Применим теперь описанную конструкцию в важном специальном случае, когда многообразие $M$ является двумерной сферой $S^{2}$. Реализуем для этого кокасательное расслоение к сфере в виде следующей модели. Рассмотрим линейное пространство $\mathbb{R}^{6}\left(s_{1}, s_{2}, s_{3}, r_{1}, r_{2}, r_{3}\right)$ как двойственное пространство к алгебре Ли $e(3)=s o(3)+\mathbb{R}^{3}$ группы движений трехмерного евклидова пространства. Координаты $\left(s_{1}, s_{2}, s_{3}\right.$ ) соответствуют при этом подгруппе вращений $S O(3)$, а $\left(r_{1}, r_{2}, r_{3}\right)$ — подгруппе сдвигов. Пространство $\mathbb{R}^{6}=e(3)^{*}$ снабжается естественной скобкой Пуассона
\[
\left\{s_{i}, s_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} s_{k},\left\{s_{i}, r_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} r_{k},\left\{r_{i}, r_{j}\right\}=0 .
\]

В разных вариантах динамики твердого тела переменные $r_{i}$ и $s_{i}$ приобретают конкретный механический смысл. Например, при движении твердого тела с фиксированной точкой в поле силы тяжести переменные $r_{i}$ являются компонентами единичного вектора вертикали в системе координат, жестко связанной с телом, а переменные $s_{i}$ являются компонентами вектора кинетического момента твердого тела.

Рассмотрим в $\mathbb{R}^{6}$ четырехмерное подмногообразие $M_{0}^{4}$, являющееся орбитой коприсоединенного представления и задаваемое уравнениями:
\[
\begin{aligned}
r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2} & =1, \\
r_{1} s_{1}+r_{2} s_{2}+r_{3} s_{3} & =0 .
\end{aligned}
\]

Известно, что скобка Пуассона, ограниченная на это подмногообразие, невырождена, а само подмногообразие $M_{0}^{4}$ симплектоморфно кокасательному расслоению к сфере $T^{*} S^{2}$.

Рассмотрим на пространстве $\mathbb{R}^{6}\left(s_{1}, s_{2}, s_{3}, r_{1}, r_{2}, r_{3}\right)$ гамильтонову систему $v$ с гамильтонианом
\[
H(r, s)=\langle B(r) s, s\rangle+V(r),
\]

где $\langle$,$\rangle — евклидово скалярное произведение в \mathbb{R}^{3}, B$ — симметричная невырожденная положительно определенная матрица (зависящая в общем случае от $r)$, а $V(r)$ — гладкий потенциал. Отметим, что гамильтонианы уравнений, возникающих в динамике твердого тела, имеют именно такой вид.

При ограничении системы $v$ на подмногообразие $M_{0}^{4}=T^{*} S^{2}$ мы получим некоторую натуральную систему. Более того, любую натуральную систему на сфере можно получить описанным способом.

Применяя к системе $v$ принцип Мопертюи, мы получаем на $M_{0}^{4}=T^{*} S^{2}$ новую систему $\widetilde{v}$ с гамильтонианом $\widetilde{H}=\frac{1}{h-V(r)}\langle B(r) s, s\rangle$. Легко видеть, что траектории систем $v$ и $\widetilde{v}$ на трехмерном уровне $Q^{3}=M_{0}^{4} \cap\{H=h\}$ совпадают с точностью до перепараметризации. Отсюда, в частности, вытекает следующий результат.

Теорема 6.3. Пусть система $v$ интегрируема на многообразии $M_{0}^{4} \subset \mathbb{R}^{6}$, призависящими от $r$. Тогда система $\widetilde{v}$ также обладает интегралом $\tilde{f}$, являющимся однородным полиномом по переменным $s$ той же степени, и, в частности, интегрируема на $M_{0}^{4}$.
Доказательство.
Согласно принципу Мопертюи, новое векторное поле $\widetilde{v}$ задается гамильтонианом $\widetilde{H}$ вида
\[
\widetilde{H}=\frac{1}{h-V(r)}\langle B(r) s, s\rangle .
\]

Отметим прежде всего, что без ограничения общности мы можем предполагать, что все переменные $s_{i}$ входнт в полином $f$ либо только в четных степенях, либо только в нечетных. Понснение: если в интеграл $f$ входили члены как четных, так и нечетных степеней по $s$, то, сгруппировав отдельно четные степени и отдельно нечетные степени, мы сразу видим, что каждая из этих двух групп по отдельности является интегралом. См. выше лемму 6.1. Определим теперь новый второй интеграл $\widetilde{f}$ поля $\widetilde{v}$ по формуле:
\[
\widetilde{f}=\sum_{i+1}^{m} P_{i}(s)(\tilde{H}(s, r))^{\frac{(m-i)}{2}} .
\]

Относительно переменных $s$ эта функция является однородным полиномом степени $m$. Дело в том, что в силу сделанного предположения о четности или о нечетности степеней мономов в функции $f$, показатель $\frac{(m-i)}{2}$ всегда является целым числом. Следовательно, в функцию $\tilde{f}$ радикалы не входят.

Теперь докажем, что $\widetilde{f}$ действительно является интегралом поля $\widetilde{v}$. Заметим, что функция $\widetilde{f}$ совпадает с $f$ на уровне $Q=(H=h)$. Следовательно, на этом уровне энергии функция $\tilde{f}$ является интегралом. Кроме того, легко проверить, что из однородности $\widetilde{H}$ и $\tilde{f}$ по переменной $s$ следует, что и скобка Пуассона $\{\widetilde{H}, \widetilde{f}\}$ также однородна, как полином по $s$. Дело в том, что эта скобка равна нулю на заданной поверхности $Q$, на которой $\widetilde{f}$ является интегралом. Следовательно, функция $\{\widetilde{H}, \widetilde{f}\}$ равна нулю тождественно, т.е. $\widetilde{f}$ является интегралом на всем 4 -многообразии $T^{*} S^{2}$. Теорема доказана.

Связь между полиномами $f$ и $\tilde{f}$ может быть явно указана. Пусть $f=$ $=\sum P_{i}(s)$, где $P_{i}(s)$ — однородный полином степени $i$ от $s$ (с коэффициентами, зависящими от $r$ ). Без ограничения общности мы можем предполагать, что в этом разложении все степени $i$ либо одновременно четные, либо одновременно нечетные. Если это не так, то, разделив интеграл $f$ на четную и нечетную части, легко убедиться в том, что каждая из них по отдельности является интегралом. Тогда интеграл $\tilde{f}$ поля $\widetilde{v}$ может быть определен по формуле:
\[
\widetilde{f}=\sum_{i=1}^{m} P_{i}(s)(\widetilde{H}(s, r))^{\frac{(m-i)}{2}} .
\]

Здесь $\frac{(m-i)}{2}$ — целое число, поэтому $\tilde{f}$ действительно представляет собой однородный полином от $s$ степени $m$.