Рассмотрим невырожденную окружность $\gamma$ интегрируемой гамильтоновой системы на заданном уровне энергии $Q_{h}$. При возмущении гамильтониана и интеграла система остается лиувиллево эквивалентной невозмущенной при условии, что дополнительный интеграл изначально был простым. Этот результат верен для любой системы, не обязательно гамильтоновой. Доказательство топологической устойчивости вырожденных окружностей общего вида в значительной степени использует гамильтонов характер уравнений.

Определение вырожденных окружностей общего вида будет дано ниже в терминах коэффициентов нормальной формы Биркгофа в окрестности изучаемой окружности. Поэтому перед тем, как дать точное определение, нам потребуется редуцировать систему и привести ее к нормальной форме.

Пусть $\gamma$ – замкнутая критическая траектория системы $v=\operatorname{sgrad} H$ с дополнительным интегралом $F$. Поскольку $\gamma-$ критическая траектория, то $d F=\lambda \cdot d H$ в каждой точке $\gamma$, и $\lambda$ не зависит от этой точки. Таким образом, $\gamma$ также является траекторией векторного поля $\operatorname{sgrad} F$. Пусть $\left(p_{1}, p_{2}, q_{1}, q_{2}\right)$ – набор канонических координат в окрестности $\gamma$, таких, что
\[
\gamma=\left\{p_{2}=q_{1}=q_{2}=0\right\} .
\]

Траектория $\gamma$ параметризуется значением координаты $p_{1}$, которую мы положим $2 \pi$-периодической.

Пусть $\Pi^{3} \subset M^{4}$ – трехмерная трансверсаль к $\gamma$ и $\Pi_{\alpha}=\Pi^{3} \cap\{F=\alpha\}$. Без ограничения общности можно считать, что $F(\gamma)=0$. Обозначим $x_{0}=\Pi_{0} \cap \gamma$. Поскольку $x_{0}$ – неподвижная точка относительно отображения последования $\pi$ для системы $\operatorname{sgrad} F$, то можно вычислить дифференциал этого отображения в этой точке. Обозначим $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ – собственные значения оператора $\left.d \pi\right|_{x_{0}}$. Ясно, что $\lambda_{1}=\lambda_{2}^{-1}$ и $\lambda_{1} \lambda_{2}=1$.

Мы будем рассматривать случай, когда $\lambda_{1}^{n}=1$ для некоторого натурального $n$. Иначе говоря, $\lambda_{1}=e^{2 \pi i k / n}$.
Определение 2.6. Дробь $\frac{k}{n}$ мы будем называть резонансом окружности $\gamma$.
Заметим, что резонанс был определен неинвариантно. Вместо отображения последования $\pi$, соответствующего векторному полю $\operatorname{sgrad} F$, можно было бы взять другое отображение. Скажем, $\pi_{H}$, соответствующее векторному полю sgrad $H$. Тем не менее, поскольку $\gamma$ – вырожденная окружность, то частоты $\lambda_{i}$ не зависят от выбора представителя пуассонова действия.
Мы будем различать два случая:
a) $\lambda_{i}=1$,
b) $\lambda_{i}
eq 1$.

Рассмотрим случай b). В этом случае неподвижная точка $x_{0}$ будет топологически устойчивой, то есть при малом изменении системы у отображения $\pi$ на $\Pi_{0}$ будет существовать единственная неподвижная точка вблизи $x_{0}$. Это означает, что при таком возмущении замкнутая траектория $\gamma$ сохранится, лишь немного продеформировавшись. Применим метод изоэнергетической редукции к системе $v=\operatorname{sgrad} F$ вблизи $\gamma$. Опишем вкратце эту процедуру. Выразим координату $q_{1}$ через $F$ и остальные координаты:
\[
q_{1}=K\left(p_{1}, p_{2}, q_{2}, F\right) .
\]

Положим $T=p_{1}, p=p_{2}, q=q_{2}$. Тогда исходная система $v=\operatorname{sgrad} F$ запишется следующим образом:
\[
\frac{d p}{d T}=\frac{\partial K}{\partial q}, \quad \frac{d q}{d T}=-\frac{\partial K}{\partial p} .
\]

Таким образом, мы получили неавтономную гамильтонову систему с двумя степенями свободы, периодически зависящую от времени $T$. Применим к получившейся системе метод нормализации Биркгофа.

