Гамильтониан случая Ковалевской (1.14) линейной заменой координат в $\mathbb{R}^{6}(S, R)$, сохраняющей скобку (1.6), приводится к виду (2.1)
\[
H=\frac{1}{2}\left(S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+2 S_{3}^{2}\right)+R_{1} .
\]
При этой замене дополнительный интеграл примет вид:
\[
K=\left(\frac{S_{1}^{2}-S_{2}^{2}}{2}-R_{1}\right)^{2}+\left(S_{1} S_{2}-R_{2}\right)^{2} .
\]
Кривые, разделяющие области на плоскости $\mathbb{R}^{2}(g, h)$ с различным топологическим типом изоэнергетических 3 -поверхностей, для гамильтониана (2.1) описаны в параграфе 2. (См. рис.5.11). Чтобы описать все разделяющие кривые в случае Ковалевской, надо добавить к кривым на рис.5.11 кривые, разделяющие области с различными молекулами $W$. Таким образом, необходимо определить, как меняется молекула $W$ на изоэнергетической 3 -поверхности
\[
Q_{h}^{3}=\left\{f_{1}=1, f_{2}=g, H=h\right\}
\]
при изменении $h$, если значение $g$ фиксировано. Это можно сделать, рассмотрев бифуркационные диаграммы отображения момента
\[
K \times H: T S^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}(k, h),
\]
где $H$ – это гамильтониан (2.1), а $K$ – интеграл (5.1), заданные на $T S^{2}=\left\{f_{1}=1, f_{2}=g\right\}$.
Бифуркационные диаграммы этого отображения построены в книге М. П. Харламова [219]. Вид бифуркационной диаграммы зависит от значения $g$. Качественно различные диаграммы получаются в следующих случаях:
(a) $g=0$,
(b) $0<|g|<1$,
(c) $1<|g|<\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{3}{4}}$,
(d) $\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{3}{4}}<|g|<\sqrt{2}$,
(e) $|g|>\sqrt{2}$.
Рис. 5.31
Они приведены на рис. 5.31. Бифуркационные диаграммы состоят из луча
\[
\left\{k=0, h>g^{2}\right\},
\]
части параболы
\[
\left\{k=\left(h-g^{2}\right)^{2}, \frac{g^{2}}{2}-1 \leqslant h \leqslant g^{2}+\frac{1}{2 g^{2}}\right\}
\]
и кривой, заданной параметрически:
\[
k=1+t g+\frac{t^{4}}{4}, \quad h=\frac{t^{2}}{2}-\frac{g}{t}
\]
где $t \in(-\infty, 0) \cup(g,+\infty)$.
Точка возврата кривой (5.3) при $|g| \leqslant\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{3}{4}}$ имеет координаты
\[
\left(1-\frac{3 g^{\frac{4}{3}}}{4}, \frac{3 g^{2 / 3}}{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}(k, h),
\]
точка касания кривой и параболы имеет координаты
\[
\left(\frac{1}{4 g^{4}}, g^{2}+\frac{1}{2 g^{2}}\right) \in \mathbb{R}^{2}(k, h) .
\]
На рис. 5.31 указаны перестройки торов Лиувилля при критических значениях отображения момента $K \times H$. Если точка, двигаясь по плоскости $\mathbb{R}^{2}(k, h)$, пересекает соответствующую ветвь бифуркационной диаграммы в направлении, указанном стрелкой, то перестройка торов Лиувилля в прообразе этой точки описывается атомом, обозначение которого указано около данной стрелки. Оказывается, в перечисленных выше случаях интегрируемости встречаются только следующие атомы:
\[
A, A^{*}, B, C_{2}, D_{1} \text {. }
\]
Бифуркационные диаграммы (a), (b), (c), (d), (e) на рис. 5.31 переходят одна в другую при непрерывном изменении параметра $g$. Te части бифуркационной диаграммы, которые переходят друг в друга при изменении $g$, определяют одинаковые перестройки торов Лиувилля.
Зная перестройки торов Лиувилля для всех точек бифуркационной диаграммы, можно вычислить молекулы $W$ на соответствующих 3 -поверхностях $Q$ при любых фиксированных $g$ и $h$. Для этого нужно определить, как перестраиваются торы Лиувилля в прообразе точки, движущейся вдоль прямой $h=c$. Будем менять $c$, определяющее эту прямую. Из явного вида бифуркационных диаграмм легко понять, при каких значениях $c$ будут меняться молекулы $W$. Это происходит в следующих случаях.
