3.4.1. Случай квадратичного интеграла

Напомним, что метрики с квадратично интегрируемыми геодезическими потоками на проективной плоскости описываются так. Поднимая эту метрику на сферу, получаем там метрику с тем же свойством. При исследовании метрик на сфере мы представили сферу как фактор-пространство тора по инволюции $\sigma$ и ввели класс метрик вида:
\[
d s^{2}=(f(x)+g(y))\left(d x^{2}+d y^{2}\right),
\]

где функции $f$ и $g$ удовлетворяют описанным выше условиям. Представим $\mathbb{R} P^{2}$ в виде фактор-пространства сферы, задав на ней инволюцию $\tau$, а именно:
\[
\tau((x, y),(-x,-y))=\left(\left(\frac{1}{2}-x, \frac{L}{2}+y\right),\left(x-\frac{1}{2},-\frac{L}{2}-y\right)\right) .
\]

Легко убедиться, что инволюция $\tau$ не имеет неподвижных точек на сфере. Эту инволюцию можно поднять до инволюции на торе, накрывающем сферу. Получится инволюция $\tau^{\prime}:(x, y) \rightarrow\left(\frac{1}{2}-x, \frac{L}{2}+y\right)$. Две инволюции на торе $\sigma$ и $\tau^{\prime}$ коммутируют между собой.

Отберем теперь из множества всех ( $L, f, g$ )-метрик те из них, которые инвариантны относительно инволюции $\tau$. Рассмотрим те функции $f$ и $g$, для которых
\[
f(x)+g(y)=f\left(\frac{1}{2}-x\right)+g\left(\frac{L}{2}+y\right) .
\]

Отсюда сразу следует, что $f(x)=f\left(\frac{1}{2}-x\right)$ и $g(y)=g\left(\frac{L}{2}+y\right)$. Учитывая четность функции $f$ (см. выше условие а) получаем, что $f(x)=f\left(x-\frac{1}{2}\right)$, т.е. функция $f$ просто должна быть периодической с периодом $\frac{1}{2}$. Кроме того, как мы уже видели, функция $g$ должна быть периодической с периодом $\frac{L}{2}$.

Выше было доказано, что любая метрика с квадратично интегрируемым геодезическим потоком на проективной плоскости может быть получена таким способом, т.е. она задается тремя параметрами: числом $L$, функциями $f$ и $g$. Мы хотим (как это мы делали ранее) изготовить молекулу для метрики на проективной плоскости из уже найденной нами молекулы для метрики на сфере. Для этого нужно понять, как действует инволюция $\tau$ на слоении Лиувилля в 3-многообразии $Q_{S^{2}}=\mathbb{R} P^{3}$.

Отметим сначала, что $\tau$ не имеет неподвижных точек на $\mathbb{R} P^{3}$, поэтому топология изоэнергетической поверхности $Q_{\mathbb{R} P^{2}}=\mathbb{R} P^{3} / \tau$ легко устанавливается. А именно, имеет место следующее утверждение.
Предложение 3.4. Изоэнергетическое 3 -многообразие $Q_{\mathbb{R} P^{2}}$ геодезического потока римановой метрики на проективной плоскости $\mathbb{R} P^{2}$ диффеоморфно линзовому пространству $L_{4,1}$.

