Здесь мы в явном виде выпишем гамильтонианы и интегралы некоторых известных интегрируемых систем в эллиптических и сферо-конических координатах. Это полезно для различного рода конкретных вычислений, в частности, для явного интегрирования, поскольку переменные в этих координатах разделяются.

Напомним, что через $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ мы обозначаем эллиптические, а через $
u_{1},
u_{2},
u_{3}$ – сферо-конические координаты в $R^{3}$. Они связаны с обычными декартовыми координатами $x, y, z$ в $R^{3}$ формулами, приведенными в главе 4.

Мы рассмотрим здесь следующие системы: геодезические потоки на сфере, эллипсоиде, сфере Пуассона, систему Неймана, описывающую движение точки по сфере в квадратичном потенциале $U=a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}$, обобщенную задачу Якоби, описывающую движение точки по эллипсоиду в сферическом потенциале $U=x^{2}+y^{2}+z^{2}$, и, наконец, случай Клебша в динамике твердого тела в идеальной жидкости (при нулевой постоянной площадей). Ниже мы приводим список гамильтонианов и интегралов этих систем.

1) Геодезический поток на стандартной сфере:
\[
\begin{aligned}
H & =\frac{2}{
u_{2}-
u_{3}}\left(-P\left(
u_{2}\right) p_{2}^{2}+P\left(
u_{3}\right) p_{3}^{2}\right), \\
F & =\frac{2}{
u_{3}^{-1}-
u_{2}^{-1}}\left(\frac{P\left(
u_{2}\right) p_{2}^{2}}{
u_{2}}-\frac{P\left(
u_{3}\right) p_{2}^{3}}{
u_{3}}\right) .
\end{aligned}
\]
2) Геодезический поток на трехосном эллипсоиде (задача Якоби)
\[
\begin{array}{l}
H=\frac{2}{\lambda_{2}-\lambda_{3}}\left(\frac{P\left(\lambda_{2}\right) p_{2}^{2}}{\lambda_{2}}-\frac{P\left(\lambda_{3}\right) p_{3}^{2}}{\lambda_{3}}\right), \\
F=\frac{2}{\lambda_{3}^{-1}-\lambda_{2}^{-1}}\left(\frac{P\left(\lambda_{2}\right) p_{2}^{2}}{\lambda_{2}^{2}}-\frac{P\left(\lambda_{3}\right) p_{3}^{2}}{\lambda_{3}^{2}}\right) .
\end{array}
\]
3) Геодезический поток на сфере Пуассона (случай Эйлера).
\[
\begin{array}{l}
H=\frac{2}{
u_{3}^{-1}-
u_{2}^{-1}}\left(\frac{P\left(
u_{2}\right) p_{2}^{2}}{
u_{2}}-\frac{P\left(
u_{3}\right) p_{2}^{3}}{
u_{3}}\right), \\
F=\frac{2}{
u_{2}-
u_{3}}\left(-P\left(
u_{2}\right) p_{2}^{2}+P\left(
u_{3}\right) p_{3}^{2}\right) .
\end{array}
\]
4) Движение точки по сфере в квадратичном потенциале (задача Неймана).
\[
\begin{aligned}
H & =\frac{2}{
u_{2}-
u_{3}}\left(-P\left(
u_{2}\right) p_{2}^{2}+P\left(
u_{3}\right) p_{3}^{2}\right)+
u_{2}+
u_{3}, \\
{[-2 p t] F } & =\frac{2}{
u_{3}^{-1}-
u_{2}^{-1}}\left(\frac{P\left(
u_{2}\right) p_{2}^{2}}{
u_{2}}-\frac{P\left(
u_{3}\right) p_{2}^{3}}{
u_{3}}\right)-
u_{2}
u_{3} .
\end{aligned}
\]
5) Движение точки по эллипсоиду в сферическом потенциале (обобщенная задача Якоби).
\[
\begin{array}{l}
H=\frac{2}{\lambda_{2}-\lambda_{3}}\left(\frac{P\left(\lambda_{2}\right) p_{2}^{2}}{\lambda_{2}}-\frac{P\left(\lambda_{3}\right) p_{3}^{2}}{\lambda_{3}}\right)+\lambda_{2}+\lambda_{3}, \\
F=\frac{2}{\lambda_{3}^{-1}-\lambda_{2}^{-1}}\left(\frac{P\left(\lambda_{2}\right) p_{2}^{2}}{\lambda_{2}^{2}}-\frac{P\left(\lambda_{3}\right) p_{3}^{2}}{\lambda_{3}^{2}}\right)-\lambda_{2} \lambda_{3} .
\end{array}
\]
6) Случай Клебша (при нулевой постоянной площадей).
\[
\begin{aligned}
H & =\frac{2}{
u_{3}^{-1}-
u_{2}^{-1}}\left(\frac{P\left(
u_{2}\right) p_{2}^{2}}{
u_{2}}-\frac{P\left(
u_{3}\right) p_{2}^{3}}{
u_{3}}\right)-
u_{2}
u_{3}, \\
F & =\frac{2}{
u_{2}-
u_{3}}\left(-P\left(
u_{2}\right) p_{2}^{2}+P\left(
u_{3}\right) p_{3}^{2}\right)+
u_{2}+
u_{3} .
\end{aligned}
\]

