Итак, согласно принципу Мопертюи, мы сопоставили исходной системе $v$ на $e(3{)}^{\ast }$ новую систему $\tilde{v}$ на кокасательном расслоении $T^{\ast }{S}^2$. Ее гамильтониан $\tilde{H}$ является положительно определенной квадратичной формой от переменных $s$ и поэтому описывает некоторый геодезический поток некоторой римановой метрики на сфере. Укажем явные формулы, связывающие эту метрику с гамильтонианом $\tilde{H}$.

Для этого нам нужно будет указать явные формулы для симплектоморфизма между кокасательным расслоением к сфере со стандартной симплектической структурой и орбитой $M_0^4\subset {\mathbb{R}}^6(r,s)$.

Реализуем кокасательное расслоение к сфере как симплектическое подмногообразие $T^{\ast }{S}^2$ в $T^{\ast }{\mathbb{R}}^3$. Пусть $u_1,u_2,u_3$ — евклидовы координаты в ${\mathbb{R}}^3$, а $p_1,p_2,p_3$ — соответствующие им импульсы. Отождествляя касательные векторы с кокасательными при помощи евклидова скалярного произведения, мы можем задать кокасательное расслоение к сфере $T^{\ast }{S}^2$ двумя соотношениями:
$$\begin{array}{rl}{u}_1^2+u_2^2+u_3^2& =1,\\ u_1{p}_1+u_2{p}_2+u_3{p}_3& =0.\end{array}$$

Рассмотрим теперь отображение $\mu :T^{\ast }{S}^2\to e(3{)}^{\ast }$, заданное следующими явными формулами:
$$r=u,s=[u,p],$$

где через [, ] обозначено векторное произведение векторов в евклидовом пространстве.
Лемма 6.2.
а) При указанном вложении $\mu$ кокасательного расслоения $T^{\ast }{S}^2$ в е (3)* его образ совпадает с орбитой $M_0^4$.
б) Отображение $\mu :T^{\ast }{S}^2\to \mu \left(T^{\ast }{S}^2\right)=M_0^4$ является симплектоморфизмом.

Доказательство.
a) Ясно, что уравнение $u_1^2+u_2^2+u_3^2=1$ переходит при указанном вложении в уравнение $r_1^2+r_2^2+r_3^2=1$. Далее, вектор $v$, ортогональный радиус-вектору $u$, переходит в векторное произведение векторов $u$ и $v$. Ясно, что это произведение $[u,v]$ также ортогонально радиус-вектору $u$. Поэтому вектор $s=[u,v]$ удовлетворяет линейному уравнению
$$r_1{s}_1+r_2{s}_2+r_3{s}_3=0,$$

являющемуся образом соотношения ортогональности.

б) Теперь осталось проверить, что стандартная скобка Пуассона в ${\mathbb{R}}^6(u,v)$
$$\{u_i,v_j\}={\delta }_{ij},\{u_i,u_j\}=0,\{v_i,v_j\}=0$$

переходит в стандартную скобку Пуассона-Ли на коалгебре ${\mathbb{R}}^6(r,s)\simeq e(3{)}^{\ast }$ :
$$\begin{array}{rl}\{r_i,r_j\}& =0,\\ \{s_1,s_2\}=s_3,\{s_1,s_3\}& =-s_2,\{s_2,s_3\}=s_1,\\ \{s_1,r_2\}=r_3,\{s_1,r_3\}& =-r_2,\{s_2,r_3\}=r_1,\\ \{r_1,s_2\}=-r_3,\{r_1,s_3\}& =r_2,\{r_2,s_3\}=-r_1.\end{array}$$

Это утверждение проверяется прямым вычислением. Тем самым, доказана пуассоновость отображения $T^{\ast }{\mathbb{R}}^3(u,v)\to e(3{)}^{\ast }(r,s)$. Это отображение переводит ${\mathbb{R}}^6(u,v)=T^{\ast }{\mathbb{R}}^3(u,v)$ в 5-мерную поверхность, задаваемую в ${\mathbb{R}}^6(r,s)=e(3{)}^{\ast }$ уравнением $r_1{s}_1+r_2{s}_2+r_3{s}_3=0$. Отображение, конечно, нелинейное. Его ядром является нормальное расслоение к сфере. Уравнение $r_1{s}_1+r_2{s}_2+r_3{s}_3=0$ является частным случаем уравнения $r_1{s}_1+r_2{s}_2+r_3{s}_3=g$, где $g$ — постоянная площадей. При этом мы учитываем, что вложение
$$T^{\ast }{S}^2\to T{S}^2\to T{\mathbb{R}}^3\to T^{\ast }{\mathbb{R}}^3$$

является симплектическим. Напомним, что отождествляя касательное и кокасательные расслоения, мы пользуемся евклидовой метрикой.
Лемма доказана.
С помощью отображения $\mu$ можно выписать явные формулы для метрики $g_{ij}$ соответствующей однородному квадратичному гамильтониану вида $\tilde{H}=$ $=⟨B(s),s⟩$, а также обратные формулы, выражающие $B$ через $g_{ij}$.
Теорема 6.4. Гамильтонова система на орбите $M_0^4$ с аамильтонианом $\tilde{H}=$ $=⟨B(s),s⟩=\sum B_{ij}(r)s_i{s}_j$ описывает геодезический поток метрики $d{s}^2=$ $=\sum _{\overline{ij}}{\overline{B}}_i(u)d{u}_{i}d{u}_j$, ограниченной на стандартно вложенную сферу $S^2=\{u_1^2+u_2^2+$ $+u_3^2=1\}$, гдe
$${\overline{B}}_{ij}=B_{ij}{\lambda }^{-1},$$

а $\lambda$ является определителем формы $B(u)$, ограниченной на двумерную плоскость, ортогональную радиус-вектору и, при этом определитель вычисляется в ортонормированном базисе.

