В настоящей главе будут вкратце изложены результаты вычислений топологических инвариантов для основных случаев интегрируемости. Молекулы $W$ для этих случаев были первоначально вычислены А. А. Ошемковым [154], [156], [350]. Затем разными авторами были определены числовые метки на этих молекулах, что позволило в итоге вычислить меченые молекулы $W^{*}$. См. А. В. Болсинов [249], П.Й.Топалов [198], А.В.Болсинов, А.Т.Фоменко [35], [38], О.Е.Орел [147], О. Е. Орел, Ш. Такахаши [150]. В результате была получена лиувиллева классификация основных случаев интегрируемости в динамике твердого тела. Эта классификация и будет описана в настоящей главе.

Классические уравнения Эйлера-Пуассона, описывающие движение твердого тела с закрепленной точкой в поле силы тяжести, в системе координат, оси которой направлены вдоль главных осей инерции тела, имеют следующий вид. См. например [82], [14].
\[
\begin{aligned}
A \dot{\omega} & =A \omega \times \omega-P r \times
u, \\
\dot{
u} & =
u \times \omega .
\end{aligned}
\]

Фазовые переменные системы здесь таковы: $\omega$ – вектор угловой скорости, $
u$ – единичный вертикальный вектор. Параметрами системы являются: диагональная матрица $A=\operatorname{diag}\left(A_{1}, A_{2}, A_{3}\right)$, задающая тензор инерции твердого тела, $P$ – вес тела, $r$ – вектор с началом в неподвижной точке и концом в центре масс тела. Запись $a \times b$ означает векторное произведение в $\mathbb{R}^{3}$.

Вектор $A \omega$ имеет смысл кинетического момента твердого тела относительно неподвижной точки. Н. Е. Жуковский исследовал задачу о движении твердого тела, имеющего полости, целиком заполненные идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей безвихревое движение [68]. В этом случае кинетический момент тела равен $A \omega+\lambda$. Здесь $\lambda$ – постоянный (в системе координат, связанной с телом) вектор, характеризующий циклические движения жидкости в полостях. Аналогичный вид кинетический момент тела имеет в случае, когда в теле закреплен маховик, ось которого направлена вдоль вектора $\lambda$. Такую механическую систему называют гиростатом. Движение гиростата в поле силы тяжести, а также некоторые другие задачи механики (см., например, [221]) описываются системой уравнений
\[
\begin{aligned}
A \dot{\omega} & =(A \omega+\lambda) \times \omega-P r \times v, \\
\dot{
u} & =
u \times \omega,
\end{aligned}
\]

частным случаем которой при $\lambda=0$ является система (1.1).
Другое обобщение уравнений (1.1) связано с заменой внешнего однородного поля, т.е. силы тяжести, на более сложное. Уравнения движения твердого тела с закрепленной точкой в произвольном потенциальном силовом поле были получены Лагранжем. Если это поле имеет ось симметрии, то ее можно считать вертикальной, и уравнения примут вид:
\[
\begin{aligned}
A \dot{\omega} & =A \omega \times \omega+
u \times \frac{\partial U}{\partial
u}, \\
\dot{
u} & =
u \times \omega,
\end{aligned}
\]

где $U(
u)$ – потенциальная функция, а через $\frac{\partial U}{\partial
u}$ обозначен вектор с координатами $\left(\frac{\partial U}{\partial
u_{1}}, \frac{\partial U}{\partial
u_{2}}, \frac{\partial U}{\partial
u_{3}}\right)$. При $U=P\langle r,
u\rangle$ получаем систему уравнений (1.1). Здесь через $\langle a, b\rangle$ обозначено стандартное евклидово скалярное произведение векторов в $\mathbb{R}^{3}$.

