В этом параграфе мы обсуждаем классическую теорему Дини, которая дает локальное описание римановых метрик на двумерных поверхностях, допускающих нетривиальные геодезические эквивалентности [270]. Для нас эта теорема интересна, в частности, тем, что она дает возможность построения примеров траекторно эквивалентных геодезических потоков.

Таблица 6.1

Определение 6.1. Две римановы метрики $G=\left(g_{i j}\right)$ и $\widehat{G}=\left(\widehat{g}_{i j}\right)$, заданные на многообразии $M$, называются геодезически эквивалентными, если геодезические линии метрики $G$ совпадают (как множества, т.е. без учета параметризации) с геодезическими линиями метрики $\widehat{G}$.

Простейшим примером геодезически эквивалентных метрик являются метрики, отличающиеся друг от друга умножением на константу. Будем далее говорить, что две метрики $G$ и $\widehat{G}$ нетривиально геодезически эквивалентны, если они геодезически эквивалентны, но не пропорциональны, т. е. не получаются друг из друга умножением на постоянную.

Пусть $G$ и $\widehat{G}$ – геодезически эквивалентные метрики. Легко видеть, что тогда их геодезические потоки гладко траекторно эквивалентны. При этом они рассматриваются как динамические системы на кокасательных расслоениях или на изоэнергетических поверхностях. Траекторный диффеоморфизм задается при этом формулой
\[
(x, p) \rightarrow\left(x, \frac{|p|_{G}}{\left|\widehat{G} G^{-1} p\right|_{\widehat{G}}} \widehat{G} G^{-1} p\right) .
\]

Здесь $(x, p)$ – координаты в кокасательном расслоении, $x$ – точка на многообразии, $p$ – ковектор. А $|p|_{\widehat{G}}$ и $|p|_{G}$ – нормы ковектора $p$ в смысле метрик $\widehat{G}$ и $G$. Это же отображение, но записанное не для импульсов, а для скоростей (т.е. в координатах $(x, \dot{x})$ ), принимает вид:
\[
(x, \dot{x}) \rightarrow\left(x, \frac{|\dot{x}|_{G}}{|\dot{x}|_{\widehat{G}}} \dot{x}\right) .
\]

Здесь $|\dot{x}|_{\widehat{G}}$ и $|\dot{x}|_{G}$ – длины касательных векторов скоростей относительно метрик $\widehat{G}$ и $G$.

Отметим, однако, что не любой траекторный изоморфизм двух геодезических потоков индуцируется геодезической эквивалентностью. Необходимым условием является его коммутирование с естественной проекцией $T^{*} M \rightarrow M$, задаваемой формулой $(x, p) \rightarrow x$.

Оказывается, теорема Дини является отражением следующего более общего факта, замеченного В. С. Матвеевым и П. Й. Топаловым.

Рассмотрим две гамильтоновы системы $v$ и $\widehat{v}$ с двумя степенями свободы. Ограничим их на регулярные изоэнергетические 3 -поверхности: $Q^{3}$ для системы $v$ и $\widehat{Q}^{3}$ для системы $\widehat{v}$. Предположим, что ограничения систем $v$ и $\widehat{v}$ на $Q^{3}$ и $\widehat{Q}^{3}$ гладко траекторно эквивалентны. Напомним, что под гладкой траекторной эквивалентностью понимается существование диффеоморфизма $\xi: Q^{3} \rightarrow \widehat{Q}^{3}$, переводящего траектории первой системы в траектории второй системы, причем с сохранением их ориентации. Тогда по такому диффеоморфизму $\xi$ канонически строятся дополнительные интегралы обеих гамильтоновых систем [199]. Идея этого построения состоит в следующем. Рассмотрим ограничения соответствующих симплектических 2 -форм $\omega$ и $\widehat{\omega}$ на изоэнергетические 3 -поверхности $Q$ и $\widehat{Q}$. С помощью диффеоморфизма $\xi$ перенесем ограничение формы $\widehat{\omega}$ с многообразия $\widehat{Q}$ на $Q$. Очевидно, что получившаяся таким образом 2 -форма $\xi^{*} \widehat{\omega}$ на $Q$ обладает следующими свойствами:

1) она замкнута,
2) ядро формы совпадает с гамильтоновым векторным полем $v$ на $Q$.

