Определение 2.2. Геодезические потоки, которые интегрируемы при помощи интегралов, линейных или квадратичных по импульсам (не сводимых к линейным), мы будем называть линейно интегрируемыми и квадратично интегрируемыми соответственно.

В этом параграфе мы опишем локальные свойства метрик, имеющих такие геодезические потоки. Это описание было фактически получено в классических работах Дарбу (Darboux G.) [267], [268], Дини (U.Dini) [270], М.Л.Раффи (Raffy M.L.) [361], Дж. Д. Биркгофа (G.Birkhoff) [19], [242]. В современных терминах эта теория была затем развита В. Н. Колокольцовым [92], [94], см. также книгу В.В. Козлова [84] и работы К. Киохары [319], [320].
2.4.1. Некоторые общие свойства полиномиальных интегралов геодезических потоков. Локальная теория
Пусть риманова метрика локально, т.е. в окрестности некоторой точки на поверхности, записывается в виде $d s^{2}=\lambda(x, y)\left(d x^{2}+d y^{2}\right)$. Другими словами, $x, y$ – локальные конформные (изотермические) координаты для данной метрики. Предположим, что ее геодезический поток вполне интегрируем при помощи некоторого полиномиального по импульсам интеграла степени $n$
\[
F=\sum b_{i}(x, y) p_{x}^{n-i} p_{y}^{i}
\]

Рассмотрим функцию
\[
R(z)=\left(b_{0}-b_{2}+b_{4}-b_{6}+\ldots\right)+i\left(b_{1}-b_{3}+b_{5}-b_{7}+\ldots\right),
\]

где $z=x+i y$. Отметим, что функция $R(z)$ и интеграл $F\left(x, y, p_{x}, p_{y}\right)$ связаны простой формулой. Достаточно в выражении для $F$ положить $p_{x}=1$, а $p_{y}=i$ (мнимая единица). Другими словами,
\[
R(z)=F(x, y, 1, i) .
\]

Следующие два утверждения (предложение 2.2 и предложение 2.3) были доказаны Дж. Биркгофом для $n=1,2$ [19], [242]. Для произвольного $n$ результат был получен В.Н.Колокольцовым [92].
Предложение 2.2. Функция $R(z)$ является голоморфной функцией от $z$. Доказательство.

Вычислим скобку Пуассона интеграла $F$ и гамильтониана $H=\frac{p_{x}^{2}+p_{y}^{2}}{\lambda(x, y)}$. По- им: лучим:
\[
\begin{aligned}
\{F, H\}= & 2 \lambda^{-1} \sum_{k}\left(\frac{\partial b_{k}}{\partial x} p_{x}^{n-k+1} p_{y}^{k}+\frac{\partial b_{k}}{\partial y} p_{x}^{n-k} p_{y}^{k+1}\right)- \\
& -\sum_{k} b_{k}(n-k) \frac{\partial \lambda^{-1}}{\partial x}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right) p_{x}^{n-k-1} p_{y}^{k}- \\
& -\sum_{k} b_{k} k \frac{\partial \lambda^{-1}}{\partial y}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right) p_{x}^{n-k} p_{y}^{k-1}=0 .
\end{aligned}
\]

Положим в этом равенстве $p_{x}=1, p_{y}=i$. Тогда $p_{x}^{2}+p_{y}^{2}=0$ и поэтому
\[
\frac{\partial}{\partial x} \sum_{k} b_{k} i^{k}+i \frac{\partial}{\partial y} \sum_{k} b_{k} i^{k}=0
\]

Это равенство совпадает с условиями Коши-Римана для комплексной функции $R(z)$. В самом деле, поскольку $\sum_{k} b_{k} i^{k}=R(z)$, то полученное условие выглядит так:
\[
\frac{\partial R}{\partial x}+i \frac{\partial R}{\partial y}=0
\]
т. е. $\frac{\partial}{\partial \bar{z}}(R(z))=0$. Предложение доказано.