Естественно, обобщения уравнения (1.2) и (1.3) можно комбинировать, рассматривая движение гиростата в осесимметричном силовом поле и т. п. Наиболее общие уравнения, описывающие различные задачи динамики твердого тела, имеют вид (см., например, книгу М.П.Харламова [219]):
\[
\begin{aligned}
A \dot{\omega} & =(A \omega+\varkappa) \times \omega+
u \times \frac{\partial U}{\partial
u}, \\
\dot{
u} & =
u \times \omega,
\end{aligned}
\]

где $\varkappa(
u)$ – вектор-функция, компоненты которой являются коэффициентами некоторой замкнутой 2 -формы на группе вращений $S O(3)$, т. е. формы гироскопических сил. При этом вектор-функция $\varkappa(
u)$ не произвольна, а имеет вид:
\[
\varkappa=\lambda+(\Lambda-\operatorname{div} \lambda \cdot E)
u,
\]

где $\lambda(
u)-$ произвольная вектор-функция, $\operatorname{div} \lambda=\frac{\partial \lambda_{1}}{\partial
u_{1}}+\frac{\partial \lambda_{2}}{\partial
u_{2}}+\frac{\partial \lambda_{3}}{\partial
u_{3}}$,
а $\Lambda=\left(\frac{\partial \lambda_{i}}{\partial
u_{j}}\right)^{T}$ – транспонированная матрица Якоби. Очевидно, системы (1.1)-
(1.3) являются частными случаями общей системы (1.4).
У системы (1.4) всегда существуют геометрический интеграл
\[
F=\langle
u,
u\rangle=1
\]

и интеграл энергии
\[
E=\frac{1}{2}\langle A \omega, \omega\rangle+U(
u) .
\]

Если вектор-функция $\varkappa(
u)$ имеет вид (1.5), то существует интеграл площадей
\[
G=\langle A \omega+\lambda,
u\rangle .
\]

Как мы сейчас покажем, уравнения (1.4), (1.5) являются гамильтоновыми на совместных 4-поверхностях уровня геометрического интеграла и интеграла площадей. См., например, [219]. Более того, уравнения (1.4), (1.5) можно представить в виде уравнений Эйлера для 6-мерной алгебры Ли $e(3)$ группы движений трехмерного евклидова пространства.

На линейном пространстве $e(3)^{*}$ определена скобка Ли-Пуассона двух произвольных гладких функций $f$ и $g$ :
\[
\{f, g\}(x)=x\left(\left[d_{x} f, d_{x} g\right]\right),
\]

где $x \in e(3)^{*}$, через $[$,$] обозначен коммутатор в алгебре Ли e(3)$, а $d_{x} f$ и $d_{x} g$ это дифференциалы функций $f$ и $g$ в точке $x$. Эти дифференциалы принадлежат в действительности алгебре Ли $e(3)$, как ковекторы на $e(3)^{*}$, при стандартном отождествлении пространства $e(3)^{* *}$ с алгеброй $e(3)$. В естественных координаTax
\[
S_{1}, S_{2}, S_{3}, R_{1}, R_{2}, R_{3}
\]

на пространстве $e(3)^{*}$ эта скобка записывается следующим образом:
\[
\left\{S_{i}, S_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} S_{k}, \quad\left\{R_{i}, S_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} R_{k}, \quad\left\{R_{i}, R_{j}\right\}=0,
\]

где $\{i, j, k\}=\{1,2,3\}$, а $\varepsilon_{i j k}=\frac{1}{2}(i-j)(j-k)(k-i)$.
Гамильтонова система на пространстве $e(3)^{*}$ со скобкой (1.6), т. е. уравнения Эйлера, по определению имеют вид:
\[
\dot{S}_{i}=\left\{S_{i}, H\right\}, \quad \dot{R}_{i}=\left\{R_{i}, H\right\},
\]

где $H$ – функция на $e(3)^{*}$, называемая гамильтонианом. Вводя векторы
\[
S=\left(S_{1}, S_{2}, S_{3}\right) \quad \text { и } \quad R=\left(R_{1}, R_{2}, R_{3}\right),
\]

эти уравнения можно переписать в виде обобщенных уравнений Кирхгофа:
\[
\dot{S}=\left(\frac{\partial H}{\partial S}\right) \times S+\left(\frac{\partial H}{\partial R}\right) \times R, \quad \dot{R}=\left(\frac{\partial H}{\partial S}\right) \times R .
\]

Предложение 5.1. Отображение $\varphi: \mathbb{R}^{6}(\omega,
u) \rightarrow \mathbb{R}^{6}(S, R)$, заданиое формулами
\[
S=-(A \omega+\lambda), \quad R=
u,
\]

устанавливает изоморфизм системы (1.4), (1.5) и системы (1.7) с гамильтонианом
\[
H=\frac{\left(S_{1}+\lambda_{1}\right)^{2}}{2 A_{1}}+\frac{\left(S_{2}+\lambda_{2}\right)^{2}}{2 A_{2}}+\frac{\left(S_{3}+\lambda_{3}\right)^{2}}{2 A_{3}}+U,
\]

где параметры $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ и функции $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, U$ берутся из системы (1.4), (1.5), но функции заданы не на пространстве $\mathbb{R}^{3}(
u)$, а на пространстве $\mathbb{R}^{3}(R)$.