Легко видеть, что гамильтоново поле $v$ сохраняет форму $\xi^{*} \widehat{\omega}$ на $Q$. Действительно, вычисляя производную Ли от формы $\xi^{*} \widehat{\omega}$ вдоль поля $v$, получаем:
\[
L_{v} \xi^{*} \widehat{\omega}=i_{v} d\left(\xi^{*} \widehat{\omega}\right)+d\left(i_{v} \xi^{*} \widehat{\omega}\right)=0,
\]

так как форма $\xi^{*} \widehat{\omega}$ замкнута (это аннулирует первое слагаемое) и так как ядро формы $\xi^{*} \widehat{\omega}$ совпадает с полем $v$ (что аннулирует второе слагаемое).

С другой стороны, $L_{v} \omega=0$ в силу гамильтоновости поля $v$ на $Q$. Далее, две формы, $\omega$ и $\xi^{*} \widehat{\omega}$, имеют одинаковое ядро на трехмерном изоэнергетическом многообразии $Q$, и поэтому они пропорциональны. В результате получаем, что $\xi^{*} \widehat{\omega}=f \omega$, где $f$ – некоторая гладкая скалярная функция на $Q$. Поле $v$ сохраняет как форму $f \omega=\xi^{*} \widehat{\omega}$, так и форму $\omega$, а потому сохраняет и функцию $f$. Это означает, что функция $f$ является первым интегралом потока $v$ на изоэнергетической 3 -поверхности $Q$.

Конечно, этот интеграл может оказаться равным константе. Так и бывает, если, например, траекторная эквивалентность двух потоков была получена в результате применения принципа Мопертюи. Но в некоторых случаях – в частности, в теореме Дини – из существования траекторной эквивалентности описанным способом можно извлечь нетривиальный интеграл гамильтоновой системы $v$.
Перейдем теперь к самой теореме Дини.

Теорема 6.13 (Теорема Дини).
а) Пусть римановы метрики $G$ и $\widehat{G}$ на двумерной поверхности $M$ нетривиально геодезически эквивалентны. Тогда геодезические потоки обеих метрик квадратично интегрируемы. Причем нетривиальный квадратичный интеграл $F$ геодезического потока $v$ метрики $G$ записывается (как функция на кокасательном расслоении) в виде:
\[
F(x, p)=\frac{(\operatorname{det} G)^{\frac{2}{3}}}{(\operatorname{det} \widehat{G})^{\frac{2}{3}}}\left\langle G^{-1} \widehat{G} G^{-1} p, p\right\rangle .
\]
б) Обратно, пусть геодезический поток метрики $G$ на двумерной поверхности $M$ интегрируем при помощи некоторого квадратичного интеграла $F(x, p)=\langle F p, p\rangle$. Пусть этот интеграл положительно определенный (этого всегда можно добиться путем добавления $к$ гамильтониана $H$ с некоторым коэффициентом). Утверждается, что исходная метрика $G$ геодезически эквивалентна новой метрике $\widehat{G}$, задаваемой на касательном расслоении к М следующей матрицей (тензором):
\[
\widehat{G}=(\operatorname{det} G)^{-2}(\operatorname{det} F)^{-2} G F G .
\]