Так как инволюция $\tau$ действует на $\mathbb{R} P^{3}$, то она действует и на молекуле $W$, отвечающей случаю сферы и показанной на рис. 3.30. Легко проверяется, что центральный атом $C_{2}$ и исходящие из него ребра остаются на месте, т. е. переходят в себя. Инволюция на 3 -атоме $C_{2}$ (представленном в виде прямого произведения 2-атома $C_{2}$ на окружность) является просто сдвигом вдоль оюружности-слоя на угол $\pi$ (поворот на угол $\pi$ ). А на кусках $W(f)$ и $W(g)$ действие инволюции описывается так. Заметим, что функции $f(x)$ на отрезке $\left[0, \frac{1}{2}\right]$ удовлетворяет дополнительному условию симметрии. Она симметрична относительно точки $x=\frac{1}{4}$. Это вытекает из ее четности и ее периодичности с периодом $\frac{1}{2}$. Отсюда следует, что функция $f(x)-p_{x}^{2}$ инвариантна относительно центральной симметрии диска, задаваемого неравенством $f(x)-p_{x}^{2}>0$. При этом центр симметрии находится в точке $\left(\frac{1}{4}, 0\right)$. Слоение Лиувилля имеет тип прямого произведения одномерного слоения на диске, умноженного на окружность. Инволюция на этом прямом произведении устроена так. Вдоль слоя нужно повернуть на угол $\pi$, а на диске-сечении нужно взять отражение в центре симметрии $\left(\frac{1}{4}, 0\right)$. Обозначим через $\widetilde{W}(f)$ молекулу, описывающую слоение Лиувилля, полученное факторизацией указанного прямого произведения на действию такой инволюции. Здесь следует различать два случая.

Первый — когда неподвижная точка инволюции на базе-диске является точкой локального максимума функции $f(x)-p_{x}^{2}$.
Второй — когда неподвижная точка инволюции является седловой критической точкой этой функции. В первом случае точка будет соответствовать атому $A$. Во втором случае после факторизации атома $V_{2 k-1}$ (на который попала неподвижная точка) получится атом $V_{k}^{*}$ с одной вершиной-звездочкой. См. рис.3.41.
Рис. 3.41
Совершенно аналогичную конструкцию нужно проделать и для функции $g(y)$. В результате получится молекула $\widetilde{W}(g)$.
Похожую процедуру мы уже проделали в случае бутылки Клейна. Отличие состоит в том, что там мы рассматривали события на кольце, а здесь — на диске. Поэтому структура молекул $\widetilde{W}(f)$ и $\widetilde{W}(g)$ легко извлекается из анализа бутылки Клейна.
В итоге мы получим молекулу $\widetilde{W}$, показанную на рис. 3.42 .
Поскольку действие инволюции $\tau$ на молекуле $W$, отвечающей сфере, нами описано, нетрудно подсчитать числовые метки на ребрах получающейся фактор-молекулы $\widetilde{W}$.
Рис. 3.43
В результате получится следующая теорема (подробности вычислений меток мы здесь уже опустим).
Теорема 3.10 (В.С.Матвеев). Рассмотрим на проективной плоскости метрику
\[
d s^{2}=(f(x)+g(y))\left(d x^{2}+d y^{2}\right) .
\]

Изоэнергетическое 3-многообразие $Q^{3}$ диффеоморфно здесь линзовому пространству $L_{4,1}$. Оно получается из $\mathbb{R} P^{3}$ факторизацией по действию инволюции, не имеющей неподвижных точек.

Тогда отвечающая этому геодезическому потоку молекула $\widetilde{W}$ имеет вид, показанный на рис. 3.42 , где молекулы $\widetilde{W}(f)$ $u \widetilde{W}(g)$ построены указанным выше способом. Числовые метки внутри каждой молекулы $\widetilde{W}(f)$ и $\widetilde{W}(g)$ аналогичны меткам, описанным в теореме классификации для бутылки Клейна.
а) В графах $\widetilde{W}(f)$ и $\widetilde{W}(g)$ метки таковы. На ребрах между седловыми атомами г-метки равны бесконечности. Между седловыми и атомами и атомами $A$ метки $r$ равны нулю, за исключением тех случаев, когда атом $A$ (т.е. локальный максимум функции) отвечает неподвижной точке инволюции $\tau$. См. рис. $3.16 \mathrm{~g}$. В этом случае $r$-метка равна $\frac{1}{2}$.
б) На оставшихся четырех (т.е. на центральных, инцидентных $с$ атомом $C_{2}$ ) ребрах молекулы $\widetilde{W}$ метки выглядят так, как показано на рис. 3.43. Здесь выделяются три различных случая в зависимости от того, сколько критических точек имеют функции $f(x)$ и $g(y)$. В соответствии с этим в молекуле будет либо одна семья, либо три семьи, либо пять семей.
Тем самым мы получаем полную лиувиллеву классификацию всех квадратично интегрируемых геодезических потоков на проективной плоскости. См. рис. 3.43.
Отметим появление здесь $n$-метки, равной $n=-4$.
3.4.2. Случай линейного интеграла