Таким образом, полиномиальный интеграл $F$ позволяет для каждой изотермической системы координат $(x, y)$ построить некоторую голоморфную функцию $R(z)$. Выясним, как преобразуется эта функция при переходе к другим изотермическим координатам ( $u, v$ ). Для определенности мы будем рассматривать только замены координат, сохраняющие ориентацию. Напомним, что при этом условии новые координаты ( $u, v$ ) будут изотермическими тогда и только тогда, когда преобразование $w=w(z)$, где $w=u+i v$, является голоморфной функцией.

Обозначим через $S(w)$ построенную с помощью интеграла $F$ голоморфную функцию, отвечающую новой системе координат $u, v$.
Предложение 2.3. Пусть $w=w(z)$ – голоморфная замена изотермических координат на поверхности. Тогда функции $R(z)$ и $S(w)$ связаны соотношением $R(z)=S(w(z))\left(w^{\prime}(z)\right)^{-n}$, где $w^{\prime}(z)$ – комплексная производная.

Доказательство.
Пусть $w=u+i v$ и $p_{u}, p_{v}$ – новые канонические импульсы. Тогда
\[
\left(\begin{array}{l}
p_{x} \\
p_{y}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial x} \\
\frac{\partial u}{\partial y} & \frac{\partial v}{\partial y}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
p_{u} \\
p_{v}
\end{array}\right) .
\]

Учитывая условия Коши-Римана, преобразуем матрицу к следующему виду:
\[
\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial x} \\
-\frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial x}
\end{array}\right)
\]

Имеем:
\[
F=\sum_{k=0}^{n} b_{k}\left(\frac{\partial u}{\partial x} p_{u}+\frac{\partial v}{\partial x} p_{v}\right)^{n-k}\left(-\frac{\partial v}{\partial x} p_{u}+\frac{\partial u}{\partial x} p_{v}\right)^{k}
\]

Чтобы вычислить функцию $S(w(z))$, подставим в это выражение $p_{u}=1, p_{v}=i$. Получим:
\[
\begin{aligned}
S(w(z)) & =\sum_{k=0}^{n} b_{k}\left(\frac{\partial u}{\partial x}+i \frac{\partial v}{\partial x}\right)^{n-k}\left(-\frac{\partial v}{\partial x}+i \frac{\partial u}{\partial x}\right)^{k}= \\
& =\sum_{k=0}^{n} b_{k} i^{k}\left(\frac{\partial u}{\partial x}+i \frac{\partial v}{\partial x}\right)^{n}=R(z)\left(w^{\prime}(z)\right)^{n} .
\end{aligned}
\]

Предложение доказано.
Предложения 2.2 и 2.3 можно переформулировать следующим образом: дополнительный полиномиальный интеграл $F$ геодезического потока, имеющий степень $n$ по импульсам, однозначно определяет на поверхности $M$ «дифференциальную форму»
\[
\frac{(d z)^{n}}{R(z)},
\]

инвариантную относительно голоморфных замен координат. Такую форму обычно называют $n$-дифференциалом. В качестве комплексной структуры на поверхности при этом рассматривается структура, однозначно задаваемая римановой метрикой: в качестве локальной комплексной координаты берется $z=x+i y$, где $(x, y)$ – изотермические координаты. Анализ этой формы позволяет легко получить следующее следствие.
Следствие (Колокольцов). На замкнутой двумерной поверхности с отрицательной эйлеровой характеристикой не существует полиномиально интегрируемых геодезических потоков.

Доказательство.
Без ограничения общности можно считать поверхность $M^{2}$ ориентируемой. Иначе следует перейти к двулистному накрытию. Пусть полиномиальный интеграл имеет наименьшую возможную степень. Заметим, что форма $\frac{(d z)^{n}}{R(z)}$ вообще не имеет нулей, поскольку функция $R(z)$ локально голоморфна (предложение 2.2). Но таких $n$-дифференциалов на поверхностях, отличных от тора и сферы, вообще не бывает, поскольку их нули и полюса обязаны удовлетворять соотношению (см., например, [62])
\[
\text { число нулей – число полюсов }=2 n(\chi-1) \text {. }
\]

Здесь $\chi$ – род поверхности. Единственная возможность – это $R(z) \equiv 0$. Но в этом случае, как нетрудно проверить, интеграл $F$ нацело делится на гамильтониан $H$ (см. [84]), что противоречит непонижаемости его степени.

