По поводу эквивалентности задач Эйлера и Якоби можно задать еще один вопрос: будут ли они при каких-нибудь значениях своих параметров топологически сопряжены? Другими словами, существует ли гомеоморфизм между изоэнергетическими поверхностями, переводящий гамильтонов поток в гамильтонов поток (с сохранением времени вдоль траекторий)? Отрицательный ответ на этот вопрос был получен 0. Е. Орел [152], [153].

Прежде всего поясним, что задача Эйлера и задача Якоби с точки зрения сопряженности являются трехпараметрическими. Выше, когда мы говорили о траекторной эквивалентности, параметров было по существу два, поскольку тройки $(A, B, C)$ и $(a, b, c)$ следовало рассматривать с точностью до пропорциональности — при гомотетии траекторный тип системы не менялся. Теперь же абсолютные величины полуосей эллипсоида и главных моментов инерции твердого тела являются существенными. Отметим, что в случае $a=b=c$ эллипсоид превращается в сферу. Аналогично, при $A=B=C$ система Эйлера описывает динамику твердого однородного шара. Легко видеть, что в этом случае обе системы просто совпадают, и мы исключим этот тривиальный случай из рассмотрения.
Теорема 7.4. Геодезический поток любого эллипсода (отличного от сферы), ограниченный на любое трехмерное многообразие постоянной энергии, топологически не сопряжен никакой системе случая Эйлера. Другими словами, ни при каких значениях параметров $a, b, c$ и $A, B, C$ (за исключением $a=b=c$ $u A=B=C)$ системы $v_{J}(a, b, c)$ и $v_{E}(A, B, C)$ топологически не сопряжены. Доказательство.

Для доказательства нужно снова подсчитать и сравнить некоторые инварианты исследуемых динамических систем.

Как было показано выше, топологический орбитальный тип интегрируемой системы в данном случае полностью определяется двумя инвариантами $k(a, b, c)$ и $l(a, b, c)$ для задачи Якоби и соответственно инвариантами $K(A, B, C)$ и $L(A, B, C)$ для задачи Эйлера. Эти инварианты имеют естественный смысл. Дело в том, что каждая из сравниваемых нами динамических систем имеет по две периодические устойчивые траектории. Инварианты $k$ и $l$ являются пределами чисел вращения динамической системы при стремлении торов Лиувилля к этим траекториям (в пределе тор вырождается и превращается в окружность). В задаче Якоби эти периодические траектории отвечают двум замкнутым устойчивым геодезическим, являющимися экваториальными плоскими сечениями эллипсоида в направлениях, перпендикулярных его наибольшей и наименьшей полуосям. А в случае задачи Эйлера аналогичные периодические траектории отвечают вращениям твердого тела вокруг его максимальной и минимальной осей инерции. Здесь соответствующие пределы чисел вращения дают нам инварианты $K$ и $L$.

Отметим, что инварианты $k, l$ и $K, L$ являются функциями от параметров $a, b, c$ и $A, B, C$ соответственно. Условия, необходимые и достаточные для траекторной топологической эквивалентности рассматриваемых систем, имеют при этом вид
\[
k(a, b, c)=K(A, B, C) \quad \text { и } \quad l(a, b, c)=L(A, B, C) .
\]

Но поскольку сейчас нас интересует проблема сравнения этих двух систем с точки зрения их сопряженности, следует добавить к двум упомянутым выше инвариантам по крайней мере еще три новых инварианта. Таковыми являются периоды трех замкнутых особых траекторий. Две из них были описаны выше. Нужно добавить к ним еще одну периодическую неустойчивую траекторию гиперболическую геодезическую на эллипсоиде и соответственно неустойчивое вращение твердого тела вокруг средней оси инерции. Обозначим эти три дополнительные инварианта через $t_{1}, t_{2}, t_{3}$ для задачи Якоби и через $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ для задачи Эйлера. В результате топологический класс сопрнженности системы Якоби определяется набором инвариантов, заведомо включающих в себя следующие пять чисел:
\[
k, l, t_{1}, t_{2}, t_{3},
\]

а для системы Эйлера соответственно:
\[
K, L, T_{1}, T_{2}, T_{3} .
\]

Полезно привести явные выражения для периодов замкнутых траекторий в задачах Эйлера в Якоби. В задаче Якоби период замкнутой геодезической просто равен ее длине. Поэтому для периодов в задаче Якоби получаем:
\[
\begin{aligned}
t_{1} & =\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{a \cos ^{2} t+b \sin ^{2} t} d t, \\
t_{2} & =\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{a \cos ^{2} t+c \sin ^{2} t} d t, \\
t_{3} & =\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{b \cos ^{2} t+c \sin ^{2} t} d t .
\end{aligned}
\]

В случае задачи Эйлера периоды движения по трем замкнутым траекториям имеют такой вид:
\[
T_{1}=\pi \sqrt{2 C}, \quad T_{2}=\pi \sqrt{2 B}, \quad T_{3}=\pi \sqrt{2 A} .
\]

В обоих случаях мы предполагаем, что энергия $H$ равна 1 , т.е. что уровень энергии для обоих задач фиксирован.

Поскольку задача Якоби является трехпараметрической, то, сопоставляя каждому трехосному эллипсоиду указанные выше пять чисел, мы получим гладкое отображение трехмерного множества всех трехосных эллипсоидов в пятимерное евклидово пространство. В результате получим некоторую 3 -поверхность в $\mathbb{R}^{5}$. Обозначим ее через $J^{3}$. Поступая по той же схеме для случая Эйлера, мы также получаем некоторую 3 -поверхность $E^{3}$ в том же пятимерном пространстве $\mathbb{R}^{5}$.

Чтобы доказать топологическую несопрнженность задач Эйлера и Якоби, достаточно убедиться, что эти две трехмерные поверхности не пересекаются в $\mathbb{R}^{5}$ за исключением одной точки, отвечающей случаю $a=b=c$ и $A=B=C$, т. е. случаю стандартной 2-сферы. Этот факт может быть проверен аналитически (см. [152], [153]).