ЗАмЕчАниЕ. Здесь $G$ – матрица (тензор) исходной метрики на касательном расслоении, $F$ – матрица (тензор) квадратичного интеграла на кокасательном расслоении, а $G F G$ – это уже матрица (тензор) на касательном расслоении, получающаяся из $F$ путем опускания ее верхних индексов при помощи матрицы (тензора) $G$.
Доказательство теоремы Дини.
Рассмотрим изоэнергетические 3 -поверхности $Q$ и $\widehat{Q}$. Будем считать, что они заданы как уровни гамильтонианов: $Q=(H=1), \widehat{Q}=(\widehat{H}=1)$. Как было отмечено выше, геодезическая эквивалентность индуцирует траекторный изоморфизм $\xi: Q \rightarrow \widehat{Q}$, задаваемый формулой
\[
(x, p) \rightarrow\left(x, \frac{|p|_{G}}{\left|\widehat{G} G^{-1} p\right|_{\widehat{G}}^{-1}} \widehat{G} G^{-1} p\right) .
\]

Поскольку формула выписана явно, мы можем подсчитать форму $\xi^{*} \widehat{\omega}$ и найти коэффициент пропорциональности между формами $\xi^{*} \widehat{\omega}$ и $\omega$. На каждом изоэнергетическом многообразии $Q$ и $\widehat{Q}$ мы рассмотрим три гладких векторных поля $D_{0}, D_{1}, D_{2}$ и, соответственно $\widehat{D}_{0}, \widehat{D}_{1}, \widehat{D}_{2}$. Опишем эти поля для случая многообразия $Q$. Здесь поле $D_{0}$ – это касательные векторы к окружностям, задаваемым в кокасательных 2 -плоскостях уравнением $H=1$. Будем считать, что поле $D_{0}$ нормировано в том смысле, что длины всех векторов поля $D_{0}$ одинаковы, и период поля вдоль каждой окружности ( $H=1$ ) равен $2 \pi$. Поле $D_{1}-$ это исходное гамильтоново поле $v$ на $Q$. Поле $D_{2}=\left[D_{0}, D_{1}\right]$ – это обычный коммутатор полей $D_{0}$ и $D_{1}$. Поскольку поле $D_{1}$ лежит в ядре форм $\omega$ и $\xi^{*} \widehat{\omega}$ на $Q$, то достаточно подсчитать значения этих форм лишь на векторах $D_{0}$ и $D_{2}$, то есть
\[
\omega\left(D_{0}, D_{2}\right), \xi^{*} \widehat{\omega}\left(D_{0}, D_{2}\right) .
\]

Отношение этих величин является, как мы видели выше, интегралом $f$ поля $v=D_{1}$. Подсчитаем оба эти выражения. Для этого нам потребуется следующее утверждение.
Лемма 6.4. Для полей $D_{0}, D_{1}, D_{2}$ имеет место соотношение:
\[
\left[D_{0}, D_{2}\right]=-D_{1} .
\]

ЗАмЕчАниЕ. На самом деле верны еще два следующих интересных соотношения, которые, впрочем, здесь нам не потребуются, и мы поэтому не будем их доказывать:
\[
\left[D_{1}, D_{2}\right]=k D_{0}, \quad\left[D_{0}, D_{1}\right]=D_{2},
\]

где $k$ – гауссова кривизна, поднятая с $M$ на $Q$.
Доказательство леммы.
Удобно воспользоваться конформными координатами, в которых метрика $G$ пишется как $d s^{2}=\lambda\left(x_{1}, x_{2}\right)\left(d x_{1}^{2}+d x_{2}^{2}\right)$. Тогда гамильтониан $H$ имеет вид:
\[
H=(2 \lambda)^{-1}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right) .
\]

Тогда в координатах $\left(x_{1}, x_{2}, p_{1}, p_{2}\right)$ векторные поля $D_{0}$ и $D_{1}$ записываются так:
\[
\begin{array}{l}
D_{0}=\left(0,0, p_{2},-p_{1}\right), \\
D_{1}=\left(\frac{p_{1}}{\lambda}, \frac{p_{2}}{\lambda}, \lambda_{x_{1}} \frac{p_{1}^{2}+p_{2}^{2}}{2 \lambda^{2}}, \lambda_{x_{2}} \frac{p_{1}^{2}+p_{2}^{2}}{2 \lambda^{2}}\right) .
\end{array}
\]

Вычисляя явно коммутатор векторных полей $\left[D_{0}, D_{2}\right]=\left[D_{0},\left[D_{0}, D_{1}\right]\right]$ по обычной формуле, получаем требуемое выражение. Лемма доказана.