Доказательство.
Достаточно показать, что дифференциал $d \varphi$ отображения (1.8) переводит векторное поле, определяемое системой (1.4), (1.5), в векторное поле, определяемое системой (1.7), (1.9). В выбранных координатах дифференциал задается следующей матрицей размера $6 \times 6$ :
\[
d \varphi=\left(\begin{array}{cc}
-A & -\Lambda^{\mathrm{T}} \\
0 & E
\end{array}\right) .
\]

Таким образом, надо показать, что для любой точки $P$ из $\mathbb{R}^{6}(\omega,
u)$ выполнено равенство:
\[
\left(\begin{array}{cc}
-A & -\Lambda^{\mathrm{T}} \\
0 & E
\end{array}\right)_{P}\left(\begin{array}{l}
\dot{\omega} \\
\dot{
u}
\end{array}\right)_{P}=\left(\begin{array}{l}
\dot{S} \\
\dot{R}
\end{array}\right)_{\varphi(P)} .
\]

Вычисляя, получаем:
\[
\begin{aligned}
\dot{S} & =\left(\frac{\partial H}{\partial S}\right) \times S+\left(\frac{\partial H}{\partial R}\right) \times R= \\
& =\left(A^{-1}(S+\lambda)\right) \times S+\left(\Lambda A^{-1}(S+\lambda)\right) \times R+\left(\frac{\partial U}{\partial R}\right) \times R \\
-A \dot{\omega}-\Lambda^{T} \dot{
u} & =-(A \omega+\lambda+(\Lambda-\operatorname{div} \lambda \cdot E)
u) \times \omega-
u \times\left(\frac{\partial U}{\partial
u}\right)-\Lambda^{T}(
u \times \omega)= \\
& =\omega \times(A \omega+\lambda)-\left((\Lambda
u) \times \omega+\Lambda^{T}(
u \times \omega)-\operatorname{div} \lambda(
u \times \omega)\right)+\left(\frac{\partial U}{\partial
u}\right) \times
u= \\
& =\omega \times(A \omega+\lambda)-(\Lambda \omega) \times
u+\left(\frac{\partial U}{\partial
u}\right) \times
u
\end{aligned}
\]

Здесь использована формула
\[
C a \times b+a \times(C b)+C^{T}(a \times b)=\operatorname{trace} C(a \times b),
\]

которая справедлива для любой матрицы $C$ и векторов $a, b$ из $\mathbb{R}^{3}$. Сравнивая полученные выражения и учитывая (1.8), получаем, что
\[
\dot{S}(\varphi(P))=\left(-A \dot{\omega}-\Lambda^{T} \dot{
u}\right)(P) .
\]

Равенство $\dot{R}(\varphi(P))=\dot{
u}(P)$ проверяется аналогично. Предложение доказано.

Следствие. Условие (1.5), налагаемое на вектор-функцию $\varkappa(
u)$, равносильно тому, что система уравнений (1.4) эквивалентна системе, задаваемой уравнениями Эйлера на пространстве е $(3)^{*}$, т.е. уравнениями (1.7), с гамильтонианом, квадратичным по переменным $S$, то есть с гамильтонианом вида
\[
H=\langle C S, S\rangle+\langle W, S\rangle+V,
\]