Подчеркнем, что теорема Козлова (теорема 2.1) не вытекает из этого утверждения, поскольку в ней не предполагается полиномиальной интегрируемости. Более того, дополнительные ограничения на характер первого интеграла в теореме Козлова должны выполняться лишь на изоэнергетической поверхности.
2.4.2. Описание римановых метрик, геодезические потоки которых допускают линейный интеграл. Локальная теория
Пусть дана гладкая риманова метрика $d s^{2}=E d x^{2}+2 F d x d y+G d y^{2}$ на двумерной поверхности $M^{2}$. Предположим, что в окрестности некоторой точки $P \in M^{2}$ геодезический поток этой метрики обладает линейным по импульсам интегралом $\boldsymbol{F}\left(x, y, p_{x}, p_{y}\right)=a(x, y) p_{x}+b(x, y) p_{y}$.

Следующая теорема дает локальное описание таких метрик в точке общего положения.
Теорема 2.6. Пусть геодезический поток метрики ds $^{2}$ обладает линейным по импульсам интегралом $F$ в окрестности точки $P$, причем этот интеграл не равняется тождественно нулю на (ко) касательной плоскости в точке $P$. Тогда в некоторой окрестности этой точки существуют регулярные локальные координаты х и в которых метрика принимает вид
\[
d s^{2}=\lambda(x)\left(d x^{2}+d y^{2}\right) .
\]

Доказательство.
Линейный интеграл $F$ можно рассматривать как гладкое векторное поле $w_{F}$ на поверхности $M^{2}$, так как в каждой точке он представляется в виде линейной функции на кокасательной плоскости к поверхности. Дополнительное условие, сформулированное в теореме, означает, что в точке $P$ поле $w_{F}$ отлично от нуля. Хорошо известно, что тогда в некоторой окрестности точки $P$ существуют локальные регулярные координаты $u$ и $v$ такие, что поле $w_{F}$ запишется в виде $w_{F}=\frac{\partial}{\partial v}$, т. е. $F=p_{v}$. Поскольку гамильтониан $H$ коммутирует с интегралом $F$, это в точности означает, что функция $H$ не зависит от переменной $v$. Следовательно, метрика принимает вид
\[
d s^{2}=E(u) d u^{2}+2 F(u) d u d v+G(u) d v^{2} .
\]

Рассмотрим теперь следующую замену, приводящую метрику к диагональному виду:
\[
u=u^{\prime}, \quad v=v^{\prime}-\int \frac{F\left(u^{\prime}\right)}{G\left(u^{\prime}\right)} d u^{\prime} .
\]

Выполняя простые вычисления, убеждаемся, что в новой системе координат $d s^{2}=A\left(u^{\prime}\right) d u^{\prime 2}+B\left(u^{\prime}\right) d v^{\prime 2}$.

Осталось сделать еще одну замену, чтобы привести метрику к конформному виду. Положим
\[
u^{\prime}=u^{\prime}(x), \quad v^{\prime}=y,
\]

где функция $u^{\prime}(x)$ является решением дифференциального уравнения
\[
\frac{d u^{\prime}}{d x}=\sqrt{\frac{A\left(u^{\prime}\right)}{B\left(u^{\prime}\right)}} .
\]

Выполняя эту замену, убеждаемся, что метрика принимает требуемый вид:
\[
d s^{2}=\lambda(x)\left(d x^{2}+d y^{2}\right),
\]