Для начала предположим, что знаменатель резонанса не менее 3 . Пусть $\tau=$ $=\frac{p^{2}+q^{2}}{2}$. Приведем систему к нормальной форме с точностью до членов степени $n+1$ :
\[
K=\omega_{1}(F) \tau+\sum_{s=2}^{[n / 2]} \omega_{s}(F) \tau^{s}+K_{n}(p, q, T)+\ldots
\]

где $\omega_{1}(0)=\frac{k}{n}$, а $K_{n}$ – однородный многочлен от переменных $P, Q$, определенных равенством
\[
(P+i Q)=(p+i q) e^{i T k / n} .
\]

Более того, легко видеть, что этот полином должен быть инвариантным относительно поворота на угол $\frac{2 \pi}{n}$ в плоскости $T=$ const, $F=$ const:
\[
\left(p^{\prime}+i q^{\prime}\right)=(p+i q) e^{2 \pi i / n} .
\]

Все остальные члены меньшей степени также инвариантны относительно указанного поворота. Ключевым моментом в этом месте является инвариантность первых $n$ членов разложения функции $K$ относительно этого поворота. Оказывается, аналогичным свойством обладает и разложение функции $H$.
Лемма 2.3. Пусть $H=H(p, q, T, F)$ является первым интегралом редуцированной системы с гамильтонианом $К$ в окрестности замкнутой траектории $\gamma$, и гамильтониан $К$ приведен к нормальной форме Биркгофа (6.3) с точностью до членов степени $n+1$. Тогда первые $n$ членов разложения $H$ тоже инвариантны относительно поворота на угол $\frac{2 \pi}{n}$.

Доказательство.
Обозначим
\[
H=\sum_{s=2}^{\infty} H_{s}
\]

формальное разложение функции $H$, где $H_{s}$ подразумевается однородным многочленом степени $s$ от $p, q$ с коэффициентами, зависящими от $F$ и $T$. Поскольку $H$ – первый интеграл, то
\[
0=\frac{d H}{d T}=\frac{\partial H}{\partial T}+[H, K]
\]

где $[H, K]=\frac{\partial H}{\partial p} \frac{\partial K}{\partial q}-\frac{\partial H}{\partial q} \frac{\partial K}{\partial p}$. Заметим, что скобка Пуассона $[\cdot, \cdot \cdot$ сохраняет однородность многочленов от $p, q$.

Пусть $H_{\alpha}$ – член минимальной степени, который не инвариантен относительно поворота. Предположим сначала, что $\alpha<n$. Так как $\frac{\partial H}{\partial T}=[K, H]$, то имеем уравнение на $H_{\alpha}$ :
\[
\frac{\partial H_{\alpha}}{\partial T}=\sum_{\beta+\gamma=\alpha+2}\left[K_{\beta}, H_{\gamma}\right] .
\]

Единственным ненулевым членом в сумме правой части является $\left[K_{2}, H_{\alpha}\right]$. Поэтому получаем уравнение:
\[
\frac{\partial H_{\alpha}}{\partial T}=\left[\omega_{1}(F) \cdot \tau, H_{\alpha}\right] .
\]

Решение последнего уравнения – это любая функция от $\xi, \eta$, где
\[
(\xi+i \eta)=(p+i q) e^{-i T \omega_{1}(F)} .
\]

Мы ищем решение – однородный многочлен от $p$ и $q$ степени $\alpha<n$. При малых $|F|$ частота $\omega_{1}(F)$ мало отличается от $\frac{k}{n}$. Поэтому нетрудно видеть, что $H_{\alpha}=C \cdot \tau^{\alpha / 2}$ является единственным возможным решением.

Рассмотрим теперь случай $\alpha=n$. Аналогичным способом мы получаем уравнение на $H_{n}$ :
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial H_{n}}{\partial T} & =\left[K_{n}, H_{2}\right]+\left[K_{2}, H_{n}\right]=\left[K_{n}, C(F) \tau\right]+\left[\omega_{1}(F) \tau, H_{n}\right]= \\
& =\left[\omega_{1}(F) \tau, H_{n}-\frac{C(F)}{\omega_{1}(F)} K_{n}\right] .
\end{aligned}
\]

Если $\omega_{1}(F)=\omega_{1}(0)=\frac{k}{n}$, то, очевидно, $H_{n}$ инвариантен. Если $\omega_{1}(F)
eq \omega_{1}(0)$, то положим $a=\frac{\omega_{1}(0)}{\omega_{1}(0)-\omega_{1}(F)}$. Делая замену $\bar{H}_{n}=H_{n}-(1-a) \frac{C(F)}{\omega_{1}(F)} K_{n}$, получаем
уравнение
\[
\frac{\partial \bar{H}_{n}}{\partial T}=\left[\omega_{1}(F) \tau, \bar{H}_{n}\right],
\]

из которого, как и выше, следует инвариантность $H_{n}$. Лемма доказана.
Утверждение леммы является частным случаем общего факта. А именно, нормальность по Биркгофу первых членов разложения гамильтониана, как правило, можно определить как инвариантность указанных членов относительно действия естественной группы преобразований. Если исходная система имеет дополнительный интеграл, то первые члены разложения интеграла тоже оказываются инвариантными относительно этого действия.
В случае $n=2$ гамильтониан можно привести с следующему виду:
\[
K=\omega_{1}(F) \tau+K_{2}(p, q, T, F)+K_{4}(p, q, T, F)+\ldots,
\]

где инвариантность первых трех членов относительно поворота на угол $\pi$ равносильна отсутствию члена третьей степени. Как и раньше, в силу того, что $H$ является интегралом, в разложении $H$ в новых координатах будет отсутствовать член третьей степени.