Во всех этих формулах $P(\lambda)=(\lambda+a)(\lambda+b)(\lambda+c)$.

КоммЕНТАРй̆ 1. Имеет место интересный факт. Гамильтониан $H$ и интеграл $F$ геодезического потока сферы Пуассона (см. пункт 3) в действительности получаются перестановкой местами гамильтониана $H$ и интеграла $F$ геодезического потока стандартной сферы (см. пункт 1). Это обстонтельство можно усмотреть и без всяких формул, поскольку дополнительный интеграл случая Эйлера – это на самом деле скалярный квадрат кинетического момента, т.е. по существу евклидова метрика, ограниченная на сферу. В этом примере двойственными друг другу оказываются две системы без потенциала. Одна из них – система на сфере, другая – на сфере Пуассона.

КомМЕНТАРиЙ 2. Аналогичной двойственностью связаны также пункты 4 и 6 . Другими словами, переставив местами гамильтониан $H$ и интеграл $F$ задачи Неймана (движение точки по сфере в квадратичном потенциале), мы сразу получим гамильтониан и интеграл случая Клебша (движение твердого тела в жидкости). Здесь двойственность связывает две системы с потенциалом. Причем на тех же поверхностях, что и в двойственности (1)-(3). Первая система является натуральной системой на обычной сфере, а вторая – натуральной системой на сфере Пуассона. Некоторым объяснением обнаруженной двойственности может служить то, что интегрируемых систем с простыми потенциалами на самом деле сравнительно немного. И у задачи Клебша, и у задачи Неймана потенциалы являются квадратичными функциями. Квадратичных интегрируемых потенциалов немного, по существу он один. Это и приводит к появлению двойственных систем при перемене местами квадратичного гамильтониана $H$ и квадратичного интеграла $F$.

КоммЕНТАРиЙ 3. Напомним, что под случаем Клебша понимается система уравнений Кирхгофа, описывающая движение тяжелого твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости. Эта система естественным образом записывается как система уравнений на шестимерной алгебре Ли $e(3)$ группы $E(3)$ движений евклидова пространства. Однако, как мы видели выше, эту систему можно ограничить на специальное четырехмерное подмногообразие $M_{0}^{4}$, являющееся орбитой коприсоединенного действия группы $E(3)$, и задаваемое в $\mathbb{R}^{6}(r, s)$ двумя уравнениями:
\[
\begin{aligned}
r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2} & =1, \\
r_{1} s_{1}+r_{2} s_{2}+r_{3} s_{3} & =0 .
\end{aligned}
\]

В результате мы получим натуральную систему на сфере. Более точно – на сфере Пуассона. Именно об этой системе и идет речь в теореме (под названием случай Клебша).

КоммЕНТАРй 4. Многое из сказанного выше справедливо и в многомерном случае, для многомерных аналогов перечисленных интегрируемых систем.

КомментариЙ 5. Сравнивая пункты 2 и 6 , мы обнаруживаем, что, применив принцип Мопертюи к случаю Клебша (пункт 6), мы получаем геодезический поток на эллипсоиде (задачу Якоби, пункт 2). Сам по себе факт уже был известен, однако здесь он сразу следует из явных формул для гамильтонианов этих двух сравниваемых задач. В этом – некоторое преимущество явных формул, выписанных выше.