Лемма 6.5. Имеет место равенство:
\[
\omega\left(D_{0}, D_{2}\right)=\frac{1}{2}
\]

Доказательство.
Напомним, что $\omega=d \varkappa$, где 1-форма действия $\varkappa$ имеет вид: $\varkappa=p d x=$ $=p_{1} d x_{1}+p_{2} d x_{2}$.
Тогда
\[
d \varkappa\left(D_{0}, D_{2}\right)=D_{0} \varkappa\left(D_{2}\right)-D_{2} \varkappa\left(D_{0}\right)-\varkappa\left(\left[D_{0}, D_{2}\right]\right) .
\]

Отметим, что $\varkappa\left(D_{0}\right)=0$, поскольку вектор $D_{0}$ переходит в ноль при естественной проекции $Q$ на базу $M$. Кроме того, $\varkappa\left(D_{2}\right)=0$. Чтобы это увидеть, подсчитаем $\omega\left(D_{0}, D_{1}\right)$. С одной стороны, это равно нулю, поскольку $D_{1}$ лежит в ядре формы $\omega$. С другой стороны, применяя указанную выше формулу для случая $d \varkappa\left(D_{0}, D_{1}\right)$, получаем:
\[
d \varkappa\left(D_{0}, D_{1}\right)=D_{0} \varkappa\left(D_{1}\right)-D_{1} \varkappa\left(D_{0}\right)-\varkappa\left(\left[D_{0}, D_{1}\right]\right) .
\]

Здесь $D_{1} \varkappa\left(D_{0}\right)=0$, поскольку $\varkappa\left(D_{0}\right)=0$. Первое слагаемое тоже равно нулю, поскольку $\varkappa\left(D_{1}\right)=\varkappa(\operatorname{sgrad} H)=p(\dot{x})=|\dot{x}|^{2}=\frac{1}{2}$ и, следовательно, $D_{0} \varkappa\left(D_{1}\right)=$ $=D_{0}\left(\frac{1}{2}\right)=0$. Поэтому
\[
\omega\left(D_{0}, D_{1}\right)=d \varkappa\left(D_{0}, D_{1}\right)=-\varkappa\left(\left[D_{0}, D_{1}\right]\right)=-\varkappa\left(D_{2}\right)=0 .
\]

Таким образом,
\[
d \varkappa\left(D_{0}, D_{2}\right)=-\varkappa\left(\left[D_{0}, D_{2}\right]\right)=(\text { по лемме 6.5 })=\varkappa\left(D_{1}\right)=\frac{1}{2} .
\]

Лемма доказана.
Совершенно аналогично доказывается, что $\widehat{\omega}\left(\widehat{D}_{0}, \widehat{D}_{2}\right)=\frac{1}{2}$.
Вычислим теперь $\xi^{*} \widehat{\omega}\left(D_{0}, D_{2}\right)=\widehat{\omega}\left(d \xi\left(D_{0}\right), d \xi\left(D_{2}\right)\right)$. Для этого заметим, что векторное поле $d \xi\left(D_{0}\right)$ пропорционально полю $\widehat{D}_{0}$, поскольку $Q$ переходит в $\widehat{Q}$, отображение $\xi$ является послойным диффеоморфизмом, т.е. переводит окружность в окружность, а $D_{0}$ и $\widehat{D}_{0}$ – это касательные векторы к слоям. Поэтому можно записать:
\[
d \xi\left(D_{0}\right)=\alpha \widehat{D}_{0},
\]