Итак, мы описали некоторое соответствие $B\to \overline{B}$ между квадратичными формами в трехмерном пространстве. Легко видеть, что это соответствие является инволюцией. В частности, имеет место следующее утверждение.
Теорема 6.5. В обозначениях предыдущей теоремы форма $B$, задающая гамильтониан $\tilde{H}$, восстанавливается по метрике $\overline{B}$ аналогичным образом, а именно:
$$B=\bar{\overline{B}}.$$

Перейдем к доказательству теорем 6.4 и 6.5.

Рассмотрим гамильтониан $K(u,v)$ геодезического потока метрики $g_{ij}$ на сфере $S^2$. Напомним, что $(u,v)$ принадлежит к кокасательному расслоению к сфере. По определению гамильтониана $K$, его значение $K(u,v)$ на паре $(u,v)$ есть скалярный квадрат вектора $v$ в смысле метрики $g^{-1}$ в точке $u$ на сфере. Здесь мы рассматриваем метрику $g^{-1}$ как метрику на векторах, опуская индексы при помощи евклидова скалярного произведения. С другой стороны, из явных формул вложения кокасательного расслоения сферы на орбиту в коалгебре мы видим, что $K(u,v)$ совпадает со скалярным квадратом вектора $[u,v]$ в смысле формы $B$. Таким образом, учитывая, что действие векторного произведения в касательной плоскости к сфере сводится к повороту вектора на $\frac{\pi }{2}$, мы получаем следующее утверждение.
Лемма 6.3. Пусть дана форма $g$. Тогда ограничение формы $B$ на касательную плоскость к стандартной 2-сфере устроено следующим образом. Для того, чтобы найти скалярное произведение касательных векторов а и ь относительно формы $B$, мы должны повернуть каждый из векторов на $\frac{\pi }{2}$ и затем взять их скалярное произведение относительно формы $g^{-1}$.

Опираясь на эту лемму, мы можем теперь сравнить матрицы двух форм $B$ и $g$ на касательной плоскости к 2 -сфере. Известно, что в касательной плоскости всегда существует ортонормированный базис, относительно которого форма $g$ запишется при помощи диагональной матрицы
$$g=\left(\begin{array}{cc}c& 0\\ 0& d\end{array}\right).$$

Находим матрицу формы $B$ в этом же базисе. Получаем:
$$B=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{d}& 0\\ 0& \frac{1}{c}\end{array}\right),$$

которая, очевидно, переписывается так:
$$B=\frac{1}{cd}\left(\begin{array}{ll}c& 0\\ 0& d\end{array}\right)=\frac{g}{\det g}.$$

Теорема 6.5 доказана.
Надо отметить, что появление $\det (g)$ фактически объясняется тем, что мы должны отождествлять векторы с ковекторами, как и наоборот.

Из полученной формулы очевидно, что операция черта является инволюцией в касательном пространстве к единичной стандартной сфере. Отметим, что в других точках это — не инволюция. Из инволютивности операции черта и следует теорема 6.4.

Появление инволюции указывает на наличие интересной двойственности. Операция черта позволяет изготавливать из метрики на сфере, стандартно вложенной в ${\mathbb{R}}^3$, но наследующей из ${\mathbb{R}}^3$ некоторую метрику $g$ общего вида, некоторую другую метрику. Алгоритм такого изготовления фактически описан в лемме 6.3 .

ЗАмЕчАниЕ. Обратно, рассмотрим на стандартной сфере, вложенной в ${\mathbb{R}}^3$, некоторую метрику, индуцированную диагональной метрикой из объемлющего пространства ${\mathbb{R}}^3$. Пусть эта объемлющая метрика имеет вид:
$$d{s}^2=I_1(u)d{u}_1^2+I_2(u)d{u}_2^2+I_3(u)d{u}_3^2.$$

Тогда при помощи отображения ${\mu }^{-1}$ из нее изготовляется следующий гамильтониан $H$ :
$$H={\left(I_1{I}_2{I}_3\right)}^{-1}\frac{I_1(r)s_1^2+I_2(r)s_2^2+I_3(r)s_3^2}{I_1^{-1}(r)r_1^2+I_2^{-1}(r)r_2^2+I_3^{-1}(r)r_3^2}.$$

Отметим, что в смысле обнаруженной выше двойственности, метрика эллипсоида двойственна метрике на сфере Пуассона.

Сформулируем здесь интересную задачу: обобщить изложенную выше конструкцию на случай кокасательных расслоений к сфере любой размерности.