КоммЕНТАРий 6. Приведенный выше список квадратично интегрируемых гамильтонианов в некотором смысле является естественным. Чтобы пояснить эту мысль, рассмотрим следующую задачу: описать потенциалы $U$, которые дают квадратично интегрируемые натуральные системы на сфере, эллипсоиде и на сфере Пуассона. Этот вопрос обсуждался в целой серии работ, см., например, [273], [85], [398], [399], [401]. В частности, в работе 0. И. Богоявленского [398] такие потенциала были описаны в том числе и для $n$-мерного случая. Фактически в теореме 6.2 настоящей главы мы тоже получили ответ на него в случае квадратично интегрируемых систем на двумерной поверхности. А именно, если привести метрику к лиувиллеву виду (что всегда возможно в рассматриваемом случае), то искомые потенциалы в лиувиллевых координатах $u$ и $v$ выглядят так:
\[
U=\frac{Z(u)+W(v)}{f(u)+g(v)},
\]

где $f, g, Z, W$ – некоторые гладкие функции. В нашем случае потенциалы $U$ должны иметь вид:
\[
\begin{array}{r}
U_{\text {на сфере }}=\frac{Z\left(
u_{2}\right)-W\left(
u_{3}\right)}{
u_{2}-
u_{3}}, \\
U_{\text {на эллипсоиде }}=\frac{Z\left(\lambda_{2}\right)-W\left(\lambda_{3}\right)}{\lambda_{2}-\lambda_{3}}, \\
U_{\text {на сфере Пуассона }}=\frac{Z\left(
u_{2}\right)-W\left(
u_{3}\right)}{\frac{1}{
u_{2}}-\frac{1}{
u_{3}}} .
\end{array}
\]

В этих формулах нужно следить лишь за тем, чтобы функции (потенциалы) $U$ были гладкими функциями на базе. Это условие – нетривиальное, поскольку эллиптические и сферо-конические координаты имеют, как известно, особенности. Например, если функции $Z$ и $W$ являются полиномами, то они должны быть связаны соотношением:
\[
Z=-W
\]

Можно посмотреть, что получается для случая простых полиномов. В первых двух случаях теоремы первые нетривиальные потенциалы $U$ получаются, когда $Z$ и $W$ – полиномы второй степени. Тогда соответствующие потенциалы в пунктах 1 и 2 теоремы примут вид:
\[
\begin{aligned}
U_{\text {на сфере }} & =\frac{
u_{2}^{2}-
u_{3}^{2}}{
u_{2}-
u_{3}}=
u_{2}+
u_{3}, \\
U_{\text {на эллипсоиде }} & =\frac{\lambda_{2}^{2}-\lambda_{3}^{2}}{\lambda_{2}-\lambda_{3}}=\lambda_{2}+\lambda_{3} .
\end{aligned}
\]

В результате мы получаем задачу Неймана и обобщенную задачу Якоби, см. пункты 4 и 5.

Конечно, можно брать любой полином, не обязательно квадратичный. Тогда потенциал $U$ примет вид:
\[
U=\frac{Q\left(
u_{2}\right)-Q\left(
u_{3}\right)}{
u_{2}-
u_{3}} .
\]

Легко видеть, что потенциал $U$ в этом случае является симметрическим полиномом от $
u_{2}$ и $
u_{3}$. Поэтому потенциал $U$ может быть выражен как полином от $
u_{2}+
u_{3}$ и $
u_{2}
u_{3}$. Полученная таким образом функция $U$ будет гладкой на сфере, поскольку
\[
\begin{aligned}

u_{2}+
u_{3} & =a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}-(a+b+c), \\

u_{2}
u_{3} & =a b c\left(\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}+\frac{z^{2}}{c}\right) .
\end{aligned}
\]

Некоторым недостатком таких потенциалов (то есть отвечающих неквадратичным полиномам) является то, что в декартовых координатах они становятся неоднородными полиномами. Их степень будет по меньшей мере четыре. Поэтому задача Неймана в этой конструкции является простейшим случаем, самым первым в этой цепочке потенциалов.

Точно так же дело обстоит и для эллипсоида. Нужно просто заменить в этих рассуждениях сферо-конические координаты на эллиптические.

