Напомним понятие круговой молекулы, введенное нами в главе 9 тома I.
Пусть $\Sigma$ – бифуркационная диаграмма отображения момента $\mathcal{F}$ интегрируемой системы. Диаграмма $\Sigma$ расположена в плоскости $\mathbb{R}^{2}(H, f)$. Будем считать, что $\Sigma$ представляет из себя набор гладких кривых $\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{k}$, которые могут пересекаться или касаться друг друга в некоторых точках. Пусть при этом каждая гладкая дуга из семейства $\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{k}$ удовлетворяет условию боттовости. Отметим, что диаграмма $\Sigma$ может содержать изолированные точки.

Рассмотрим особые точки бифуркационной диаграммы $\Sigma$, т.е. точки пересечения, касания, излома гладких дуг диаграммы. Подробнее см. выше в главе 9 тома I. Или же изолированные точки, которые вообще этим дугам не принадлежат.

Обозначим множество особых точек диаграммы $\Sigma$ через $\Sigma_{0}$. Будем считать, что $\Sigma_{0}$ – это конечное множество точек. Если представлять $\Sigma$ в виде одномерного клеточного комплекса, то $\Sigma_{0}$ – это как раз множество его вершин. Ребра этого комплекса – это в точности дуги $\gamma_{1}, \ldots, \gamma_{k}$.

Напомним, что гладкая кривая $\tau$ без самопересечений в плоскости $\mathbb{R}^{2}(H, f)$ называется допустимой, если она пересекает бифуркационную диаграмму $\Sigma$ трансверсально и не проходит через особые точки $\Sigma$.

Как мы уже объясняли, полный прообраз $Q_{\tau}=\mathcal{F}^{-1}(\tau)$ в $M^{4}$ – это трехмерное гладкое многообразие со структурой лиувиллева слоения, все особенности которого являются боттовскими. Тем самым, на $Q_{\tau}$ возникает инвариант этого слоения – меченая молекула $W^{*}$, которую мы обозначим через $W^{*}(\tau)$. В главе 9 тома I мы уже показали, что эта молекула не меняется при гладкой изотопии $\tau$ в классе допустимых кривых.

Пусть теперь $y_{0} \in \Sigma_{0}$ – некоторая изолированная особая точка бифуркационной диаграммы. Рассмотрим окружность $\tau$ малого радиуса с центром в точке $y_{0}$. Предположим, что $\tau$ – допустимая кривая и что она остается таковой при уменьшении ее радиуса. Тогда корректно определена молекула $W^{*}(\tau)$. Она и называется круговой молекулой особой точки $y_{0}$ бифуркационной диаграммы $\Sigma$ и обозначается через $W^{*}\left(y_{0}\right)$.

Общая идея использования круговых молекул для описания глобальной структуры лиувиллева слоения на изоэнергетических поверхностях такова. Круговая молекула является локальным инвариантом особенности, поэтому обычно ее бывает вычислить легче, чем молекулу для изоэнергетической поверхности, являющуюся уже глобальным инвариантом. Если тип особенности, отвечающей особой точке $y_{0} \in \Sigma$, понят и описан, то нахождение соответствующей круго-

Рис. 1.5

вой молекулы не составляет труда. Более того, в конкретных задачах обычно встречаются лишь особенности из некоторого «конечного списка». Поэтому можно заранее составить некоторую таблицу круговых молекул для таких наиболее типичных особенностей. Этой таблицей можно затем пользоваться при исследовании конкретных систем.

Предположим, что мы вычислили все круговые молекулы для всех особых точек данной бифуркационной диаграммы. Тогда меченую молекулу $W^{*}(\tau)$ для любой допустимой кривой на плоскости $\mathbb{R}^{2}(H, f)$ можно «склеить» из кусочков круговых молекул. Оказывается, эта процедура позволяет многое узнать об искомой молекуле $W^{*}(\tau)$. В частности, о ее метках. Иногда даже удается полностью вычислить молекулу $W^{*}(\tau)$. Проиллюстрируем эту мысль на рис.1.5. Идея состоит в следующем. На рис. 1.5а показана некоторая бифуркационная диаграмма, у которой отмечены особые точки $y_{1}, y_{2}, y_{3}$. Далее, здесь же Рис. 1.6 изображена некоторая допустимая кривая $\tau=\left\{H=h_{0}\right\}$. Эта кривая пересекает четыре гладких участка $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}, \gamma_{4}$ бифуркационной диаграммы $\Sigma$. Каждый из этих участков $\gamma_{i}$ отвечает некоторому атому $V_{i}$. Сразу отметим, что эти атомы те же самые, что и атомы, участвующие в круговых молекулах. Более того, метки $r$ на ребрах между ними тоже совпадают с соответствующими $r$-метками для круговых молекул. Например, молекулы $W^{*}(\tau)$ и $W^{*}\left(y_{1}\right)$ имеют общий фрагмент вида $V_{1}-V_{2}$ (рис. 1.6).