где $C$ – постоянная симметричная матрица размера $3 \times 3$, затем $W(R)$ произвольная вектор-функция, и $V(R)$ – произвольная гладкая функция.
Доказательство.
Достаточность условия (1.5) уже доказана. Докажем необходимость. Пусть система (1.4) с параметрами $A, \varkappa, U$ эквивалентна системе (1.7) с некоторым гамильтонианом вида (1.10). Заметим, что ортогональным вращением по переменным $S$, то есть линейной заменой координат в пространстве $e(3)^{*}$, сохраняющей скобку (1.6), мы можем привести гамильтониан (1.10) к виду (1.9) с некоторыми параметрами $\tilde{A}, \tilde{\lambda}, \tilde{U}$. Таким образом, мы получаем, что две системы вида (1.4) с параметрами $(A, \varkappa, U)$ и $(\widetilde{A}, \widetilde{\varkappa}, \widetilde{U})$ задают один и тот же поток в $\mathbb{R}^{6}(\omega,
u)$. Легко проверяется, что это возможно тогда и только тогда, когда выполнены соотношения:
\[
A=k \tilde{A}, \quad \varkappa(
u)=k \tilde{\varkappa}(
u), \quad U(
u)=k \widetilde{U}(
u)+\psi\left(
u_{1}^{2}+
u_{2}^{2}+
u_{3}^{2}\right),
\]

где $k$ – постоянная, а $\psi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ – некоторая функция. Так как $\tilde{\varkappa}$ имеет вид (1.5), то
\[
\varkappa=\lambda+(\Lambda-\operatorname{div} \lambda)
u,
\]

где $\lambda=k \tilde{\lambda}$. Следствие доказано.
При построенном отображении (1.8) интегралы $F=\langle
u,
u\rangle$ и $G=\langle A \omega+\lambda,
u\rangle$ переходят в инварианты алгебры Ли $e(3)$ :
\[
f_{1}=R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{3}^{2}, \quad f_{2}=S_{1} R_{1}+S_{2} R_{2}+S_{3} R_{3},
\]

а интеграл энергии $E=\frac{1}{2}\langle A \omega, \omega\rangle+U(
u)$ переходит в гамильтониан (1.9). Система (1.7) является гамильтоновой на совместных четырехмерных поверхностях уровня двух гладких функций, т.е. интегралов $f_{1}$ и $f_{2}$ :
\[
M_{c, g}^{4}=\left\{f_{1}=R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{3}^{2}=c, f_{2}=S_{1} R_{1}+S_{2} R_{2}+S_{3} R_{3}=g\right\} .
\]

Для почти всех значений $c$ и $g$ эти совместные уровни являются неособыми гладкими подмногообразиями в $e(3)^{*}$. В дальнейшем будем считать, что $c$ и $g$ являются именно такими регулярными значениями.

Легко видеть, что эти симплектические 4 -многообразия $M_{c, g}^{4}$ диффеоморфны, при $c>0$, касательному расслоению $T S^{2}$ к двумерной сфере $S^{2}$. Симплектическая структура задается здесь ограничением скобки Ли-Пуассона на $T S^{2}$ из объемлющего 6-мерного пространства $e(3)^{*}$. Поскольку линейное преобразование $S^{\prime}=S, R^{\prime}=\gamma R$, где $\gamma=$ const, очевидно, сохраняет скобку (1.6), мы будем считать в дальнейшем, что всегда $c=1$.

Как уже отмечалось, система уравнений (1.7) с гамильтонианом (1.9) (или эквивалентная система уравнений (1.4), (1.5)) описывает различные задачи динамики твердого тела и некоторые близкие к ней системы.

Итак, начиная с этого момента мы будем рассматривать систему уравнений (1.7) с гамильтонианом (1.9) на симплектических 4-многообразиях $M_{1, g}^{4}=\left\{f_{1}=1, f_{2}=g\right\}$ в 6 -мерном пространстве $e(3)^{*}$. В каждой физической задаче фазовые переменные и параметры системы приобретают конкретный физический смысл.

Ниже приведен список основных известных сегодня интегрируемых случаев для уравнений $(1.7),(1.9)$ с указанием: кем, когда и для какой задачи этот случай интегрируемости был впервые обнаружен. Для каждого случая указаны гамильтониан $H$ и дополнительный интеграл $K$, функционально независимый с $H$. При этом дополнительный интеграл $K$ может существовать не на всех 4 -поверхностях уровня функций $f_{1}$ и $f_{2}$, а лишь для некоторых значений постоянной $g$. Такие примеры мы приведем ниже.