В случае а), то есть при $n=1$, мы будем считать, что $K$ уже приведен к нормальной форме, которая инвариантна относительно тождественного преобразования. В этом случае нас будут интересовать члены второй и третьей степени.
Вернемся теперь к общему случаю. Рассмотрим функцию
\[
H^{\prime}=\left.\sum_{s=2}^{m(n)} H_{s}\right|_{T=\mathrm{const}},
\]

где $m(1)=3, m(2)=4, m(n)=n$ при $n>2$. Заметим, что $H^{\prime}$ зависит от трех переменных $p, q, \boldsymbol{F}$. Мы будем рассматривать $H^{\prime}$ как семейство функций от двух переменных с параметром семейства $F$. Каждая функция из этого семейства инвариантна относительно поворота на угол $\frac{2 \pi}{n}$.

Дадим теперь неформальное определение вырожденной окружности общего вида. Мы скажем, что $\gamma$ – вырожденная окружность общего вида, если $H^{\prime}$ является семейством общего положения среди семейств инвариантных функций.

Чтобы сформулировать строгое определение, мы перечислим условия, которым должны удовлетворять коэффициенты разложения $H^{\prime}$.

Пусть $n=1$. Тогда поворотом можно можно добиться, чтобы $\frac{\partial^{2} H}{\partial q^{2}}=0$ в точке $x_{0}$. Потребуем, чтобы в этих координатах следующие члены ряда Тейлора не вырождались: $C_{1} p^{2}, C_{2} q^{3}, C_{3} q F$.

Пусть $n=2$. Тогда поворотом можно можно добиться, чтобы $\frac{\partial^{2} H}{\partial q^{2}}=0$ в точке $x_{0}$. Потребуем, чтобы в этих координатах следующие члены ряда Тейлора не вырождались: $C_{1} p^{2}, C_{2} q^{4}, C_{3} q^{2} F$. Мы будем различать два частных случая:
2a) $C_{1} C_{2}>0$,
2b) $C_{1} C_{2}<0$.
Пусть $n=3$. Следующие члены ряда Тейлора не должны вырождаться: $P_{3}(p, q), C_{3}\left(p^{2}+q^{2}\right) \cdot F$, где $P_{3}(p, q)$ – однородный полином степени 3 , инвариантный относительно поворотов на угол $\frac{2 \pi}{3}$.

Пусть $n=4$. Следующие члены ряда Тейлора не должны вырождаться: $C_{3}\left(p^{2}+q^{2}\right) \cdot F$. Можно показать, что любой полином степени 4 , инвариантный относительно поворота на угол $\frac{\pi}{2}$, можно разложить в сумму $P_{4}(p, q)=$ $=A\left(p^{2}+q^{2}\right)^{2}+B p^{2} q^{2}$. Мы будем различать два частных случая:
4a) $B \in(-4 A, 0)$ при $A>0$ или $B \in(0,-4 A)$ при $A<0$,
4b) $B
otin[-4 A, 0]$ при $A>0$ или $B
otin[0,-4 A]$ при $A<0$.
Потребуем, чтобы полином $P_{4}(p, q)$ удовлетворял условию $\left.4 \mathrm{a}\right)$ или $\left.4 \mathrm{~b}\right)$.
Пусть $n>4$. Следующие члены не должны вырождаться: $C_{1}\left(p^{2}+q^{2}\right)^{2}$, $P_{n}(p, q), C_{3}\left(p^{2}+q^{2}\right) \cdot F$, и $P_{n}(p, q)$ не представляется в виде многочлена от $\left(p^{2}+q^{2}\right)$, где $P_{n}(p, q)$ – однородный полином степени $n$, инвариантный относительно поворотов на угол $\frac{2 \pi}{n}$.
Определение 2.7. Вырожденная окружность $\gamma$ интегрируемой гамильтоновой системы $v=\operatorname{sgrad} H$ с дополнительным интегралом $F$ называется вырожденной окружностью общего вида резонанса $\frac{k}{n}$, если, во-первых, ее резонанс равен $\frac{k}{n}$, а, во-вторых, после редукции и приведения к нормальному виду (как указано выше) коэффициенты разложения функции $H$ удовлетворяют перечисленным выше условиям.

