В этом параграфе мы рассмотрим локальное строение лиувиллева слоения в окрестности точки, лежащей на невырожденной орбите пуассонова действия.

Пусть $x_{0} \in M^{2 n}$, и в этой точке $\operatorname{rank}\left\{d G_{i}\right\}_{i=1}^{n}=k<n$. Как и выше, $G_{i}$ обозначают гамильтонианы, порождающие пуассоново действие. Без ограничения общности можно считать, что $G_{i}\left(x_{0}\right)=0$ при $i=1, \ldots, k$, и $\operatorname{rank}\left\{d G_{i}\right\}_{i=1}^{k}=k$. Обозначим $Q=\left\{x \in M^{2 n} \mid G_{i}(x)=0\right.$ при $\left.i=1, \ldots, k\right\}$. В силу теоремы трансверсальности, в $Q$ существует поверхность П размерности $2(n-k)$, проходящая через точку $x_{0}$ и трансверсальная векторным полям $\operatorname{sgrad} G_{i}$ при $i=1, \ldots, k$. Обозначим $\widetilde{\omega}=\left.\omega\right|_{\Pi}$.
Лемма 3.3. Форма $\widetilde{\omega}$ являтся симплектической.
Доказательство.
Замкнутость $\widetilde{\omega}$ очевидна. Покажем, что $\widetilde{\omega}$ невырождена. Пусть $\xi \in \operatorname{Ker} \tilde{\omega}$. Тогда $\left.\xi \in \operatorname{Ker} \omega\right|_{Q}$. Но в каждой точке $\left.\Pi \operatorname{Ker} \omega\right|_{Q}$ порождается векторами $\operatorname{sgrad} G_{i}$ при $i=1, \ldots, k$, которые трансверсальны П. Лемма доказана.

Векторные поля $\operatorname{sgrad} G_{s}$ при $s>k$, вообще говоря, не касаются $\Pi$, но можно определить оператор проекции
\[
\pi: T_{\Pi} Q \rightarrow T \Pi: \xi \mapsto \xi+\sum_{i=1}^{k} \alpha_{i} \operatorname{sgrad} G_{i},
\]

где $\alpha_{i}$ зависит от $\xi$ и определяется однозначно из условия $\pi(\xi) \in T$.
Обозначим $\widehat{\operatorname{sgrad}} G_{s}$ – гамильтоново векторное поле на $\Pi$, соответствующее гамильтониану $G_{s}$ и симплектической форме $\tilde{\omega}$.
Лемма 3.4. В каждой точке П $\widehat{\operatorname{sgrad}} G_{s}=\pi\left(\operatorname{sgrad} G_{s}\right)$.
Доказательство.
Рассмотрим для $\xi \in T \Pi$
\[
\begin{aligned}
\widetilde{\omega}\left(\pi\left(\operatorname{sgrad} G_{s}\right), \xi\right) & =\omega\left(\operatorname{sgrad} G_{s}+\sum_{i=1}^{k} \alpha_{i} \operatorname{sgrad} G_{i}, \xi\right)= \\
& =\xi\left(G_{s}\right)+\sum_{i=1}^{k} \xi\left(G_{i}\right)=\xi\left(G_{s}\right) .
\end{aligned}
\]

Лемма доказана.
Определение невырожденной орбиты естественным образом вытекает из предыдущей леммы.

Определение 3.4. Орбита пуассонова действия, порожденного гамильтонианами $G_{i}$, проходящая через точку $x_{0}$, называется невырожденной, если для пуассоново действия на $\Pi$, порожденного гамильтонианами $G_{s}, s>k$, точка $x_{0}-$ невырожденная.
Рассмотрим теперь многообразие
\[
Q_{g_{1}, \ldots, g_{k}}=\left\{x \in M^{2 n} \mid G_{i}=g_{i}\right\}
\]

при значениях $g_{i}$, близких к 0 . Аналогичным образом можно определить в $Q_{g_{1}, \ldots, g_{k}}$ трансверсальную поверхность $\Pi_{g_{1}, \ldots, g_{k}}$, такую, что $\Pi_{0, \ldots, 0}=\Pi$. Каждая поверхность $\Pi_{g_{1}, \ldots, g_{k}}$ является симплектическим подмногообразием, и при малых значениях $g_{i}$ функции $G_{s}, s>k$ порождают пуассоново действие на этой поверхности с невырожденной точкой. Следовательно, невырожденная орбита размерности $k$ в $M^{2 n}$ включается в гладкое $k$-параметрическое семейство невырожденных орбит.
Теорема 3.7. При условии аналитичности симплектического многообразия и пуассонова действия на каждой поверхности $\Pi_{g_{1}, \ldots, g_{k}}$ будет существовать аналитические канонические коорднаты $x_{i}, y_{i}$, такие, что
1) На каждой поверхности $\Pi_{g_{1}, \ldots, g_{k}}$, ограничение функции $G_{s}$ при $s>k$ является функией от $F_{j}$, указанных в теореме Вильямсона. То есть пуассоново действие на $\Pi_{g_{1}, \ldots, g_{k}}$ приведено к нормальной форме;
2) Симплектоморфизм, осуществляющий замену координат, аналитически зависит от параметров $g_{1}, \ldots, g_{k}$.

Доказательство.
Существование аналитической замены при фиксированных параметрах следует из теоремы 3.2. Аналитичность зависимости от параметров следует из аналитической зависимости каждого шага нормализующей последовательности от гамильтонианов и доказательства сходимости.

Пусть $\mathcal{L}$ – слоение на многообразии $U$. Определим слоение $\mathbb{R}^{k} \times \mathcal{L}$ как слоение на $\mathbb{R}^{k} \times U$, где слоями являются множества вида $\mathbb{R}^{k} \times L$ для $L \in \mathcal{L}$. Определим также слоение $\mathbb{R}^{k}+\mathcal{L}$ как слоение на $\mathbb{R}^{k} \times U$, где слоями являются множества вида $(r, L)$ для $L \in \mathcal{L}$ и $r \in \mathbb{R}$. Ясно, что $\operatorname{dim}\left(\mathbf{R}^{k}+\mathcal{L}\right)=\operatorname{dim} \mathcal{L}$ и $\operatorname{codim}\left(\mathbb{R}^{k} \times \mathcal{L}\right)=\operatorname{codim} \mathcal{L}$.

Пусть $\mathcal{L}$ – слоение лиувилля пуассонова действия в окрестности $U$ точки $x_{0}$ на поверхности П.
Следствие. Пусть $x_{0}$ – точка на невырожденной орбите пуассонова действия ранга $k$ на $M^{2 n}$. Тогда в малой окрестности точки $x_{0}$ на многообразии $Q$ слоение лиувилля диффеоморфно слоению $\left(\mathbb{R}^{k} \times \mathcal{L}, \mathbb{R}^{k} \times U\right)$. Слоение в окрестности точки $x_{0}$ на симплектическом многообразии $\mathrm{M}^{2 n}$ слоение лиувилля диффеоморфно слоению $\left(\mathbb{R}^{k}+\left(\mathbb{R}^{k} \times \mathcal{L}\right), \mathbb{R}^{k}+\left(\mathbb{R}^{k} \times U\right)\right)$.