Случай Эйлера (1750 год). Движение тяжелого твердого тела с закрепленной точкой, совпадающей с центром масс твердого тела.
\[
H=\frac{S_{1}^{2}}{2 A_{1}}+\frac{S_{2}^{2}}{2 A_{2}}+\frac{S_{3}^{2}}{2 A_{3}}, \quad K=S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2} .
\]

Здесь интеграл $K-$ квадратичный.
Случай Лагранжа (1788 год). Движение тяжелого твердого тела с закрепленной точкой и указанным ниже условием симметрии твердого тела.
\[
H=\frac{S_{1}^{2}}{2 A}+\frac{S_{2}^{2}}{2 A}+\frac{S_{3}^{2}}{2 B}+a R_{3}, \quad K=S_{3} .
\]

Здесь интеграл $K$ – линейный. В этом случае твердое тело имеет ось симметрии, поскольку $A_{1}=A_{2}=A$. При этом закрепленная точка твердого тела находится как раз на этой оси.

Случай Ковалевской (1899 год). Движение тяжелого твердого тела с закрепленной точкой и специальными условиями симметрии, указанными ниже.
\[
\begin{array}{l}
H=\frac{S_{1}^{2}}{2 A}+\frac{S_{2}^{2}}{2 A}+\frac{S_{3}^{2}}{A}+a_{1} R_{1}+a_{2} R_{2}, \\
K=\left(\frac{S_{1}^{2}-S_{2}^{2}}{2 A}+a_{2} R_{2}-a_{1} R_{1}\right)^{2}+\left(\frac{S_{1} S_{2}}{A}-a_{1} R_{2}-a_{2} R_{1}\right)^{2} .
\end{array}
\]

Здесь интеграл $K$ – четвертой степени. В этом случае $A_{1}=A_{2}=2 A_{3}$, и центр масс тела расположен в плоскости симметрии тела, отвечающей первым двум осям инерции тела, то есть в экваториальной плоскости эллипсоида инерции.

Случай Горячева-Чаплыгина (1899 год). Движение тяжелого твердого тела с закрепленной точкой и специальными условиями симметрии, указанными ниже.
\[
\begin{array}{l}
H=\frac{S_{1}^{2}}{2 A}+\frac{S_{2}^{2}}{2 A}+\frac{2 S_{3}^{2}}{A}+a_{1} R_{1}+a_{2} R_{2}, \\
K=S_{3}\left(S_{1}^{2}+S_{2}^{2}\right)-A R_{3}\left(a_{1} S_{1}+a_{2} S_{2}\right) .
\end{array}
\]

Здесь интеграл $K$ – третьей степени. В этом случае $A_{1}=A_{2}=4 A_{3}$, и центр масс тела расположен в плоскости симметрии тела, отвечающей первым двум осям инерции тела, то есть в экваториальной плоскости эллипсоида инерции.
Здесь скобка Пуассона функций $H$ и $K$ выглядит так:
\[
\{H, K\}=\left(S_{1} R_{1}+S_{2} R_{2}+S_{3} R_{3}\right)\left(a_{2} S_{1}-a_{1} S_{2}\right) .
\]

Отсюда видно, что функции $H$ и $K$ не находятся в инволюции на всех 4-многообразиях $M_{1, g}^{4}$, поэтому система интегрируема лишь на одной специальной 4 -поверхности $\left\{f_{1}=1, f_{2}=0\right\}$, то есть на $M_{1,0}^{4}$. Это – случай так называемой частичной интегрируемости, отвечающий нулевому значению интеграла площадей $f_{2}$.

Все эти четыре случая интегрируемости допускают интегрируемые обобщения путем добавления гироскопических сил.
Случай Жуковского (1885 год). Движение гиростата в поле силы тяжести.
\[
\begin{array}{l}
H=\frac{\left(S_{1}+\lambda_{1}\right)^{2}}{2 A_{1}}+\frac{\left(S_{2}+\lambda_{2}\right)^{2}}{2 A_{2}}+\frac{\left(S_{3}+\lambda_{3}\right)^{2}}{2 A_{3}}, \\
K=S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2} .
\end{array}
\]