где $\alpha(x, p)$ – некоторая скалярная функция. Кроме того, векторное поле $d \xi\left(D_{1}\right)$ пропорционально полю $\widehat{D}_{1}$. Это следует из того, что $\xi$ устанавливает траекторный изоморфизм систем $v$ и $\widehat{v}$. Таким образом,
\[
d \xi\left(D_{1}\right)=\beta \widehat{D}_{1},
\]

где $\beta(x, y)$ – некоторая скалярная функция. Имеем:
\[
\begin{array}{c}
\widehat{\omega}\left(d \xi\left(D_{0}\right), d \xi\left(D_{2}\right)\right)=\widehat{\omega}\left(d \xi\left(D_{0}\right), d \xi\left[D_{0}, D_{1}\right]\right)=\widehat{\omega}\left(d \xi\left(D_{0}\right),\left[d \xi\left(D_{0}\right), d \xi\left(D_{1}\right)\right]\right)= \\
=\widehat{\omega}\left(\alpha \widehat{D}_{0},\left[\alpha \widehat{D}_{0}, \beta \widehat{D}_{1}\right]\right)=\widehat{\omega}\left(\alpha \widehat{D}_{0}, \alpha \beta\left[\widehat{D}_{0}, \widehat{D}_{1}\right]+\alpha \widehat{D}_{0}(\beta) \widehat{D}_{1}-\beta \widehat{D}_{1}(\alpha) \widehat{D}_{0}\right)= \\
=\alpha^{2} \beta \widehat{\omega}\left(\widehat{D}_{0},\left[\widehat{D}_{0}, \widehat{D}_{1}\right]\right)=\alpha^{2} \beta \widehat{\omega}\left(\widehat{D}_{0}, \widehat{D}_{2}\right)=\alpha^{2} \frac{\beta}{2} .
\end{array}
\]

Таким образом, коэффициент пропорциональности между формами $\omega$ и $\xi^{*} \widehat{\omega}$ равен $\alpha^{2} \beta$. Другими словами, $f=\alpha^{2} \beta$. Нам осталось найти коэффициенты, т.е. функции $\alpha$ и $\beta$.
Лемма 6.6. Имеет место равенство:
\[
\beta=\left|\widehat{G} G^{-1} p\right|_{\widehat{G}}|p|_{G}^{-1} .
\]

Доказательство.
Обратим внимание, что формула
\[
\xi:(x, p) \rightarrow\left(x,\left|\widehat{G} G^{-1} p\right|_{\widehat{G}}^{-1}|p|_{G} \widehat{G} G^{-1} p\right)
\]

при переходе к касательному расслоению переписывается так:
\[
\xi(x, \dot{x})=(x, \lambda \dot{x}),
\]

где $\lambda=|\dot{x}|_{G}|\dot{x}|_{\widehat{G}}^{-1}=\left|\widehat{G} G^{-1} p\right|_{\widehat{G}}^{-1}|p|_{G}$. Другими словами, $\widehat{\dot{x}}=\lambda \dot{x}, \widehat{x}=x$, а отсюда следует, что $d \xi(v)=\lambda^{-1} \widehat{v}$. Попросту говоря, происходит перенормировка вектора скорости. Таким образом, $\beta=\lambda^{-1}$. Лемма доказана.

Лемма 6.7. Имеет место равенство:
\[
\alpha=\frac{|p|_{G}^{2}}{\left|\widehat{G} G^{-1} p\right|_{\widehat{G}}^{2}} \cdot \frac{\sqrt{\operatorname{det} \widehat{G}}}{\sqrt{\operatorname{det} G}} .
\]

Доказательство.
Поскольку отображение $\xi: Q \rightarrow \widehat{Q}$ является послойным, его действие можно рассмотреть на каждом слое по отдельности. Поэтому можно записать
\[
\widehat{p}=\xi(p)=\lambda(p) A(p),
\]

где $\lambda(p)=|p|_{G}\left|\widehat{G} G^{-1} p\right|_{\widehat{G}}^{-1}$ – это скалярная функция, а $A(p)$ – линейный оператор, действующий по формуле $A(p)=\widehat{G} G^{-1} p$. Рассмотрим отображение $\xi$ не только на слое, т.е. на самом деле на эллипсе, но и на всей касательной плоскости к $M$. Мы хотим подсчитать двумя способами определитель дифференциала $d \xi$ отображения $\xi$.