В качестве функций $Z$ и $W$ не обязательно брать именно полиномы. Можно, например (для случая эллипсоида), положить $Z=\lambda^{-1}, W=-\lambda^{-1}$. Тогда получим:
\[
U=\frac{\lambda_{2}^{-1}-\lambda_{3}^{-1}}{\lambda_{2}-\lambda_{3}}=-\frac{1}{\lambda_{2} \lambda_{3}},
\]

что в декартовых координатах может быть записано в виде
\[
U=\frac{1}{a b c\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)} .
\]

Еще одно естественное семейство потенциалов можно получить, полагая $Z=\frac{\text { const }}{a+\lambda}, W=-\frac{\text { const }}{a+\lambda}$. Подставляя в выражение для потенциала, получим:
\[
U=\text { const } \frac{\frac{1}{\lambda_{2}+a}-\frac{1}{\lambda_{3}+a}}{\lambda_{2}-\lambda_{3}}=-\frac{\text { const }}{\left(\lambda_{2}+a\right)\left(\lambda_{3}+a\right)}=-\frac{a \text { const }}{(a-b)(a-c)} \cdot \frac{1}{x^{2}} .
\]

Поскольку здесь const – произвольная константа, то, сделав переобозначения, мы получаем интегрируемый потенциал вида $U=\frac{\alpha}{x^{2}}$. Ясно, что аналогичным образом можно поступить и для двух других координат $x$ и $y$. В результате мы получим семейство интегрируемых потенциалов на эллипсоиде, указанное В. В. Козловым в [85], вида
\[
U=\frac{\alpha}{x^{2}}+\frac{\beta}{y^{2}}+\frac{\gamma}{z^{2}} .
\]

Следует, впрочем, отметить, что этот потенциал имеет особенность на эллипсоиде.

Чтобы получить случай сферы, достаточно заменить во всех рассуждениях $\lambda$ на $
u$. Получится, например, интегрируемый потенциал вида:
\[
U=\frac{
u_{2}^{-1}-
u_{3}^{-1}}{
u_{2}-
u_{3}}=\frac{1}{-
u_{2}
u_{3}},
\]

или в декартовых координатах
\[
U=\frac{1}{a b c\left(\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}+\frac{z^{2}}{c}\right)} .
\]

На сфере Пуассона интегрируемый потенциал $U$ имеет следующий общий вид:
\[
U_{\text {на сфере Пуассона }}=\frac{Z\left(
u_{2}\right)+W\left(
u_{3}\right)}{\frac{1}{
u_{2}}-\frac{1}{
u_{3}}} .
\]

Самый простой случай получается, когда $Z(
u)=-W(
u)=
u$. Это приводит нас к потенциалу
\[
U=\frac{
u_{2}-
u_{3}}{\frac{1}{
u_{2}}-\frac{1}{
u_{3}}}=-
u_{2}
u_{3} .
\]

А это и есть в точности случай Клебша. Как и выше, в качестве функций $Z$ и $W$ можно брать не только полиномы, но и более сложные функции. Нужно только (повторим) следить за гладкостью потенциала $U$.
КоммЕНтАРиЙ 7 . Вводя в рассмотрение потенциалы типа $\lambda_{2}^{-1} \lambda_{3}^{-1}$, мы обнаруживаем некоторые новые интересные изоморфизмы типа двойственности. В самом деле, добавив к гамильтониану Якоби $H$ потенциал $-\frac{1}{\lambda_{2} \lambda_{3}}$, получим новый гамильтониан:
\[
H=\frac{2}{\lambda_{2}-\lambda_{3}}\left(\frac{P\left(\lambda_{2}\right) p_{2}^{2}}{\lambda_{2}}-\frac{P\left(\lambda_{3}\right) p_{3}^{2}}{\lambda_{3}}\right)-\frac{1}{\lambda_{2} \lambda_{3}} .
\]

Отметим, что получившаяся система описывает движение точки по эллипсоиду в поле сил с потенциалом
\[
U=\frac{1}{a b c\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)} .
\]

Применяя теперь принцип Мопертюи, легко убедиться, что отсюда получается случай Эйлера (см. пункт 3).

Следствие. Случай Эйлера траекторно эквивалентен натуральной системе (на уровне энергии $H=0$ ), описывающей движение точки по эллипсоиду
\[
\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}+\frac{z^{2}}{c}=1
\]

с потенциалом
\[
U=\frac{-1}{a b c\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)} .
\]