Заметим прежде всего, что семейства эквивариантных функций с вырожденной точкой, удовлетворяющие условиям, сформулированным выше, действительно составляют всюду плотное и открытое множество среди всех эквивариантных семейств (в метрике $C^{r}$, при достаточно большом $r$ ).

Теорема 2.8 объясняет выбор этих условий. В дальнейшем для простоты под резонансом вырожденной окружности общего вида мы будем понимать сам резонанс и реализацию частного случая а) или b) для $n=2,4$.
Теорема 2.7. Топология интегрируемой гамильтоновой системы в достаточно малой окрестности вырожденной окружности общего вида полностью определяется ее резонансом.

Доказательство этой теоремы заключается в систематическом расмотрении перестроек линий уровня функции $H(p, q, F, T)$ при фиксированном значении $T$ при изменении параметра $F$. Указанные перестройки показаны на рис. 2.

Непосредственно из определения вырожденной окружности общего вида следует существование вырожденной окружности общего вида для любого рационального резонанса. Тем не менее, интересно отметить, что в известных интегрируемых случаях встречаются вырожденные окружности со знаменателем резонанса не более двух. Четкого объяснения этому обстоятельству пока нет,

Рис. 2
хотя можно сформулировать гипотезу, что системы с вырожденными окружностями высоких резонансов имеют сложное аналитическое выражение. И они пока не найдены из-за этой сложности. Необходимо отметить, что случай $n=1$ является в некоторой степени особенным. Для изучения вырожденной окружности с единичным резонансом можно не подключать редукцию и приведение к нормальной форме. Именно этот вид вырожденных окружностей был упомянут B $[8]$.

Подчеркнем, что свойство окружности быть вырожденной общего вида является свойством пары функций – гамильтониана и интеграла. При замене интеграла другим вырожденная окружность общего вида может потерять это свойство.

Бифуркационные диаграммы и круговые слова-молекулы, соответствующие окрестностям вырожденных окружностей общего вида, показаны на рис. 3 .
Теорема 2.8. Пусть $H_{\varepsilon}$ – семейство гамильтонианов, $F_{\varepsilon}$ – гладкое семейство дополнительных интегралов, то есть таких, что при каждом значении $\varepsilon$ функции $H_{\varepsilon}$ и $F_{\varepsilon}$ коммутируют относительно скобки Пуассона. Предположим, что $\gamma$ – вырожденная окружность общего вида системы при значении параметра $\varepsilon=0$. Тогда существует гладкое семейство окружностей $\gamma_{\varepsilon}$, таких, что $\gamma_{0}=\gamma$, при каждом $\varepsilon, \gamma_{\varepsilon}$ является замкнутой вырожденной траекторией общего вида системы $v=\operatorname{sgrad} H_{\varepsilon}$ с интегралом $F_{\varepsilon}$, с таким же резонансом, как $u \gamma$.
Доказательство.
В случае $n=1$ теорема очевидна. При $n>1$ сохранение замкнутой траектории следует из нетривиальности линейной части потока вблизи $\gamma$. А сохранение резонанса следует из гладкости операции приведения к нормальной форме и определения вырожденной окружности общего вида.

Следствие 3. В условиях теоремы 2.8 топологическая структура системы в окрестности вырожденной окружности общего вида будет оставаться без изменений.

ЗАмЕчАНИЕ 1. Последняя теорема была сформулирована для случая параметрического возмущения исходной системы. Однако утверждение теоремы остается верным и для непараметрического возмущения в метрике $C^{r}$. Необходимо только наложить дополнительное условие $r>n$.

Следующая теорема показывает, что при дополнительных условиях от вырожденных окружностей не общего вида можно освободиться.
Теорема 2.9. Пусть $v=\operatorname{sgrad} H$ – гамильтоново векторное поле на симплектическом многообразии $M^{4}$. Допустим, что соответствующая система интегрируема по Лиувиллю, а на открытом подмножестве $B$ имеется периодический интеграл $F$. Тогда для любого открытого подмножества $B_{1}$, такого, что его замыкание содержится в $B$, можно возмутить гамильтониан $H$ таким образом, что
1) $H_{\varepsilon}=$ вне $B$;
2) Система $v=\operatorname{sgrad} H_{\varepsilon}$ интегрируема с помощью некоторого гладкого интеграла $G$, относительно которого в $B_{1}$ нет вырожденных окружностей не общего вида.
Доказательство не составляет труда, и использует то, что семейства эквивариантных функций действительно составляют всюду плотное множество среди семейств эквивариантных функций с вырожденной точкой. А в остальном доказательство повторяет доказательство теоремы о плотности боттовских особенностей.

Рис. 3