взять систему из трех частиц. Тогда, оказывается, в перечисленных пнти случаях у нее есть линейный интеграл $F_{1}=p_{1}+p_{2}+p_{3}$ и некоторый кубический интеграл. Для получения системы с двумя степенями свободы нужно произвести редукцию по интегралу импульса $F_{1}$. Полученная система с двумя степенями свободы будет обладать интегралом степени три.

Поясним более подробно. Гамильтониан $H$ и кубический интеграл $F$ имеют следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
H=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\right)-\left(f\left(x_{1}-x_{2}\right)+f\left(x_{1}-x_{3}\right)+f\left(x_{2}-x_{3}\right)\right), \\
F=p_{1} p_{2} p_{3}+p_{1} f\left(x_{2}-x_{3}\right)+p_{2} f\left(x_{1}-x_{3}\right)+p_{3} f\left(x_{1}-x_{2}\right) .
\end{array}
\]

Производя редукцию по линейному интегралу $p_{1}+p_{2}+p_{3}$, мы получаем интегрируемую систему с двумя степенями свободы со следующими гамильтонианом и интегралом третьей степени. Для упрощения формул мы сделали некоторые перенормировки. Новые координаты (т.е. после редукции) мы обозначим через $p, y$.
\[
\begin{aligned}
H & =\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)-f\left(2 y_{2}\right)-f\left(\sqrt{3} y_{1}+y_{2}\right)-f\left(-\sqrt{3} y_{1}+y_{2}\right), \\
F & =\frac{1}{3} p_{1}^{3}-p_{1} p_{2}^{2}-\left(p_{1}+\sqrt{3} p_{2}\right) f\left(-\sqrt{3} y_{1}+y_{2}\right)- \\
& -2 p_{1} f\left(-2 y_{2}\right)-\left(p_{1}-\sqrt{3} p_{2}\right) f\left(\sqrt{3} y_{1}+y_{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Здесь в качестве функции $f$ можно взять любую из перечисленных выше функций из случаев $1-4$. Отметим, что первом случае, т. е. когда потенциал имел вид $x^{-2}$, выражения для гамильтониана $H$ и кубического интеграла $F$ несколько упрощаются. А именно:
\[
H=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)-\left(\frac{3\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}\right)}{2 y_{2}\left(y_{2}^{2}-3 y_{1}^{2}\right)}\right)^{2} .
\]

Кубический интеграл выглядит так:
\[
F=p_{1}^{3}-3 p_{1} p_{2}^{2}+\frac{9\left(3 y_{1}^{4}-6 y_{1}^{2} y_{2}^{2}-y_{2}^{4}\right)}{2 y_{2}^{2}\left(y_{2}^{2}-3 y_{1}^{2}\right)^{2}} p_{1}-36 \frac{y_{1} y_{2}}{\left(y_{2}^{2}-3 y_{1}^{2}\right)^{2}} p_{2} .
\]

Отметим также работу Холла [309], в которой сделана попытка проанализировать с общей точки зрения натуральные системы, допускающие интегралы третьей степени.

Отметим, что метрики с интегралами степеней три и четыре на сфере, отличные от метрик Горячева-Чаплыгина и Ковалевской, существуют. Такие примеры для интегралов степени три были недавно предложены Е. Н. Селивановой. А для интегралов степени четыре примеры можно извлечь из работы Горячева [60]. Было бы интересно получить классификацию таких метрик и явные формулы для них. Укажем еще два примера римановых метрик, заданных на двумерном диске (или на полуплоскости), геодезические потоки которых интегрируемы при помощи интегралов степени три. Первая из этих метрик называется метрикой Холта (Holt). Она имеет вид:
\[
d s^{2}=\left(\alpha-y^{-\frac{2}{3}}\left(\delta-\frac{3}{4} b y^{2}-b x^{2}-c x\right)\right)\left(d x^{2}+d y^{2}\right) .
\]

Здесь $\alpha, \delta, b, c$ – произвольные константы. Эта метрика получается путем применения принципа Мопертюи к натуральной системе, гамильтониан которой выглядит так:
\[
H=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)+U(x, y)
\]

где
\[
U(x, y)=y^{-\frac{2}{3}}\left(\delta-\frac{3}{4} b y^{2}-b x^{2}-c x\right) .
\]