На каждом касательном векторе $a$ мы имеем:
\[
d \xi(a)=(d \lambda(a)) A(p)+\lambda(p) A(a) .
\]

Легко видеть, что, если в этой формуле положить $a=p$, то $d \lambda(p)=0$. Поэтому $d \xi(p)=\lambda(p) A(p)$. Pacсмотрим в касательной плоскости $T M$ базис из независимых векторов $a$ и $p$. Посмотрим, как на них действует линейное отображение $d \xi$. Нетрудно показать, что этот линейный оператор устроен так:
$d \xi=\lambda(p) A+\mu($ оператор проектирования
на вектор $A(p)$ параллельно вектору $p$ ),

где $\mu$ – некоторый скалярный коэффициент. Отсюда сразу видно, что второе слагаемое не влияет на Рис. 6.4 определитель $d \xi$, и все определяется лишь первым слагаемым. Итак, получаем:
\[
\operatorname{det}(d \xi)=\operatorname{det}(\lambda(p) A)=\lambda^{2} \operatorname{det} A .
\]

Теперь подсчитаем тот же определитель $\operatorname{det}(d \xi)$, но другим способом. На рис. 6.4 изображены два слоя, т.е. два эллипса в касательной плоскости, переходящие друг в друга при отображении $\xi$. Рассмотрим в точке $p$ базис из векторов $D_{0}$ и $p$. См. рис. 6.4. Вектор $D_{0}$ – это касательный вектор к эллипсу, идущий в направлении, сопряженном $p$. После параллельного переноса в начало координат, вектор $D_{0}$ окажется на том же эллипсе, что и $p$. Рассмотрим образы этих векторов при отображении $d \xi$. Мы знаем, что $d \xi(p)=\widehat{p}$, а $d \xi\left(D_{0}\right)=\alpha \widehat{D}_{0}$. Отсюда:
\[
\begin{aligned}
\operatorname{det}(d \xi) & =\frac{\text { площадь параллелограмма на векторах } d \xi(p) \text { и } d \xi\left(D_{0}\right)}{\text { площадь параллелограмма на векторах } p \text { и } D_{0}}= \\
& =\alpha \frac{\text { площадь параллелограмма на векторах } \widehat{p} \text { и } \widehat{D}_{0}}{\text { площь параллелограмма на векторах } p \text { и } D_{0}}=\alpha \frac{\sqrt{\operatorname{det} \widehat{G}}}{\sqrt{\operatorname{det} G}} .
\end{aligned}
\]

Приравнивая полученные два выражения для определителя $\operatorname{det}(d \xi)$, находим $\alpha$, а именно:
\[
\lambda^{2} \operatorname{det} A=\lambda^{2} \operatorname{det}\left(\widehat{G} G^{-1}\right)=\alpha \frac{\sqrt{\operatorname{det} \widehat{G}}}{\sqrt{\operatorname{det} G}} .
\]

Итак, $\alpha=\lambda^{2} \frac{\sqrt{\operatorname{det} \widehat{G}}}{\sqrt{\operatorname{det} G}}$. Лемма доказана.
Поскольку $f=\alpha^{2} \beta$, и мы нашли $\alpha$ и $\beta$, то, подставляя сюда их выражения, получаем:
\[
f=\frac{|p|_{G}^{4}}{\left|\widehat{G} G^{-1} p\right|_{\widehat{G}}^{4}} \cdot \frac{\operatorname{det} \widehat{G}}{\operatorname{det} G} \cdot \frac{\left|\widehat{G} G^{-1} p\right|_{\widehat{G}}}{|p|_{G}}=\frac{|p|_{G}^{3}}{\left|\widehat{G} G^{-1} p\right|_{\widehat{G}}^{3}} \cdot \frac{\operatorname{det} \widehat{G}}{\operatorname{det} G} .
\]