где $\lambda(x)=A\left(u^{\prime}(x)\right)$. Теорема доказана.
Отметим еще одно важное свойство метрик с линейно интегрируемыми геодезическими потоками. Несложно проверить, что условие коммутирования гамильтониана $H$ и линейного интеграла $F$ в терминах векторного поля $w_{F}$ можно переписать в виде $L_{w_{F}}\left(g^{i j}\right)=0$, где $L_{w_{F}}$ – производная Ли вдоль $w_{F}$, а $\left\{g^{i j}\right\}$ тензор, обратный к метрическому. Отсюда сразу следует, что
\[
L_{w_{F}}\left(g_{i j}\right)=0,
\]
т. е. векторное поле $w_{F}$ порождает однопараметрическую группу локальных диффеоморфизмов, являющихся изометриями метрики. Верно и обратное: каждая однопараметрическая группа изометрий порождает линейный интеграл геодезического потока. Другими словами, наличие линейного интеграла эквивалентно существованию однопараметрической группы изометрий. Это утверждение является частным случаем хорошо известной теоремы Нетер.
ЗАмЕчАниЕ. В теореме 2.6 мы предположили, что векторное поле $w_{F}$, задающее линейный интеграл $F$, не обращается в ноль в точке $P$. В определенном смысле, это – условие невырожденности линейного интеграла в данной точке. Что будет, если интеграл $F$ имеет особенность, т.е., если $w_{F}(P)=0$ ? К какому каноническому виду можно привести метрику в окрестности такой точки? Какие особенности векторного поля $w_{F}$ вообще допустимы? Ниже мы покажем, что все такие особенности имеют простейший вид, и поле $w_{F}$ в окрестности своей особой точки приводится к виду $w_{F}=c(-y, x)=c \frac{\partial}{\partial \varphi}$, где $c$ – некоторая константа.
2.4.3. Описание римановых метрик, геодезические потоки которых допускают квадратичный интеграл. Локальная теория
Пусть дана гладкая риманова метрика $d s^{2}=E d x^{2}+2 F d x d y+G d y^{2}$ на поверхности $M^{2}$. Предположим, что в окрестности некоторой точки $P$ геодезический поток обладает квадратичным по импульсам интегралом $F\left(x, y, p_{x}, p_{y}\right)$. Теорема 2.7. Пусть геодезический поток метрики ds $^{2}$ обладает квадратичным интегралом $F$ в окрестности точки $P \in M$, причем этот интеграл на (ко)касательном пространстве в точке $P$ не пропорционален (как квадратичная форма) гамильтониану $H$. Тогда в некоторой окрестности этой точки метрика является лиувиллевой, т.е. существуют локальные координаты и и, в которых метрика принимат вид
\[
d s^{2}=(f(u)+g(v))\left(d u^{2}+d v^{2}\right),
\]

где $f(u)$ и $g(v)$ – гладкие положительные функции. При этом
\[
F\left(u, v, p_{u}, p_{v}\right)=\frac{-(f(u)-C) p_{v}^{2}+(g(v)+C) p_{u}^{2}}{f(u)+g(v)},
\]

где $C$ – некоторая постоянная.
Доказательство.
С самого начала можно считать, что локальные координаты $x$ и $y$ выбраны конформными, и исходная метрика уже имеет вид $d s^{2}=\lambda(x, y)\left(d x^{2}+d y^{2}\right)$. Тогда $H=\frac{\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right)}{2} \lambda$, где $p_{x}$ и $p_{y}-$ компоненты импульса. Запишем далее интеграл $F\left(x, y, p_{x}, p_{y}\right)$ в виде
\[
F=b_{1} p_{x}^{2}+2 b_{2} p_{x} p_{y}+b_{3} p_{y}^{2},
\]

где $b_{i}(x, y)$ – некоторые гладкие функции. Рассмотрим функцию $R(z)=$ $=\left(b_{1}-b_{3}\right)+2 i b_{2}$, где $z=x+i y$. Согласно предложению 2.2, эта функция голоморфна. Заметим, что условие непропорциональности гамильтониана $H$ и интеграла $F$ на касательном пространстве в точке $P$ эквивалентно тому, что $R(P)
eq 0$. Это позволяет сделать такую замену координат, чтобы функция $R$ стала константой. Действительно, рассмотрим голоморфную замену $w=w(z)$, взяв в качестве функции $w(z)$ решение дифференциального уравнения $w^{\prime}(z)=$ $=(R(z))^{-\frac{1}{2}}$. Тогда новая функция $S(w)$ в силу предложения 2.3 будет иметь вид $S(w)=\left(w^{\prime}(z)\right)^{2} R(z) \equiv 1$.

