Пусть $M^{n}$ – гладкое риманово многообразие с римановой метрикой $g_{i j}(x)$. Напомним, что геодезическими данной метрики называются гладкие параметризованные кривые
\[
\gamma(t)=\left(x^{1}(t), \ldots, x^{n}(t)\right),
\]

являющиеся решениями системы дифференциальных уравнений
\[

abla_{\dot{\gamma}} \dot{\gamma}=0,
\]

где $\dot{\gamma}=\frac{d \gamma}{d t}$ – вектор скорости кривой $\gamma$, а $
abla$ – оператор ковариантного дифференцирования, отвечающий симметрической связности, согласованной с метрикой $g_{i j}$. В локальных координатах эти уравнения могут быть переписаны в виде
\[
\frac{d^{2} x^{i}}{d t^{2}}+\sum \Gamma_{j k}^{i} \frac{d x^{j}}{d t} \frac{d x^{k}}{d t}=0,
\]

где $\Gamma_{j k}^{i}(x)$ – гладкие функции, называемые символами Кристоффеля связности $
abla$ и задающиеся следующими явными формулами:
\[
\Gamma_{j k}^{i}(x)=\frac{1}{2} \sum g^{i s}\left(\frac{\partial g_{s j}}{\partial x^{k}}+\frac{\partial g_{k s}}{\partial x^{j}}-\frac{\partial g_{k j}}{\partial x^{s}}\right) .
\]

Геодезические можно интерпретировать как траектории материальной точки, движущейся по многообразию в отсутствии внешних сил, т.е. по инерции. Действительно, уравнение геодезической в точности означает, что ускорение точки равно нулю.
Напомним основные свойства геодезических [9], [28], [39], [36], [45], [169].
1) Они являются локально кратчайшими, т.е. для двух достаточно близких точек, лежащих на геодезической, длина соединящего их отрезка геодезической строго меньше длины любой другой гладкой кривой, соединяющей эти же точки.
2) Из любой точки многообразия и в направлении любого касательного вектора выходит одна и только одна геодезическая, имеющая этот вектор своим начальным вектором скорости.

3) Если многообразие компактно, то любая геодезическая продолжается неограниченно по своему параметру. Другими словами, каждое решение $\gamma(t)$ уравнения геодезических определено при любых значениях $t$.
4) Если многообразие компактно, то любые две его точки соединяются геодезической (их может быть много).
5) Если многообразие компактно, то любой класс замкнутых гомотопных путей (т.е. отображений окружности в многообразие) содержит замкнутую геодезическую. Такая геодезическая может иметь самопересечения.
6) Если многообразие компактно, то для любой точки $x \in M$ и любого элемента фундаментальной группы $\pi_{1}(M, x)$ обязательно найдется геодезическая, выходящая из данной точки, возвращающаяся в нее и реализующая выбранный элемент фундаментальной группы. Эта геодезическая не обязана, конечно, быть замкнутой. Другими словами, начальный и конечный векторы скорости могут не совпадать, т.е. $x$ может быть точкой трансверсального самопересечения этой геодезической.
Уравнения геодезических можно проинтерпретировать как гамильтонову систему на кокасательном расслоении $T^{*} M$, а сами геодезические – как проекции траекторий этой гамильтоновой системы на $M$. Для этого рассмотрим на кокасательном расслоении $T^{*} M$ естественные координаты $x$ и $p$, где $x=\left(x^{1}, \ldots, x^{n}\right)$ – координаты точки на $M$, а $p=\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)-$ координаты ковектора в кокасательном пространстве $T_{x}^{*} M$ в базисе $d x^{1}, \ldots, d x^{n}$. Возьмем стандартную симплектическую структуру $\omega=d x \wedge d p$ на $T^{*} M$ и рассмотрим в качестве гамильтониана функцию
\[
H(x, p)=\frac{1}{2} \sum g^{i j}(x) p_{i} p_{j}=\frac{1}{2}|p|^{2} .
\]

Предложение 2.1.
а) Пусть $\gamma(t)=(x(t), p(t))$ – интегральная траектория гамильтоновой системы $v=\operatorname{sgrad} H$ на $T^{*} M$. Тогда кривая $x(t)$ является геодезической, причем ее вектор скорости $\dot{x}(t)$ связан с $p(t)$ следующим соотношением:
\[
\frac{d x^{i}(t)}{d t}=\sum g^{i j}(x) p_{j}(t) .
\]
б) Обратно, если $x(t)$ – геодезическая на $M$, то кривая $(x(t), p(t))$, где $p_{i}(t)=\sum g_{i j}(x) \frac{d x^{j}}{d t}$, является интегральной траекторией гамильтоновой системы $v=\operatorname{sgrad} H$.