Эта функция не является квадратичной по импульсам, поэтому из нее нужно еще изготовить искомый квадратичный интеграл $F$. Для этого нужно возвести $f$ в степень $\left(-\frac{2}{3}\right)$ и домножить на удвоенный гамильтониан векторного поля $v$, который имеет вид $H=\frac{1}{2}|p|_{G}^{2}$. В результате получим:
\[
F=2 f^{-\frac{2}{3}} H=\left|\widehat{G} G^{-1} p\right|_{\widehat{G}}^{2} \frac{(\operatorname{det} G)^{\frac{2}{3}}}{(\operatorname{det} \widehat{G})^{\frac{2}{3}}} .
\]

Поскольку $\left\langle G^{-1} \widehat{G} G^{-1} p, p\right\rangle=\left|\widehat{G} G^{-1} p\right|_{\widehat{G}}^{2}$, то отсюда мы и получаем окончательно требуемую формулу
\[
F=\frac{(\operatorname{det} G)^{\frac{2}{3}}}{(\operatorname{det} \widehat{G})^{\frac{2}{3}}}\left\langle G^{-1} \widehat{G} G^{-1} p, p\right\rangle .
\]

Нетривиальность этого интеграла $F$ легко следует из того, что метрики $G$ и $\widehat{G}$ по условию теоремы не пропорциональны.
Первая часть теоремы Дини доказана.

Следствие. Квадратично интегрируемые метрики, и только они, допускают в двумерном случае нетривиальные геодезические эквивалентности.
КоммЕНтАРий. На самом деле теоремой Дини обычно называется утверждение о том, что метрика $G$ при выполнении условий теоремы приводится к лиувиллеву виду. Это эквивалентно пункту ( $a$ ) теоремы 6.13 , поскольку лиувиллевость метрики сразу следует из существования квадратичного интеграла (см. главу 2).
Докажем теперь теорему Дини в обратную сторону.
В некотором смысле проведенные выше рассуждения обратимы. Грубо говоря, искомую формулу $\widehat{G}=(\operatorname{det} G)^{-2}(\operatorname{det} F)^{-2} G F G$ можно получить из уже полученной нами в первой части теоремы Дини формулы $F=\frac{(\operatorname{det} G)^{\frac{2}{3}}}{(\operatorname{det} \widehat{G})^{\frac{2}{3}}} G^{-1} \widehat{G} G^{-1}$, выразив отсюда $\widehat{G}$ через $G$ и $F$. Однако операция эта довольно громоздкая, поэтому мы сделаем по-другому. Поскольку заданная метрика $G$ квадратично интегрируема, это означает, что она допускает лиувиллевы координаты $x_{1}, x_{2}$. См. главу 2 тома II. Тогда в этих координатах мы имеем:
\[
G=\left(f\left(x_{1}\right)+g\left(x_{2}\right)\right)\left(d x_{1}^{2}+d x_{2}^{2}\right) .
\]

При этом квадратичный интеграл $F$ записывается в виде (см. там же):
\[
F=\frac{\left(c+g\left(x_{2}\right)\right) p_{1}^{2}+\left(c-f\left(x_{1}\right)\right) p_{2}^{2}}{f\left(x_{1}\right)+g\left(x_{2}\right)} .
\]

Тогда для метрики $\widehat{G}$ мы получаем формулу:
\[
\widehat{G}=(\operatorname{det} G)^{-2}(\operatorname{det} F)^{-2} G F G=\left(\frac{1}{c-f}+\frac{1}{c+g}\right)\left(\frac{d x_{1}^{2}}{c-f}+\frac{d x_{2}^{2}}{c+g}\right) .
\]

