Итак, согласно принципу Мопертюи, мы сопоставили исходной системе $v$ на $e(3)^{*}$ новую систему $\widetilde{v}$ на кокасательном расслоении $T^{*} S^{2}$. Ее гамильтониан $\widetilde{H}$ является положительно определенной квадратичной формой от переменных $s$ и поэтому описывает некоторый геодезический поток некоторой римановой метрики на сфере. Укажем явные формулы, связывающие эту метрику с гамильтонианом $\tilde{H}$.

Для этого нам нужно будет указать явные формулы для симплектоморфизма между кокасательным расслоением к сфере со стандартной симплектической структурой и орбитой $M_{0}^{4} \subset \mathbb{R}^{6}(r, s)$.

Реализуем кокасательное расслоение к сфере как симплектическое подмногообразие $T^{*} S^{2}$ в $T^{*} \mathbb{R}^{3}$. Пусть $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ — евклидовы координаты в $\mathbb{R}^{3}$, а $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ — соответствующие им импульсы. Отождествляя касательные векторы с кокасательными при помощи евклидова скалярного произведения, мы можем задать кокасательное расслоение к сфере $T^{*} S^{2}$ двумя соотношениями:
\[
\begin{aligned}
u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2} & =1, \\
u_{1} p_{1}+u_{2} p_{2}+u_{3} p_{3} & =0 .
\end{aligned}
\]

Рассмотрим теперь отображение $\mu: T^{*} S^{2} \rightarrow e(3)^{*}$, заданное следующими явными формулами:
\[
r=u, \quad s=[u, p],
\]

где через [, ] обозначено векторное произведение векторов в евклидовом пространстве.
Лемма 6.2.
а) При указанном вложении $\mu$ кокасательного расслоения $T^{*} S^{2}$ в е (3)* его образ совпадает с орбитой $M_{0}^{4}$.
б) Отображение $\mu: T^{*} S^{2} \rightarrow \mu\left(T^{*} S^{2}\right)=M_{0}^{4}$ является симплектоморфизмом.

Доказательство.
a) Ясно, что уравнение $u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}=1$ переходит при указанном вложении в уравнение $r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}=1$. Далее, вектор $v$, ортогональный радиус-вектору $u$, переходит в векторное произведение векторов $u$ и $v$. Ясно, что это произведение $[u, v]$ также ортогонально радиус-вектору $u$. Поэтому вектор $s=[u, v]$ удовлетворяет линейному уравнению
\[
r_{1} s_{1}+r_{2} s_{2}+r_{3} s_{3}=0,
\]

являющемуся образом соотношения ортогональности.

б) Теперь осталось проверить, что стандартная скобка Пуассона в $\mathbb{R}^{6}(u, v)$
\[
\left\{u_{i}, v_{j}\right\}=\delta_{i j},\left\{u_{i}, u_{j}\right\}=0,\left\{v_{i}, v_{j}\right\}=0
\]

переходит в стандартную скобку Пуассона-Ли на коалгебре $\mathbb{R}^{6}(r, s) \simeq e(3)^{*}$ :
\[
\begin{aligned}
\left\{r_{i}, r_{j}\right\} & =0, \\
\left\{s_{1}, s_{2}\right\}=s_{3},\left\{s_{1}, s_{3}\right\} & =-s_{2},\left\{s_{2}, s_{3}\right\}=s_{1}, \\
\left\{s_{1}, r_{2}\right\}=r_{3},\left\{s_{1}, r_{3}\right\} & =-r_{2},\left\{s_{2}, r_{3}\right\}=r_{1}, \\
\left\{r_{1}, s_{2}\right\}=-r_{3},\left\{r_{1}, s_{3}\right\} & =r_{2},\left\{r_{2}, s_{3}\right\}=-r_{1} .
\end{aligned}
\]

Это утверждение проверяется прямым вычислением. Тем самым, доказана пуассоновость отображения $T^{*} \mathbb{R}^{3}(u, v) \rightarrow e(3)^{*}(r, s)$. Это отображение переводит $\mathbb{R}^{6}(u, v)=T^{*} \mathbb{R}^{3}(u, v)$ в 5-мерную поверхность, задаваемую в $\mathbb{R}^{6}(r, s)=e(3)^{*}$ уравнением $r_{1} s_{1}+r_{2} s_{2}+r_{3} s_{3}=0$. Отображение, конечно, нелинейное. Его ядром является нормальное расслоение к сфере. Уравнение $r_{1} s_{1}+r_{2} s_{2}+r_{3} s_{3}=0$ является частным случаем уравнения $r_{1} s_{1}+r_{2} s_{2}+r_{3} s_{3}=g$, где $g$ — постоянная площадей. При этом мы учитываем, что вложение
\[
T^{*} S^{2} \rightarrow T S^{2} \rightarrow T \mathbb{R}^{3} \rightarrow T^{*} \mathbb{R}^{3}
\]

является симплектическим. Напомним, что отождествляя касательное и кокасательные расслоения, мы пользуемся евклидовой метрикой.
Лемма доказана.
С помощью отображения $\mu$ можно выписать явные формулы для метрики $g_{i j}$ соответствующей однородному квадратичному гамильтониану вида $\widetilde{H}=$ $=\langle B(s), s\rangle$, а также обратные формулы, выражающие $B$ через $g_{i j}$.
Теорема 6.4. Гамильтонова система на орбите $M_{0}^{4}$ с аамильтонианом $\tilde{H}=$ $=\langle B(s), s\rangle=\sum B_{i j}(r) s_{i} s_{j}$ описывает геодезический поток метрики $d s^{2}=$ $=\sum_{\overline{i j}} \bar{B}_{i}(u) d u_{i} d u_{j}$, ограниченной на стандартно вложенную сферу $S^{2}=\left\{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+\right.$ $\left.+u_{3}^{2}=1\right\}$, гдe
\[
\bar{B}_{i j}=B_{i j} \lambda^{-1},
\]

а $\lambda$ является определителем формы $B(u)$, ограниченной на двумерную плоскость, ортогональную радиус-вектору и, при этом определитель вычисляется в ортонормированном базисе.