Как мы уже знаем, если на проективной плоскости задана метрика с линейно интегрируемым геодезическим потоком, то, взяв накрытие над $\mathbb{R} P^{2}$, мы можем поднять эту метрику на накрывающую сферу $S^{2}$. Геодезический поток поднятой метрики снова будет линейно интегрируемым. Лиувиллева классификация всех таких потоков на сфере была получена в теореме 3.9. Следовательно, чтобы получить из нее лиувиллеву классификацию линейно интегрируемых потоков на проективной плоскости, нужно рассмотреть действие инволюции $\tau$ на молекуле $W$, отвечающей накрывающей сфере, и действие $\tau$ на соответствующем сфере слоении Лиувилля. Затем профакторизовать слоение Лиувилля по этой инволюции. В результате и получится искомая молекула $\widetilde{W}$, описывающая линейно интегрируемые геодезические потоки на $\mathbb{R} P^{2}$.

Как и выше, обозначим метрику на сфере, полученную поднятием метрики с $\mathbb{R} P^{2}$, следующим образом:
\[
d s^{2}=d \theta^{2}+f(\theta) d \varphi^{2} .
\]

Отметим, что функция $f$ здесь не произвольна, поскольку метрика $d s^{2}$ должна быть инвариантна относительно инволюции $\tau$. Без ограничения общности можно считать, что координата $\theta$ определена на отрезке $\left[-\theta_{0}, \theta_{0}\right]$, а инволюция $\tau$ имеет вид:
\[
\tau:(\theta, \varphi) \rightarrow(-\theta,-\varphi) .
\]

Условие на функцию $f(\theta)$ состоит поэтому в том, что $f$
Рис. 3.44 должна быть четной функцией.
Теорема 3.11 (В. С. Матвеев). Пусть на проективной плоскости задана метрика $d s^{2}=d \theta^{2}+f(\theta) d \varphi^{2}$. Изоэнергетическое 3 -многообразие $Q^{3}$ диффеоморфно здесь линзовому пространству $L_{4,1}$. Тогда отвечающая ее геодезическому потоку молекула $\widetilde{W}$ имеет вид, показанный на рис. 3.44 , где молекула $\widetilde{W}(f)$ построена по функции $f(\theta)$ способом, указанным выше в теореме 3.9.
а) В обоих графах $\widetilde{W}(f)$ метки таковы. На ребрах между седловыми атомами $r$-метки равны бесконечности. Между седловыми атомами и атомами $A$ метки г равны нулю, за исключением тех случаев, когда атом $A$ (т.е. локальный максимум функции) отвечает неподвижной точке инволюции $\tau$. См. рис.3.16g. В этом случае $r$-метка равна $\frac{1}{2}$.
б) Предположим, что молекула $\widetilde{W}(f)$ отлична от атома $A$ (т.е. содержит хотя бы один седловой атом). Тогда, на единственном центральном ребре, соединяющем два экземпляра молекулы $\widetilde{W}(f)$, метка $r$ равна бесконечности, а метка в равна -1. Здесь имеется ровно одна семья (совпадающая со всей молекулой $W$, из которой выброшены все концевые атомы $A$ ). Метка $n$ на этой семье равна -1 .
в) Если же молекула $\widetilde{W}(f)$ сводится $к$ одному атому $A$, то вся молекула $W$ имеет простейший вид $A-A$. В этом случае мы имеем: $r=\frac{1}{4}, \varepsilon=1$. Семей здесь нет.
Тем самым мы получили полную лиувиллеву классификацию всех линейно интегрируемых геодезических потоков на проективной плоскости.