Теорема 2.5. Пусть $O$ – боттовская окружность системы $v=\operatorname{sgrad} H$ относительно интеграла $F$. Тогда при малом возмущении в сильной метрике окружность мало деформируется, оставаясь боттовской.
Доказательство.
Пусть $\Pi-3$-трансверсаль к $O, \Pi_{\alpha}=\Pi \cap Q_{\alpha}, f_{\alpha}=\left.F\right|_{\Pi_{\alpha}}$. При малом шевелении $H$ и $F, f_{\alpha}$ тоже мало пошевелится, но при условии, что возмущение мало, $f_{\alpha}$ останется морсовской. Следовательно, боттовская окружность сохранится. Теорема доказана.

Заметим, что в этом случае вовсе не обязательно условие сильной боттовости, как это было нужно в параграфе 2.

Теорема перестает быть верной для боттовских торов. Доказательство теоремы 2.1 основывалась на том, что под действием возмущения критический тор распадался в «ожерелье» из критических окружностей. Аналогичным способом можно доказать следующее утверждение:
Теорема 2.6. Пусть $H$ – гладкий гамильтониан, допускающий боттовский интеграл для некоторого регулярного уровня $h$. Тогда можно сколь угодно мало возмутить $H$ таким образом, что полученная система будет иметь боттовский интеграл на том же уровне $h$, и на нем не будет критических торов.
Следствие. Пусть $M^{4}$ – компактно, система $v=\operatorname{sgrad} H$ на $Q_{h}$ имеет только критические окружности, и на кажном критическом уровне содержится не более одной критической окружности. Тогда топологическая структура слоения Лиувилля (описываемая инвариантом Фоменко-Цишанга) устойчива при малых возмущениях системы в сильной метрике.