1) Когда $c$ является критическим значением функции $\tilde{H}=\left.H\right|_{T S^{2}}$. В этом случае изменяется также топологический тип $Q$.
2) Когда прямая $h=c$ проходит через точку возврата кривой (5.3), или через точку касания кривой и параболы, или через начало луча (5.2).
Образы критических точек функции $\tilde{H}$ при отображении момента $K \times H$ обозначены на рис. 5.31 жирными точками. Соответствующие им разделяющие кривые уже построены на рис.5.11. Учитывая (5.2), (5.4), (5.5), получаем уравнения остальных разделяющих кривых на плоскости $\mathbb{R}^{2}(g, h)$ :
\[
\begin{array}{l}
h=g^{2}, \\
h=\frac{3 g^{\frac{2}{3}}}{2}, \quad|g| \leqslant\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{3}{4}}, \\
h=g^{2}+\frac{1}{2 g^{2}} .
\end{array}
\]
Объединив кривые (5.6) с кривыми, изображенными на рис. 5.11, получаем полный набор разделяющих кривых для случая Ковалевской.
Отметим, что метод вычислений, примененный в [219], не дает ответа на вопрос: является ли дополнительный интеграл случая Ковалевской боттовским. Это можно установить, вычислив индексы критических окружностей для функции $\left.K\right|_{Q_{h}}$, например, используя лемму 5.1. Следующая теорема подводит итог циклу исследований, выполненных А. А. Ошемковым и А.В.Болсиновым.
Теорема 5.5 (А. А. Ошемков, А. В. Болсинов). Для системы с гамильтонианом (1.14), – то есть для случая Ковалевской, – на рис. 5.32 изображены разделяющие кривые на плоскости $\mathbb{R}^{2}(g, h)$. Они разбивают плоскость на 10 областей разного типа. В каждой области мы указываем пару $\left(Q, \mathcal{K}^{*}\right)$, то есть изоэнергетическое 3 -многообразие $Q$ и соответствующую ему меченую молекулу $\mathcal{K}^{*}$. Получается следующий полный список, состоящий из 10 пар:
\[
\left(S^{3}, \mathcal{K}_{1}^{*}\right),\left(S^{3}, \mathcal{K}_{2}^{*}\right),\left(S^{3}, \mathcal{K}_{3}^{*}\right),\left(S^{3}, \mathcal{K}_{4}^{*}\right),\left(S^{1} \times S^{2}, \mathcal{K}_{5}^{*}\right),\left(S^{1} \times S^{2}, \mathcal{K}_{6}^{*}\right),\left(K^{3}, \mathcal{K}_{7}^{*}\right),
\]
$\left(\mathbb{R} P^{3}, \mathcal{K}_{8}^{*}\right),\left(\mathbb{R} P^{3}, \mathcal{K}_{9}^{*}\right),\left(\mathbb{R} P^{3}, \mathcal{K}_{10}^{*}\right)$.
Рис. 5.32
Меченые молекулы $\mathcal{K}_{i}^{*}$ перечислены в таблице 5.2. Номера $і$ отвечают нумерации в таблице 5.2. Для всех точек $(g, h)$, не лежащих на разделяющих кривых, дополнительный интеграл Ковалевской является боттовским на 3-поверхности $Q=\left\{f_{1}=1, f_{2}=g, H=h\right\}$. Здесь через $K^{3}$ обозначена связная сумма $\left(S^{1} \times S^{2}\right) \#\left(S^{1} \times S^{2}\right)$. Таким образом, получена полная классификация интегрируемых систем Ковалевской с точностью до лиувиллевой эквивалентности.
ЗАмЕчАниЕ 1. На рис. 5.32, как и на некоторых других, в целях упрощения обозначений вместо пары $\left(Q, \mathcal{K}_{i}^{*}\right.$ ) мы пишем просто $(Q-i)$.