Здесь интеграл $K$ – квадратичный. Этот случай является обобщением случая Эйлера. Случай Эйлера получается отсюда, когда все $\lambda_{i}$ равны нулю.
Случай Лагранжа с гиростатом.
\[
H=\frac{S_{1}^{2}}{2 A}+\frac{S_{2}^{2}}{2 A}+\frac{\left(S_{3}+\lambda\right)^{2}}{2 B}+a R_{3}, \quad K=S_{3} .
\]

Классический случай Лагранжа получится при $\lambda=0$.
Случай Ковалевской-Яхьи (1986 год). Движение гиростата в поле силы тяжести.
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{S_{1}^{2}}{2 A}+\frac{S_{2}^{2}}{2 A}+\frac{\left(S_{3}+\lambda\right)^{2}}{A}+a_{1} R_{1}+a_{2} R_{2} \\
K=\left(\frac{S_{1}^{2}-S_{2}^{2}}{2 A}+a_{2} R_{2}-a_{1} R_{1}\right)^{2}+\left(\frac{S_{1} S_{2}}{A}-a_{1} R_{2}-a_{2} R_{1}\right)^{2}- \\
\quad-\frac{2 \lambda}{A^{2}}\left(S_{3}+2 \lambda\right)\left(S_{1}^{2}+S_{2}^{2}\right)+\frac{4 \lambda R_{3}}{A}\left(a_{1} S_{1}+a_{2} S_{2}\right) .
\end{array}
\]

Здесь интеграл $K$ – четвертой степени. Классический случай Ковалевской получается при $\lambda=0$.
Случай Сретенского (1963 год). Движение гиростата в поле силы тяжести.
\[
\begin{array}{l}
H=\frac{S_{1}^{2}}{2 A}+\frac{S_{2}^{2}}{2 A}+\frac{2\left(S_{3}+\lambda\right)^{2}}{A}+a_{1} R_{1}+a_{2} R_{2}, \\
K=\left(S_{3}+2 \lambda\right)\left(S_{1}^{2}+S_{2}^{2}\right)-A R_{3}\left(a_{1} S_{1}+a_{2} S_{2}\right) .
\end{array}
\]

Здесь интеграл $K$ – третьей степени. Здесь $A_{1}=A_{2}=4 A_{3}$. Этот случай является обобщением случая Горячева-Чаплыгина, который получается из него, когда параметр $\lambda$ равен нулю.

Здесь, как и в случае Горячева-Чаплыгина, система интегрируема лишь на одной 4 -поверхности $\left\{f_{1}=1, f_{2}=0\right\}$.
Случай Клебша (1871 год). Движение твердого тела в жидкости.
\[
\begin{array}{l}
H=\frac{S_{1}^{2}}{2 A_{1}}+\frac{S_{2}^{2}}{2 A_{2}}+\frac{S_{3}^{2}}{2 A_{3}}+\frac{\varepsilon}{2}\left(A_{1} R_{1}^{2}+A_{2} R_{2}^{2}+A_{3} R_{3}^{2}\right), \\
K=\frac{1}{2}\left(S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}\right)-\frac{\varepsilon}{2}\left(A_{2} A_{3} R_{1}^{2}+A_{3} A_{1} R_{2}^{2}+A_{1} A_{2} R_{3}^{2}\right) .
\end{array}
\]

Здесь интеграл $K$ – квадратичный.
Случай Стеклова (1893 год). Движение твердого тела в жидкости.
\[
\begin{aligned}
H= & \frac{S_{1}^{2}}{2 A_{1}}+\frac{S_{2}^{2}}{2 A_{2}}+\frac{S_{3}^{2}}{2 A_{3}}+\varepsilon\left(A_{1} S_{1} R_{1}+A_{2} S_{2} R_{2}+A_{3} S_{3} R_{3}\right)+ \\
& +\frac{\varepsilon^{2}}{2}\left(A_{1}\left(A_{2}^{2}+A_{3}^{2}\right) R_{1}^{2}+A_{2}\left(A_{3}^{2}+A_{1}^{2}\right) R_{2}^{2}+A_{3}\left(A_{1}^{2}+A_{2}^{2}\right) R_{3}^{2}\right), \\
K= & \left(S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}\right)-2 \varepsilon\left(A_{2} A_{3} S_{1} R_{1}+A_{3} A_{1} S_{2} R_{2}+A_{1} A_{2} S_{3} R_{3}\right)+ \\
& +\varepsilon^{2}\left(A_{1}^{2}\left(A_{2}-A_{3}\right)^{2} R_{1}^{2}+A_{2}^{2}\left(A_{3}-A_{1}\right)^{2} R_{2}^{2}+A_{3}^{2}\left(A_{1}-A_{2}\right)^{2} R_{3}^{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Здесь интеграл $K$ – квадратичный.
При топологическом исследовании перечисленных случаев интегрируемости неоднократно приходится решать задачу нахождения критических точек функции, заданной на совместной поверхности уровня других функций. Кроме того, приходится вычислять индексы этих критических точек. Ниже описан один из возможных способов таких вычислений, используемый в дальнейшем.
Пусть в $\mathbb{R}^{n}$ заданы гладкие функции $h_{0}, h_{1}, \ldots, h_{m}$, и пусть
\[
M^{n-m}=\left\{h_{1}=p_{1}, \ldots, h_{m}=p_{m}\right\}
\]
— их неособая совместная поверхность уровня, т. е. векторы
\[
\operatorname{grad} h_{1}, \ldots, \operatorname{grad} h_{m}
\]

