1.4.1. Круговые молекулы регулярных точек бифуркационной диаграммы
Мы начнем с самого простого случая и укажем круговые молекулы для неособых точек бифуркационной диаграммы. Такая информация тоже может быть иногда полезной.

Итак, пусть $y \in \Sigma$ – неособая точка бифуркационной диаграммы, лежащая на некоторой гладкой дуге $\gamma$ из $\Sigma$. Мы предполагаем, что все точки этой дуги, включая точку $y$, соответствуют некоторой боттовской особенности, т.е. некоторому атому $V$. Рассмотрим окружность $\tau$ малого радиуса вокруг точки $y$ (рис. 1.9). Она, очевидно, допустима, и мы можем рассмотреть ее прообраз $Q_{y}^{3}=\mathcal{F}^{-1}(\tau)$ и соответствующую круговую молекулу $W^{*}(y)$, описывающую слоение Лиувилля на нем.

Выделим два случая: случай седлового атома $V$ и случай, когда $V$ является атомом типа $A$.
Предложение 1.3 (Случай атома А). Круговая молекула $W^{*}(y)$, отвечающая неособой точке $у$ бифуркационной диаграммы, соответствующей атому $A$ (рис.1.10a), имеет вид
Рис. 1.9
$A-A$,

где $r=\infty, \varepsilon=-1$. При этом многообразие $Q_{y}^{3}=\mathcal{F}^{-1}(\tau)$ диффеоморфно прямому произведению $S^{1} \times S^{2}$.

Предложение 1.4 (Случай седлового атома V). Круговая молекула $W^{*}(y)$, отвечающая неособой точке у бифуркационной диаграммы, соответствующей седловому атому $V$, имеет вид, показанный на рис.1.10b. Здесь метки выглядят так. Все г-метки равны бесконечности. Все метки є равны единице. Метка п равна нулю. Здесь имеется ровно одна семья, поэтому метка $n$ ровно одна. При этом, если атом $V$ не имеет вериин-звездочек, Рис. 1.10 то 3-многообразие $Q_{y}^{3}=\mathcal{F}^{-1}(\tau)$ диффеоморфно прямому произведению
\[
P_{k}^{2} \times S^{1}
\]

где замкнутая ориентированная двумерная поверхность $P_{k}^{2}$ имеет род $k=$ $=2 g(V)+($ число ребер атома $V)-1$.

Если же атом $V$ имеет вериины-звездочки, то 3 -многообразие $Q_{y}^{3}=\mathcal{F}^{-1}(\tau)$ диффеоморфно расслоению Зейферта со слоем окружность над двумерной ориентированной поверхностью $P_{k}^{2}$, род которой вычисляется по той же формуле:
\[
k=2 g(V)+(\text { число ребер атома } V)-1 .
\]

В этом случае под родом атома $g(V)$ понимается род канонической базы данного расслоения Зейферта. Другими словами, род атома – это род поверхности, получающейся факторизацией трансверсального сечения в 3-атоме по естественной инволюции, задающей вериины-звездочки. См. детали выше, в главе 3 тома I.
Доказательство.
Мы докажем сразу оба предложения 1.3 и 1.4. Продеформируем окружность $\tau$ (см. рис. 1.9) при помощи подходящей изотопии в кривую, показанную на рис. 1.11. То есть «сильно сплющим» окружность. В результате получаются два отрезка, концы которых склеены. Причем оба отрезка трансверсальны дуге бифуркационной диаграммы. Следовательно, прообразом каждого из них является 3-атом. Мы получаем две изоморфные копии одного и того же 3-атома, которые следует склеить между собой по граничным торам.
Очевидно, что эта склейка происходит по тождественному отображению. Каждый граничный тор склеивается со своим «двойником». Отсюда следует, что общий вид искомой круговой молекулы $W(y)$ именно такой, какой указан на рис. 1.10. Независимо от того, имеет ли атом $V$ звездочки или нет.
Явный вид меток на ребрах круговой молекулы, указанный в предложениях 1.3 и 1.4, сразу следует из того, что склейка границ двух копий атома происходит по тождественному отображению. Отметим здесь только, что в случае атома $A$ метка $\varepsilon$ равна – 1 по той причине, что гамильтонов поток на обоих критических окружностях этой молекулы, то есть в рассматриваемом нами сейчас случае, течет в одну сторону. Согласно предложению 1.1 , в этом случае метка $\varepsilon$ равна -1 .

Опишем теперь топологию 3 -многообразия $Q_{y}^{3}=\mathcal{F}^{-1}(\tau)$. Ясно, что $Q_{y}^{3}$ получается склейкой двух копий 3 -атома $V$, то есть $Q_{y}^{3}=V+V$. В то же время, 3 -атом $V$ либо является прямым произведением $Y \times S^{\mathbf{1}}$, либо расслоением Зейферта с базой $Y$ и слоем $S^{1}$. Здесь $Y$ – двумерная поверхность с краем. Из явного вида склейки видно, что при склейке двух копий 3 -атомов склеиваются их базы $Y$. В результате получаем, что $Q_{y}^{3}$ является либо прямым произведением $(Y+Y) \times S^{1}$, либо расслоением Зейферта над базой $Y+Y$ со слоем $S^{1}$. Остается подсчитать род поверхности $Y+Y$. В случае атома $A$ база $Y$ является 2 -диском, поэтому $Y+Y$ гомеоморфно сфере $S^{2}$. Поэтому в этом случае $Q_{y}^{3}=S^{2} \times S^{1}$. В случае седлового атома $V$ род базы $Y+Y$ вычисляется через род поверхности $Y$ и число ее граничных окружностей в точности по указанной выше формуле.
Предложения 1.3 и 1.4 доказаны.

1.4.2. Круговые молекулы, отвечающие невырожденным особенностям отображения момента
Для всех четырех типов невырожденных особенностей бифуркационной диаграммы, а именно: седло-седло, седло-центр, центр-центр, фокус-фокус – круговые молекулы полностью описаны в главе 9 тома I. В то же время представляет интерес посмотреть, какие из этих круговых молекул действительно появляются в конкретных задачах геометрии математической физики. Мы составили такой список на основе проведенного в последние годы обширного анализа конкретных гамильтоновых систем.
Результат приведен в таблице 1.1.
В каждом из четырех разделов этой таблицы перечислены наиболее часто встречающиеся круговые молекулы. Рядом с каждой из них мы указали те классические случаи интегрируемости в динамике тнжелого твердого тела, где эта круговая молекула встречается. Итог таков.
1) В разделе «центр-центр» появляется только одна круговая молекула. Она встречается очень часто, почти во всех известных случаях интегрируемости.
2) В разделе «центр-седло» появляются три различных круговых молекулы.
3) В разделе «седло-седло» появляются пять различных круговых молекул.
4) В разделе «фокус-фокус» появляются две различные круговые молекулы.
Этот список может быть неполон, поскольку мы исследовали не все случаи интегрируемости, известные сегодня. Тем не менее, наш список возник в результате обработки большого числа случаев интегрируемости. В этом смысле он достаточно представителен.