Рис. 5.33
На рис. 5.33 показаны бифуркационные диаграммы систем Ковалевской вместе с горизонтальными пунктирными отрезками, каждый из которых отвечает некоторому уровню энергии $H$. Разные такие отрезки отвечают разным уровням энергии в том смысле, что топологические инварианты $\mathcal{K}^{*}$ этих уровней различны. Подчеркнем, что имеется естественное соответствие между интервалами энергий $H$, показанными на рис.5.33, и десятью разными зонами, показанными на рис. 5.32. Оно выглядит так. Латинские буквы с цифрой указывают уровни энергии на рис. 5.33, а соответствующие им цифры указывают номера зон на рис. 5.32 и в таблице 5.2.
\[
\begin{array}{c}
a 1 \rightarrow 1, a 2 \rightarrow 3, a 3 \rightarrow 8, \\
b 1 \rightarrow 1, b 2 \rightarrow 2, b 3 \rightarrow 3, b 4 \rightarrow 8, b 5 \rightarrow 9, \\
c 1 \rightarrow 1, c 2 \rightarrow 2, c 3 \rightarrow 4, c 4 \rightarrow 10, c 5 \rightarrow 9, \\
d 1 \rightarrow 1, d 2 \rightarrow 2, d 3 \rightarrow 7, d 4 \rightarrow 6, d 5 \rightarrow 4, d 6 \rightarrow 10, d 7 \rightarrow 9, \\
e 1 \rightarrow 1, e 2 \rightarrow 5, e 3 \rightarrow 6, e 4 \rightarrow 10, e 5 \rightarrow 9 .
\end{array}
\]
Таким образом, для каждой бифуркационной диаграммы легко проследить, каким образом меняется молекула при увеличении уровня энергии.
Теперь мы можем дать полный список всех особенностей отображения момента $\mathcal{F}=(H, K): M_{1, g}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$, встречающихся в случае Ковалевской. Во-первых, в случае Ковалевской присутствуют только следующие 4 атома, задающие перестройки общего положения. Это – $A, A^{*}, B, C_{2}$. Эти особенности, т. е. перестройки, соответствуют гладким, регулярным участкам, дугам бифуркационной диаграммы. Во-вторых, у бифуркационной диаграммы есть еще и особые точки, т.е. точки возврата, точки касания, точки пересечения и т.п. Оказывается, типы всех таких особенностей в случае Ковалевской тоже можно перечислить. Они указаны ниже.
На рис. 5.33 указаны особые точки бифуркационной диаграммы $y_{1}, y_{2}, \ldots$, $y_{13}$. Особые точки диаграммы, отмеченные одинаковыми буквами, соответствуют особенностям одного и того же топологического типа на 4 -многообразии $M_{1, g}^{4}$. Более подробная информация указана ниже в теореме 5.6. Здесь мы будем считать, что постоянная площадей $g$ отлична от нескольких особых значений, а именно, равных $1,\left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{3}{4}}, 2^{\frac{1}{2}}$. Дело в том, что при этих значениях $g$ происходит перестройка бифуркационной диаграммы.
Теорема 5.6 (См. [249]).
а) Особые точки бифуркационной диаграммы случая Ковалевской $y_{1}, y_{3}, y_{7}$, $y_{10}, y_{11}, y_{12}$ соответствуют невырожденным особенностям отображения момента $\mathcal{F}=(H, K): M_{1, g}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$. Более точно, точки $y_{1}$ и $y_{10}$ соответствуют особенностям типа центр-центр, точки у у $_{11}$ и $y_{12}$ соответствуют особенностям типа центр-седло, а точки у $_{3}$ и $y_{7}$ соответствуют особенностям типа седло-седло. Особенностей типа фокус-фокус в случае Ковалевской нет.
б) Точки $y_{2}, y_{4}, y_{5}, y_{6}, y_{8}, y_{9}, y_{13}$ соответствуют вырожденным одномерным орбитам действия группы $\mathbb{R}^{2}$, порожденного гамильтонианом $H$ и интегралом $К$ на $M_{1, g}^{4}$.
в) Круговые молекулы указанных выше особых точек случая Ковалевской перечислены в таблице 5.3. Легко видеть, что в этом списке имеется ровно восемь различных меченых молекул. В случае Ковалевской присутствуют особенности только восьми различных типов. Они и задаются перечисленными круговыми молекулами. Кроме них, есть еще четыре особенности общего положения. Это – атомы $A, A^{*}, B, C_{2}$, m.е. отвечающие перестройкам на регулярных дугах бифуркационной диаграммы.