линейно независимы в каждой точке $x \in M^{n-m} \subset \mathbb{R}^{n}$. Точка $x_{0} \in M^{n-m}$ будет критической для функции $\widetilde{h}_{0}=\left.h_{0}\right|_{M}$ тогда и только тогда, когда существует такой набор чисел $\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}\right)$, что
\[
\operatorname{grad} h_{0}\left(x_{0}\right)=\sum_{i=1}^{m} \lambda_{i} \operatorname{grad} h_{i}\left(x_{0}\right) .
\]

Рассмотрим матрицу
\[
G=G_{0}-\sum_{i=1}^{m} \lambda_{i} G_{i}
\]

где $G_{i}$ – гессиан функции $h_{i}$ в точке $x_{0}$, а числа $\lambda_{i}$ берутся из (1.22). Гессиан функции в критической точке – это симметричная матрица, составленная из вторых частных производных функции. При заменах координат она меняется по тензорному закону и корректно определяет некоторую квадратичную форму на касательных векторах в критической точке. Число отрицательных собственных значений этой формы называется индексом критической точки, а число нулевых собственных значений – степенью вырождения критической точки.
Лемма 5.1. Пусть для точки $x_{0}$ из $M^{n-m} \subset \mathbb{R}^{n}$ выполнено условие (1.22). Тогда квадратичная форма, определяемая гессианом функции $\widetilde{h}_{0}=\left.h_{0}\right|_{\text {м }}$ в точке $x_{0}$, является ограничением формы, определяемой матрицей (1.23), на касательное пространство $T_{x_{0}} M^{n-m}$.
Доказательство.
Пусть $\gamma(t) \subset M^{n-m}$ – произвольная гладкая кривая такая, что $\gamma(0)=x_{0}$. Тогда значение квадратичной формы, определяемой гессианом функции $\widetilde{h}_{0}$, на векторе $a=\dot{\gamma}(0)$ из касательной плоскости $T_{x_{0}} M^{n-m}$ равно
\[
\begin{aligned}
\widetilde{G}_{0}(a, a) & =\left.\frac{d^{2}}{d t^{2}}\right|_{t=0} \tilde{h}_{0}(\gamma(t))=\left.\frac{d^{2}}{d t^{2}}\right|_{t=0} h_{0}(\gamma(t))= \\
& =G_{0}(a, a)+\left\langle\operatorname{grad} h_{0}\left(x_{0}\right), \ddot{\gamma}(0)\right\rangle= \\
& =G_{0}(a, a)+\sum_{i=1}^{m} \lambda_{i}\left\langle\operatorname{grad} h_{i}\left(x_{0}\right), \ddot{\gamma}(0)\right\rangle= \\
& =G_{0}(a, a)+\sum_{i=1}^{m} \lambda_{i}\left(\left.\frac{d^{2}}{d t^{2}}\right|_{t=0} h_{i}(\gamma(t))-G_{i}(a, a)\right)= \\
& =G(a, a),
\end{aligned}
\]

так как $h_{i}(\gamma(t))=p_{i}$ (тождественно). Здесь через $G_{i}(a, a)$ обозначено значение квадратичной формы с матрицей $G_{i}$ на векторе $a$, а через $\left\langle\operatorname{grad} h_{i}\left(x_{0}\right), \ddot{\gamma}(0)\right\rangle$ обозначена обычная свертка в $\mathbb{R}^{n}$ вектора $\ddot{\gamma}(0)$ и ковектора $\operatorname{grad} h_{i}\left(x_{0}\right)$. Лемма доказана.