Рассмотрим теперь квадратичный интеграл $F$ в новой системе координат $(u, v)$, где $w=u+i v$. Имеем
\[
F=a(u, v) p_{u}^{2}+2 b(u, v) p_{u} p_{v}+c(u, v) p_{v}^{2} .
\]

Однако $(a-c)+2 i b=S(w) \equiv 1$, поэтому на самом деле
\[
F=(c+1) p_{u}^{2}+c p_{v}^{2}
\]

где $c$ – некоторая гладкая функция. Гамильтониан геодезического потока в новой системе координат сохраняет конформный вид
\[
H=\frac{p_{u}^{2}+p_{v}^{2}}{2 \Lambda},
\]

при этом $\Lambda(u, v)=\lambda(x, y)\left|w^{\prime}(z)\right|^{-2}$.
Выпишем теперь явно условие коммутирования функций $H$ и $F$. Делая стандартные преобразования, имеем
\[
\begin{aligned}
\{H, F\} & =\left\{\frac{p_{u}^{2}+p_{v}^{2}}{2 \Lambda},(c+1) p_{u}^{2}+c p_{v}^{2}\right\}= \\
& =\frac{p_{u}^{2}+p_{v}^{2}}{\Lambda^{2}}\left(p_{u} \frac{\partial}{\partial u}(\Lambda(c+1))+p_{v} \frac{\partial}{\partial v}(\Lambda c)\right)=0 .
\end{aligned}
\]

В итоге получаем простую систему из двух уравнений
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial u}(\Lambda(c+1)) & =0 \\
\frac{\partial}{\partial v}(\Lambda c) & =0 .
\end{aligned}
\]

Дифференцируя первое уравнение по $v$, а второе по $u$ и вычитая одно из другого, мы получаем уравнение на конформный множитель
\[
\frac{\partial^{2} \Lambda}{\partial u \partial v}=0 .
\]

Это в точности означает, что
\[
\Lambda(u, v)=f(u)+g(v),
\]

где $f(u)$ и $g(v)$ – некоторые гладкие функции, которые можно считать положительными, поскольку $\Lambda(u, v)>0$.
Теперь легко находится и общий вид функции $c(u, v)$ :
\[
c=\frac{-f(u)+C}{f(u)+g(v)},
\]

где $C$ – произвольная константа. Таким образом,
\[
\begin{array}{c}
d s^{2}=(f(u)+g(v))\left(d u^{2}+d v^{2}\right), \\
F=\frac{(g(v)+C) p_{u}^{2}-(f(u)-C) p_{v}^{2}}{f(u)+g(v)} .
\end{array}
\]

Теорема доказана.
В теореме 2.7 мы изучили вид метрик с квадратично интегрируемыми геодезическими потоками в окрестности точки $P$ общего положения, в которой гамильтониан $H$, и интеграл $F$ не пропорциональны (как квадратичные формы на касательной плоскости к поверхности). Что будет, если они все-таки оказались пропорциональными? Как выглядит здесь локальная классификация интересующих нас метрик? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема, которая включает в себя и случай линейно интегрируемых геодезических потоков.
Теорема 2.8. Пусть геодезический поток обладает квадратичным интегралом $F$ в окрестности точки $P \in M^{2}$, причем в касательной плоскости к этой точке гамильтониан $H$ и интеграл $F$ пропорциональны как квадратичные формы. Тогда возможны следующие два случая.
1) В некоторой окрестности точки $P$ существуют локальные координаты $u, v$, в которых метрика имеет вид:
\[
d s^{2}=f\left(u^{2}+v^{2}\right)\left(d u^{2}+d v^{2}\right),
\]

где $f(t)$ – положительная гладкая функция. При этом геодезический поток обладает другим, уже линейным интегралом вида $\widetilde{F}=v p_{u}-u p_{v}$.
2) В некоторой окрестности точки $P$ существуют локальные координаты $u, v$, в которых метрика имеет вид:
\[
d s^{2}=\frac{h(r+u)-h(u-r)}{2 r}\left(d u^{2}+d v^{2}\right),
\]

где $r=\sqrt{u^{2}+v^{2}}$, а $h$ – гладкая в окрестности нуля функция, удовлетворяющая условию $h^{\prime}(0)>0$. При этом квадратичный интеграл $F$ геодезического потока (с точностью до линейной комбинации с гамильтонианом) имеет вид:
\[
F\left(u, v, p_{u}, p_{v}\right)=-\frac{r(h(u+r)+h(u-r))}{h(u+r)-h(u-r)}\left(p_{u}^{2}+p_{v}^{2}\right)+\left(u p_{u}^{2}+2 v p_{u} p_{v}-u p_{v}^{2}\right) .
\]

ЗАмЕчАниЕ. Очевидно, что верно и обратное утверждение: любая метрика, заданная указанными в теореме явными формулами, является гладкой, а ее геодезический поток допускает гладкий линейный или квадратичный интеграл описанного вида.