Итак, мы имеем две явным образом заданные метрики. Причем первая из них, т.е. $G$, уже имеет лиувиллев вид, а вторая, т.е. $\widehat{G}$, — почти лиувиллев. В теореме 2.5 главы 2 тома II были получены уравнения геодезических для лиувиллевых метрик. Подставляя в эти уравнения указанные выше две метрики $G$ и $\widehat{G}$, легко убедиться, что получающиеся уравнения геодезических просто совпадают. Это и означает, что метрики $G$ и $\widehat{G}$ геодезически эквивалентны.

Вторая часть теоремы Дини доказана. Итак, теорема Дини доказана полностью.

Отметим, что классическая теорема Дини является локальной. Мы же сформулировали выше глобальный результат, относящийся, в том числе, и к замкнутым двумерным поверхностям. Глобальность этого варианта теоремы Дини заключается в том, что формула для квадратичного интеграла $F$ однозначно и канонически выписывается в целом, то есть сразу на всей двумерной поверхности $M$. Это позволяет сформулировать несколько интересных следствий из глобальной теоремы Дини.
Следствие. Не существует нетривиально геодезически эквивалентных римановых метрик на двумерных замкнутых поверхостях рода, большего единицы (т. е. отличных от сферы, проективной плоскости, тора, бутылки Клейна).

Доказательство следует из теоремы Дини и того факта, что на поверхностях рода большего, чем единица, не существует квадратично интегрируемых римановых метрик (см. главу 2 тома II).

Отметим, что на двумерных поверхностях (в том числе рода, большего единицы) существуют локально лиувиллевы метрики с неинтегрируемыми геодезическими потоками. Под локальной лиувиллевостью мы понимаем существование локальных лиувиллевых координат в окрестности каждой точки поверхности. Из локальной лиувиллевости следует, что в окрестности каждой точки геодезический поток обладает квадратичным интегралом. Однако эти интегралы могут не сшиваться в глобальный квадратичный интеграл. Примером могут служить метрики постоянной отрицательной кривизны на сферах с ручками, являющиеся локально лиувиллевыми, но неинтегрируемыми по Лиувиллю. Таким образом, сформулированное выше следствие вытекает лишь из глобального варианта теоремы Дини.

Вторая часть глобальной теоремы Дини позволяет построить примеры нетривиально геодезически эквивалентных метрик на сфере и на торе. Более того, все такие метрики можно классифицировать, используя единственность квадратичного интеграла $F$. Единственным исключением будет метрика постоянной кривизны на сфере, для которой существуют два независимых квадратичных интеграла. В этом случае справедливо следующее утверждение.
Следствие. Любая риманова метрика, нетривиально геодезически эквивалентная метрике постоянной кривизны, сама является метрикой постоянной кривизны.

ЗАмЕЧАНИЕ. На первый взгляд кажется, будто мы получаем возможность построения множества новых метрик, геодезически эквивалентных исходной метрике $G$, последовательно применяя к ней теорему Дини. Однако в действительности отображение Дини $G \rightarrow \widehat{G}$ является в некотором смысле инволюцией. Грубо говоря, после второй итерации мы вернемся к исходной метрике $G$. При этом, конечно, нужно брать (при построении отображения $G \rightarrow \widehat{G}$ ) тот самый квадратичный интеграл $F$, который фигурирует в теореме 6.13. Более точно, получающееся семейство геодезически эквивалентных метрик вида $\widehat{G}$ является однопараметрическим, т. е. гомеоморфно интервалу. При помощи теоремы Дини, выбирая подходящим образом квадратичный интеграл $F$, мы можем перепрыгнуть (при помощи отображенин $G \rightarrow \widehat{G}$ ) из любой точки этого интервала в любую другую.