Доказательство.
Рассмотрим уравнения Гамильтона, отвечающие гамильтониану $H$ :
\[
\frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial x^{i}}, \quad \frac{d x^{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}} .
\]

В локальных координатах получаем:
\[
\frac{d x^{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}=\sum g^{i j} p_{j}, \quad \frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial x^{i}}=-\frac{1}{2} \sum \frac{\partial g^{\alpha \beta}}{\partial x^{i}} p_{\alpha} p_{\beta} .
\]

Делая замену $p_{i}=\sum g_{i j} \dot{x}^{j}$, т.е. отождествляя при помощи метрики векторы и ковекторы, получаем:
\[
\begin{aligned}
\dot{x}^{i} & =\frac{d x^{i}}{d t} & & \text { (первое уравнение), } \\
\frac{d}{d t}\left(g_{i s} \frac{d x^{s}}{d t}\right) & =-\frac{1}{2} \sum \frac{\partial g^{\alpha \beta}}{\partial x^{i}} g_{\alpha k} \frac{d x^{k}}{d t} g_{\beta j} \frac{d x^{j}}{d t} & & \text { (второе уравнение). }
\end{aligned}
\]

Преобразовывая второе уравнение, получаем
\[
\frac{\partial g_{i k}}{\partial x^{j}} \frac{d x^{k}}{d t} \frac{d x^{j}}{d t}+g_{i s} \frac{d^{2} x^{8}}{d t^{2}}=\frac{1}{2} \sum \frac{\partial g_{k j}}{\partial x^{i}} \frac{d x^{k}}{d t} \frac{d x^{j}}{d t} .
\]

Используя очевидное тождество
\[
\frac{\partial g_{i k}}{\partial x^{j}} \frac{d x^{k}}{d t} \frac{d x^{j}}{d t}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial g_{k i}}{\partial x^{j}}+\frac{\partial g_{i j}}{\partial x^{k}}\right) \frac{d x^{k}}{d t} \frac{d x^{j}}{d t},
\]

перепишем полученное уравнение в виде
\[
g_{i s} \frac{d^{2} x^{8}}{d t^{2}}+\frac{1}{2} \sum\left(\frac{\partial g_{i j}}{\partial x^{k}}+\frac{\partial g_{k i}}{\partial x^{j}}-\frac{\partial g_{k j}}{\partial x^{i}}\right) \frac{d x^{k}}{d t} \frac{d x^{j}}{d t}=0 .
\]

Отсюда имеем:
\[
\frac{d^{2} x^{s}}{d t^{2}}+\frac{1}{2} \sum g^{i s}\left(\frac{\partial g_{i j}}{\partial x^{k}}+\frac{\partial g_{k i}}{\partial x^{j}}-\frac{\partial g_{k j}}{\partial x^{i}}\right) \frac{d x^{k}}{d t} \frac{d x^{j}}{d t}=0 .
\]

То есть
\[
\frac{d^{2} x^{s}(t)}{d t^{2}}+\sum \Gamma_{j k}^{s} \frac{d x^{j}(t)}{d t} \frac{d x^{k}(t)}{d t}=0 .
\]

Предложение 2.1 доказано.
Возникает естественный и важный вопрос: в каких случаях можно решить уравнения геодезических явно, например, в квадратурах? Как описать поведение геодезических качественным образом? Поскольку мы изучаем в нашей книге интегрируемые гамильтоновы системы, то для нас наиболее интересным будет описание тех случаев, когда геодезический поток является интегрируемым по Лиувиллю. В действительности, здесь возникают две содержательные задачи:
a) На каких многообразиях существуют римановы метрики, геодезические потоки которых интегрируемы?
б) Если на данном многообразии такие метрики (назовем их интегрируемыми) существуют, то как их описать?

Исследованию этих проблем посвящен большой цикл как современных, так и классических работ. См., например, В.Н.Колокольцов [92], [93], Дж. Биркгоф [19], [242], Г. Дарбу [267], [268], М.Л.Раффи [361], В.В.Козлов и Н.В. Денисова [86], $[87]$, В.В.Козлов, Д.В.Трещев [89], [90], М.Л.Бялый [51], И.К.Бабенко и Н. Н. Нехорошев [15], А. С. Мищенко [131], [132], А. М. Степин [186], С. И. Пидкуйко, А. М. Степин [161], И.А.Тайманов [188], [189], [190], М. Адлер, П. ван Мербеке [229], [230], Г.Патернайн [351], [353], Г.Патернайн, Р.Спатцер [352], Р. Спатцер [372], А. Тимм [377], К. Киохара [319], [320]. Мы начнем со случая двумерных поверхностей, который изучен наиболее подробно.