Доказательство.
Условие, что интеграл $F$ и гамильтониан $H$ пропорциональны в рассматриваемой точке $P$, эквивалентно тому (см. доказательство теоремы 2.7), что в этой точке обращается в ноль функция $R(z)$, где $z=x+i y$. Исследуем характер этого нуля.
Сначала докажем следующее утверждение.

Лемма 2.1. Пусть функция $R(z)$ задана и отлична от нуля в некоторой точке $z_{0}$. Тогда в окрестности этой точки локальные лиувиллевы координаты $x^{\prime}, y^{\prime}$, отвечающие этой функции (т.е. такие, в которых $R(z)$ становится тождественно равной единице), определены однозначно с точностью до параллельного сдвига на плоскости и отражения в начале координат $\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) \rightarrow\left(-x^{\prime},-y^{\prime}\right)$. B частности, координатная сетка линий $x^{\prime}=$ const и $y^{\prime}=$ const определена однозначно. Эти семейства координатных линий являются решениями следующих двух дифференциалъных уравнений на плоскости $x, y$ :
\[
\frac{d z}{d t}=\sqrt{R(z)}, \quad \frac{d z}{d t}=i \sqrt{R(z)} .
\]

Доказательство леммы 2.1.
Из предложения 2.3 , задающего правило изменения функции $R$ при голоморфных заменах координат, следует, что если $z^{\prime}=x^{\prime}+i y^{\prime}$ – лиувиллевы координаты, то $d z^{\prime}=\frac{d z}{ \pm \sqrt{R(z)}}$. Таким образом, $z^{\prime}=z^{\prime}(z)$ является первообразной функции $\frac{1}{ \pm \sqrt{R(z)}}$ в окрестности точки $z_{0}, R\left(z_{0}\right)
eq 0$, и поэтому определена однозначно с точностью до замен вида $z^{\prime} \rightarrow \pm z^{\prime}+$ const, что и требовалось.

Далее, координатные линии $x^{\prime}=$ const и $y^{\prime}=$ const лиувиллевой системы координат задаются уравнениями вида $\frac{d z^{\prime}}{d t}=1$ и $\frac{d z^{\prime}}{d t}=i$, которые в исходной системе координат переписываются в требуемом виде:
\[
\frac{d z}{d t}=\sqrt{R(z)}, \quad \frac{d z}{d t}=i \sqrt{R(z)} .
\]

Лемма доказана.
ЗАмЕчАниЕ. Указанные два дифференциальных уравнения определяют координатные линии лишь как геометрические кривые, т. е. без направления на них. Дело в том, что правая часть уравнений определяет не векторное поле, а всего лишь поле направлений.
Пусть теперь $z=0$ – особая точка, т.е. $R(0)=0$.

Лемма 2.2. Пусть $R(z)$ имеет нуль первого порядка в точке $z=0$. Тогда в окрестности нуля существует голоморфная замена $w=w(z)$, превращающая функцию $R$ в линейную функцию $S(w)=w$.
Доказательство.
Согласно предложению 2.2 , искомая функция $w(z)$ должна быть решением дифференциального уравнения
\[
\left(\frac{d w}{d z}\right)^{2}=\frac{w}{R(z)}
\]

Поэтому нам достаточно показать, что это уравнение имеет в окрестности нуля голоморфное решение, удовлетворяющее условию $w^{\prime}(0)
eq 0$.