Интеграл этой натуральной системы имеет степень три и имеет следующий вид:
\[
F=2 p_{1}^{3}+3 p_{1} p_{2}^{2}+3 y^{-\frac{2}{3}}\left(2 \delta-2 b x^{2}-2 c x+3 b y^{2}\right) p_{1}-y^{\frac{1}{3}}(18 b x+9 c) p_{2} .
\]

Следующий пример локальной метрики, геодезический поток которой обладает интегралом третьей степени, получается путем применения принципа Мопертюи к натуральной системе, обнаруженной Фокасом (Fokas) и Лангестромом (Langestrom). Гамильтониан и интеграл этой системы имеют вид:
\[
\begin{array}{l}
H=\frac{p_{1}^{2}+p_{2}^{2}}{2}+\left(-y^{2}+x^{2}\right)^{-\frac{2}{3}} \\
F=\left(x p_{2}-y p_{1}\right)\left(p_{1}^{2}-p_{2}^{2}\right)-4\left(x p_{2}+y p_{1}\right)\left(-y^{2}+x^{2}\right)^{-\frac{2}{3}} .
\end{array}
\]

В заключение мы покажем, как степень интеграла связана с топологией слоения Лиувилля в случае интегрируемых геодезических потоков на замкнутых двумерных поверхностях.

Выше мы изложили результаты А.А.Ошемкова, В.В.Калашникова (мл.), Нгуен Тьен Зунга, Л.С.Поляковой, Е.Н.Селивановой, В. С. Матвеева, которые описывают топологию лиувиллевых слоений для таких потоков. Мы сформулировали окончательный ответ в терминах так называемых меченых молекул. Эти молекулы были указаны явно для каждого набора параметров (типа $f, g, L$ ) (см. главы 2,3 тома II). Здесь мы соберем вместе эти результаты в виде таблицы, перечислив эти молекулы в простейших случанх, когда слоение Лиувилля изоэнергетической поверхности имеет наименьшее число особенностей. Эти результаты представлены в таблице 6.1.
Комментарии к таблице 6.1.
1. Функции $f$ и $g$, являющиеся параметрами метрик, имеют наименьшее возможное число критических точек, и эти точки невырождены.
2. На ребрах молекул на самом деле стоят числовые метки $n, r, \varepsilon$. Эти метки полностью указаны в главах 3,5 . Мы не приводим их здесь в полном объеме, чтобы не загромождать таблицу. Однако мы указываем эти метки в тех случаях, когда они необходимы для того, чтобы различить между собой топологически неэквивалентные слоения Лиувилля. Дело в том, что (как видно из таблицы) в некоторых случаях молекулы без меток совпадают, хотя отвечающие им слоения Лиувилля различны. В качестве примера интересно обратить внимание на тот факт, что молекула, отвечающая метрике Ковалевской и молекула, отвечающая квадратично интегрируемому геодезическому потоку на бутылке Клейна, совпадают, если не учитывать их меток. Это означает, что с локальной точки зрения соответствующие слоения устроены совершенно одинаково. Однако различие меток указывает на то, что их глобальная структура различна.
3. В случае квазилинейно и квазиквадратично интегрируемых геодезических потоков на бутылке Клейна в молекулах участвует атом $K$. Соответствующий ему особый слой диффеоморфен бутылке Клейна. Локально в окрестности каждой точки дополнительный интеграл $F$ имеет вид $F=\widetilde{F}^{2}$, где $\widetilde{F}-$ функция без особенности (в данной точке). Однако глобально квадратный корень не извлекается, поскольку нормальное расслоение к критической бутылке Клейна (в изоэнергетической поверхности $Q^{3}$ ) нетривиально.
4. В случае, когда функции $f$ и $g$ имеют произвольное число критических точек, общий вид молекулы остается в принципе тем же самым. Грубо говоря, вместо концевых атомов $A$ нужно «вклеить» некоторые графы, характеризующие взаимное расположение критических уровней функций $f$ и $g$. См. главы 2,3 .
5. Знаки вопроса в таблице 6.1 означают, что примеры соответствующих метрик неизвестны. Более того, согласно сформулированной выше гипотезе, таких примеров вообще не существует.