На рис. 1.5b показана изотопия некоторых дуг круговых молекул, деформирующая эти дуги в соответствующие отрезки допустимой кривой $\tau$. Эта же идея показана и на рис. $1.5 \mathrm{c}$. Из рис. 1.6 видно, что при такой изотопии $r$-метки на деформирующих участках круговых молекул не меняются. И в результате из этих фрагментов круговых молекул составляется искомая молекула $W^{*}(\tau)$ с $r$-метками. Другими словами, во многих случаях $r$-метки молекул вида $W^{*}(\tau)$ можно вычислить, зная $r$-метки соответствующих фрагментов круговых молекул, окружающих особые точки бифуркационной диаграммы.

Описанная схема рассуждений, конечно, условна в том смысле, что конкретная ситуация может оказаться сложнее. Мы описали лишь некоторый относительно простой случай. Иногда может случиться, например, так, что одному отрезку пути $\tau$ отвечает не одна, а несколько дуг круговых молекул особых точек. См. пример на рис. 1.7. В этом случае требуется определить правило «сложения меток», происходящих из фрагментов разных круговых молекул. Такие правила действительно существуют, и некоторые из них

Рис. 1.7 мы опишем ниже.

Могут появиться и другие сложности. Тем не менее, как показывает опыт, изложенная схема успешно работает во многих ситуациях.
Опишем правило суммирования меток, эффективное в некоторых случаях.

Рассмотрим ситуацию, представленную на рис. 1.7. Пусть мы знаем метку $r=\frac{p}{q}$ для дуги круговой молекулы особой точки $y_{1}$ и метку $r=\frac{s}{t}$ для дуги круговой молекулы особой точки $y_{2}$ (рис. 1.8). Спрашивается, можно ли найти $r$-метку на отрезке дуги $\tau$, отвечающем этим двум дугам круговых молекул? Рассмотрим атомы, отвечающие трем дугам $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$ бифуркационной диаграммы (рис. 1.8). Выделим область, ограниченную этими тремя дугами. Каждая ее точка изображает тор Лиувилля. Двигаясь вдоль вертикального отрезка $\tau$, этот тор порождает искомое ребро молекулы $W^{*}(\tau)$. Двигаясь вдоль двух дуг маленьких окружностей (рис. 1.8), тор Лиувилля порождает два ребра соответствующих круговых молекул. Когда тор Лиувилля пересекает отрезок бифуркационной диаграммы, в этот момент его можно рассматривать как граничный тор соответствующего атома. Поэтому на торе Лиувилля можно определить три допустимые системы координат $\left(\lambda_{1}, \mu_{1}\right),\left(\lambda_{2}, \mu_{2}\right),\left(\lambda_{3}, \mu_{3}\right)$, отвечающие каждой из дуг $\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$. Следовательно, матрица перехода от дуги $\gamma_{1}$ к дуге $\gamma_{3}$ является произведением двух других матриц перехода, а именно, от дуги $\gamma_{1}$ к дуге $\gamma_{2}$ и от дуги $\gamma_{2}$ к дуге $\gamma_{3}$. Это позволяет написать следующую формулу, связывающую метки на фрагментах круговых молекул с меткой на отрезке $\tau$.
Предложение 1.2. Если $r$-метки на указанных дугах круговых молекул (рис. 1.8) равны соответственно $\frac{p}{q}$ и $\frac{s}{t}$, то $r$-метка на отрезке равна
\[
\frac{(s+m t) p+t \gamma}{(s+m t) q+t \delta}
\]

где $m$ – некоторое целое число, а целые числа $\gamma$ и однозначно вычисляются из условий $p \delta-q \gamma=-1$ и $0 \leqslant \delta<|q|$.
Рис. 1.8
Доказательство сразу следует из правила перемножения матриц склеек.

Видно, что в общем случае $r$-метка на ребре $\tau$ однозначно не определяется по $\frac{p}{q}$ и $\frac{s}{t}$, поскольку в ответе присутствует произвольный параметр $m$. Однако в некоторых частных случаях формула предложения 1.2 позволяет получить точный ответ.
Следствие. Если одна из г-меток на рис. 1.8 равна бесконечности, то тогда результирующая $r$-метка на ребре $\tau$ совпадает с другой $r$-меткой. В частности, если $q=0$, то результирующал $r$-метка совпадает с меткой $\frac{s}{t}$.

Другими словами, если «напротив» отрезка $\tau$ расположены две метки, из которых одна равна бесконечности, то метка на ребре $\tau$ попросту совпадает с другой меткой.