Частным случаем теоремы 6.14 является утверждение о траекторной эквивалентности задачи Неймана (движение точки по сфере в квадратичном потенциале) и задачи Якоби (геодезические на эллипсоиде). Сам факт траекторной эквивалентности этих задач был обнаружен Кноррером [321]. Мы же получим сейчас эту теорему Кноррера как прямое и несложное следствие обобщенного принципа Мопертюи.

Рассмотрим движение точки по единичной сфере $S^{2}=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right)$ в $\mathbb{R}^{3}$ в квадратичном потенциале (задача Неймана). Запишем эту систему в сферо-конических координатах $
u_{1},
u_{2},
u_{3}$, описанных нами в главе 4. Метрика на стандартной 2-сфере в этих координатах $
u_{2},
u_{3}$ имеет вид:
\[
d s^{2}=\frac{1}{4}\left(
u_{2}-
u_{3}\right)\left(-\frac{d
u_{2}^{2}}{P\left(
u_{2}\right)}+\frac{d
u_{3}^{2}}{P\left(
u_{3}\right)}\right),
\]

где $P(
u)=(a+
u)(b+
u)(c+
u)$. А квадратичный потенциал
\[
U=a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}
\]

запишется в сферо-конических координатах так:
\[
U=a+b+c+\left(
u_{2}+
u_{3}\right) .
\]

Гамильтониан задачи Неймана имеет, таким образом, вид:
\[
H=2 \frac{-P\left(
u_{2}\right) p_{2}^{2}+P\left(
u_{3}\right) p_{3}^{2}}{
u_{2}-
u_{3}}+\left(a+b+c+
u_{2}+
u_{3}\right) .
\]

Видно, что в этих координатах переменные разделяются. Система Неймана имеет квадратичный интеграл:
\[
F=2 \frac{
u_{3} P\left(
u_{2}\right) p_{2}^{2}-
u_{2} P\left(
u_{3}\right) p_{3}^{2}}{
u_{2}-
u_{3}}-
u_{2}
u_{3} .
\]

Этот интеграл удовлетворяет условиям теоремы 6.14 (обобщенного принципа Мопертюи). Поэтому траектории задачи Неймана, лежащие на уровне интеграла $F=0$, совпадают с геодезическими метрики $\widetilde{G}$, гамильтониан которой (т.е. ее геодезического потока) имеет вид:
\[
\widetilde{H}=\frac{
u_{2} P\left(
u_{2}\right) p_{2}^{2}-
u_{3} P\left(
u_{3}\right) p_{3}^{2}}{
u_{2}-
u_{3}} .
\]

Сама метрика $\widetilde{G}$ еще не является метрикой эллипсоида, однако они геодезически эквивалентны. Чтобы в этом убедиться, применим теорему Дини, т.е. построим по метрике $\widetilde{\widetilde{G}}$ (с гамильтонианом $\widetilde{H}$ ) новую метрику $\widehat{G}$, ей геодезически эквивалентную, и задаваемую формулой:
\[
\widehat{G}=(\operatorname{det} \widetilde{G})^{-2}(\operatorname{det} \widetilde{F})^{-2} \widetilde{G} \widetilde{F} \widetilde{G} .
\]

Здесь в качестве дополнительного интеграла следует рассмотреть
\[
\widetilde{F}=\frac{
u_{2}
u_{3}}{
u_{2}-
u_{3}}\left(-P\left(
u_{2}\right) p_{2}^{2}+P\left(
u_{3}\right) p_{3}^{2}\right)
\]

Прямое вычисление метрики $\widehat{G}$ дает следующий результат:
\[
\widehat{G}=\left(\frac{1}{
u_{3}}-\frac{1}{
u_{2}}\right)\left(-\frac{d
u_{2}^{2}}{
u_{2}^{2} P\left(
u_{2}\right)}+\frac{d
u_{3}^{2}}{
u_{3}^{2} P\left(
u_{3}\right)}\right) .
\]

Оказывается, получившаяся метрика $\widehat{G}$ является метрикой на эллипсоиде, в чем легко убедиться, сделав замену
\[
\lambda_{2}=
u_{3}^{-1}, \quad \lambda_{3}=
u_{2}^{-1} .
\]

В результате метрика приведется к виду:
\[
d s^{2}=\left(\lambda_{2}-\lambda_{3}\right)\left(\frac{\lambda_{2} d \lambda_{2}^{2}}{\widehat{P}\left(\lambda_{2}\right)}-\frac{\lambda_{3} d \lambda_{3}^{2}}{\widehat{P}\left(\lambda_{3}\right)}\right),
\]

где
\[
\widehat{P}(\lambda)=a b c\left(\lambda+\frac{1}{a}\right)\left(\lambda+\frac{1}{b}\right)\left(\lambda+\frac{1}{c}\right) .
\]

Это – действительно метрика эллипсоида $a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}=1$, записанная в эллиптических координатах.

Фактически здесь было построено гладкое отображение эллипсоида на единичную сферу, при котором геодезические эллипсоида переходят в траектории задачи Неймана на сфере: точка на эллипсоиде с эллиптическими координатами $\lambda_{2}=
u_{3}^{-1}, \lambda_{2}=
u_{3}^{-1}$ в точку на сфере со сферо-коническими координатами $
u_{2}=\lambda_{3}^{-1},
u_{3}=\lambda_{2}^{-1}$. Это отображение допускает естественную геометрическую интерпретацию. Оно на самом деле просто является гауссовым отображением эллипсоида.
Теорема 6.15 (Knörrer [321]). При гауссовом отображении эллипсоида его геодезические переходят в траектории задачи Неймана на сфере. В частности, задача Неймана (т.е. движение точки на стандартной сфере в квадратичном потенциале) на нулевом уровне $F=0$ квадратичного интеграла $F$, указанного выше, траекторно эквивалентна задаче Якоби (т.е. геодезическому потоку на трехосном эллипсоиде).

Точно таким же образом можно доказать обобщение этой теоремы, полученное А. П. Веселовым [385]. Он показал, что траектории обобщенной задачи Якоби (движение точки по эллипсоиду в сферическом потенциале, см. следующий параграф) при гауссовом отображении переходят в траектории задачи Неймана. Более того, это отображение сохраняет слоение (ко)касательного пространства на трехмерные поверхности уровня дополнительных интегралов.