Указанный способ вычислений удобен тем, что для нахождения индексов критических точек не надо вводить локальных систем координат на совместной поверхности уровня функций. Достаточно лишь выбрать некоторый базис в касательном пространстве к этой поверхности и вычислить значение формы (1.23) на базисных векторах.

Второе простое утверждение, часто упрощающее исследование, заключается в следующем. Пусть, как и выше, в $\mathbb{R}^{n}$ заданы некоторые функции $h_{1}, \ldots, h_{m}, f, g$, и пусть $M=\left\{h_{1}=p_{1}, \ldots, h_{m}=p_{m}\right\}$ – неособая совместная поверхность уровня функций $h_{1}, \ldots, h_{m}$. Рассмотрим отображение
\[
\widetilde{f} \times \widetilde{g}: M \rightarrow \mathbb{R}^{2},
\]

где $\tilde{f}=\left.f\right|_{M}, \tilde{g}=\left.g\right|_{M},(\tilde{f} \times \tilde{g})(x)=(\tilde{f}(x), \tilde{g}(x)) \in \mathbb{R}^{2}$. Пусть $K$ множество критических точек отображения $\tilde{f} \times \tilde{g}$, а $\gamma(t) \subset K-$ некоторая гладкая кривая, причем $\operatorname{grad} \tilde{f}
eq 0$ во всех точках кривой $\gamma(t)$. Отображение $\tilde{f} \times \widetilde{g}$ переводит кривую $\gamma(t)$ в некоторую кривую $(a(t), b(t))$ на плоскости $\mathbb{R}^{2}$, где $a(t)=f(\gamma(t))$, $b(t)=g(\gamma(t))$. Так как каждая точка кривой $\gamma(t)$ является критической для отображения $\tilde{f} \times \tilde{g}$, а $\operatorname{grad} \tilde{f}
eq 0$ в точках кривой, то существуют однозначно определенные функции $\lambda(t), \lambda_{1}(t), \ldots, \lambda_{m}(t)$ такие, что
\[
\operatorname{grad} g(\gamma(t))=\lambda(t) \operatorname{grad} f(\gamma(t))+\sum_{i=1}^{m} \lambda_{i}(t) \operatorname{grad} h_{i}(\gamma(t)) .
\]

Лемма 5.2. Для любого значения $t$ параметра кривой $\gamma(t)$ верно следующее соотношение:
\[
\frac{d b}{d t}=\lambda(t) \frac{d a}{d t}
\]

где $\lambda(t)$ – коэффициент при grad $f$ в разложении grad $g$ (1.24).
Доказательство.
Прямыми вычислениями получаем, что
\[
\begin{aligned}
\frac{d b}{d t} & =\frac{d}{d t}(g(\gamma(t))=\langle\operatorname{grad} g(\gamma(t)), \dot{\gamma}(t)\rangle= \\
& =\lambda(t)\langle\operatorname{grad} f(\gamma(t)), \dot{\gamma}(t)\rangle+\sum_{i=1}^{m} \lambda_{i}(t)\left\langle\operatorname{grad} h_{i}(\gamma(t)), \dot{\gamma}(t)\right\rangle= \\
& =\lambda(t) \frac{d}{d t}(f(\gamma(t)))+\sum_{i=1}^{m} \lambda_{i}(t) \frac{d}{d t}\left(h_{i}(\gamma(t))\right)= \\
& =\lambda(t) \frac{d a}{d t}
\end{aligned}
\]

так как $h_{i}(\gamma(t))=p_{i}$ (тождественно). Лемма доказана.
Указанное в лемме 5.2 соотношение позволяет устанавливать качественный вид кривой $(a(t), b(t))$. Например, знак производной $\frac{d \lambda}{d t}$ определяет выпуклость кривой. В частности, в точках перегиба $\frac{d \lambda}{d t}=0$.