Итак, мы описали некоторое соответствие $B \rightarrow \bar{B}$ между квадратичными формами в трехмерном пространстве. Легко видеть, что это соответствие является инволюцией. В частности, имеет место следующее утверждение.
Теорема 6.5. В обозначениях предыдущей теоремы форма $B$, задающая гамильтониан $\widetilde{H}$, восстанавливается по метрике $\bar{B}$ аналогичным образом, а именно:
\[
B=\overline{\bar{B}} .
\]

Перейдем к доказательству теорем 6.4 и 6.5.

Рассмотрим гамильтониан $K(u, v)$ геодезического потока метрики $g_{i j}$ на сфере $S^{2}$. Напомним, что $(u, v)$ принадлежит к кокасательному расслоению к сфере. По определению гамильтониана $K$, его значение $K(u, v)$ на паре $(u, v)$ есть скалярный квадрат вектора $v$ в смысле метрики $g^{-1}$ в точке $u$ на сфере. Здесь мы рассматриваем метрику $g^{-1}$ как метрику на векторах, опуская индексы при помощи евклидова скалярного произведения. С другой стороны, из явных формул вложения кокасательного расслоения сферы на орбиту в коалгебре мы видим, что $K(u, v)$ совпадает со скалярным квадратом вектора $[u, v]$ в смысле формы $B$. Таким образом, учитывая, что действие векторного произведения в касательной плоскости к сфере сводится к повороту вектора на $\frac{\pi}{2}$, мы получаем следующее утверждение.
Лемма 6.3. Пусть дана форма $g$. Тогда ограничение формы $B$ на касательную плоскость к стандартной 2-сфере устроено следующим образом. Для того, чтобы найти скалярное произведение касательных векторов а и ь относительно формы $B$, мы должны повернуть каждый из векторов на $\frac{\pi}{2}$ и затем взять их скалярное произведение относительно формы $g^{-1}$.

Опираясь на эту лемму, мы можем теперь сравнить матрицы двух форм $B$ и $g$ на касательной плоскости к 2 -сфере. Известно, что в касательной плоскости всегда существует ортонормированный базис, относительно которого форма $g$ запишется при помощи диагональной матрицы
\[
g=\left(\begin{array}{cc}
c & 0 \\
0 & d
\end{array}\right) .
\]

Находим матрицу формы $B$ в этом же базисе. Получаем:
\[
B=\left(\begin{array}{cc}
\frac{1}{d} & 0 \\
0 & \frac{1}{c}
\end{array}\right),
\]

которая, очевидно, переписывается так:
\[
B=\frac{1}{c d}\left(\begin{array}{ll}
c & 0 \\
0 & d
\end{array}\right)=\frac{g}{\operatorname{det} g} .
\]

Теорема 6.5 доказана.
Надо отметить, что появление $\operatorname{det}(g)$ фактически объясняется тем, что мы должны отождествлять векторы с ковекторами, как и наоборот.

Из полученной формулы очевидно, что операция черта является инволюцией в касательном пространстве к единичной стандартной сфере. Отметим, что в других точках это — не инволюция. Из инволютивности операции черта и следует теорема 6.4.

Появление инволюции указывает на наличие интересной двойственности. Операция черта позволяет изготавливать из метрики на сфере, стандартно вложенной в $\mathbb{R}^{3}$, но наследующей из $\mathbb{R}^{3}$ некоторую метрику $g$ общего вида, некоторую другую метрику. Алгоритм такого изготовления фактически описан в лемме 6.3 .

ЗАмЕчАниЕ. Обратно, рассмотрим на стандартной сфере, вложенной в $\mathbb{R}^{3}$, некоторую метрику, индуцированную диагональной метрикой из объемлющего пространства $\mathbb{R}^{3}$. Пусть эта объемлющая метрика имеет вид:
\[
d s^{2}=I_{1}(u) d u_{1}^{2}+I_{2}(u) d u_{2}^{2}+I_{3}(u) d u_{3}^{2} .
\]

Тогда при помощи отображения $\mu^{-1}$ из нее изготовляется следующий гамильтониан $H$ :
\[
H=\left(I_{1} I_{2} I_{3}\right)^{-1} \frac{I_{1}(r) s_{1}^{2}+I_{2}(r) s_{2}^{2}+I_{3}(r) s_{3}^{2}}{I_{1}^{-1}(r) r_{1}^{2}+I_{2}^{-1}(r) r_{2}^{2}+I_{3}^{-1}(r) r_{3}^{2}} .
\]

Отметим, что в смысле обнаруженной выше двойственности, метрика эллипсоида двойственна метрике на сфере Пуассона.

Сформулируем здесь интересную задачу: обобщить изложенную выше конструкцию на случай кокасательных расслоений к сфере любой размерности.