Укажем это решение явно. Представим $R(z)$ в виде $R(z)=z b(z)$, где $b(0)
eq 0$. Поскольку $b(0)
eq 0$, то функция $\frac{1}{\sqrt{b\left(z^{2}\right)}}$ в окрестности нуля является голоморфной четной функцией. Рассмотрим ее первообразную $a(z)$, удовлетворяющую условию $a(0)=0$. Эта функция будет нечетной в силу четности своей производной. Отсюда легко следует голоморфность функции вида $w(z)=(a(\sqrt{z}))^{2}$. Несложно проверить, что $w(z)$ является решением рассматриваемого уравнения, причем $w^{\prime}(0)
eq 0$, поскольку $a^{\prime}(0)=\frac{1}{\sqrt{b(0)}}
eq 0$. Лемма доказана.

Лемма 2.3. Пусть $R(z)$ имеет нуль второго порядка в точке $z=0$. Тогда в окрестности нуля существует голоморфная замена $w=w(z)$, превращающая функцию $R$ в функцию $S(w)=A^{2} w^{2}$, где $A$ – некоторое комплексное число. Доказательство.

Как и в лемме 2.2, мы должны найти голоморфное в окрестности нуля решение дифференциального уравнения
\[
\left(\frac{d w}{d z}\right)^{2}=\frac{A^{2} w^{2}}{R(z)}
\]

для подходящего комплексного числа $A
eq 0$. Это снова можно сделать явно.
В окрестности нуля функцию $R(z)$ можно представить в виде
\[
R(z)=A^{2} z^{2}\left(1+c_{1} z+c_{2} z^{2}+\ldots\right),
\]

поэтому из нее извлекается квадратный корень, т. е. существует такая голоморфная функция $q(z)=A z b(z)$, что $q(z)^{2}=R(z)$, причем $b(0)=1$. Тем самым нам достаточно решить следующее уравнение: $\frac{d w}{w}=\frac{d z}{z b(z)}$.

Будем искать решение в виде $w(z)=z c(z)$. Подставляя в уравнение, получаем:
\[
\frac{c d z+z d c}{c z}=\frac{d z}{z b}, \quad \text { т.е. } \quad \frac{d c}{d z}=\frac{c(1-b)}{z b} .
\]

В силу того, что $b(0)=1$, функция $m(z)=\frac{1-b}{z b}$ голоморфна. Поэтому уравнение имеет голоморфное решение вида
\[
c(z)=\exp \left(\int m(z) d z\right) .
\]

Тем самым, $w(z)=z \exp \left(\int m(z) d z\right)$ – требуемая замена. Лемма доказана.
КоммЕНтАРиЙ. Две последние леммы можно также получить каю следствие общих теорем о виде нормальных форм дифференциальных уравнений в особых точках.

Лемма 2.4. Порядок нуля функции $R(z)$ не превышает двух.
Доказательство леммы 2.4.
Рассмотрим координатные линии лиувиллевой системы координат в проколотой окрестности точки 0 , где $R(0)=0$. Как мы уже доказали, эти линии определены однозначно (поскольку функция $R$ задана и фиксирована). Они являются решениями уравнений:
Рис. 2.3
\[
\frac{d z}{d t}=\sqrt{R(z)}, \quad \frac{d z}{d t}=i \sqrt{R(z)} .
\]

Мы утверждаем, что любая из этих координатных линий имеет 0 своей предельной точкой (т.е. втыкается в ноль). В самом деле, сначала рассмотрим случай, когда $R(z)$ имеет вид $z^{k}$, где $k>2$. Тогда легко видеть, что линии имеют вид, показанный на рис. 2.3 (для четного и нечетного $k$ ). Видно, что каждая линия действительно втыкается в ноль. В общем случае, имеем:
\[
R(z)=z^{k}+\ldots=z^{k}(1+n(z)),
\]

где $n(z)$ – голоморфная функция. Отсюда ясно, что при малых $z$ картина, изображенная на рис. 2.3 , качественно не меняется, т.е. каждая координатная линия тоже втыкается в ноль.

Теперь рассмотрим метрику. Записывая ее в лиувиллевых координатах и возвращаясь назад в систему координат $z=x+i y$, мы видим, что она представима в виде
\[
\frac{(f+g) d z d \bar{z}}{|R(z)|},
\]

где $f$ – функция, постоянная на координатных линиях одного семейства, а $g$ функция, постоянная на координатных линиях другого семейства. Но так как все эти линии, как было доказано, втыкаются в ноль, т.е. сколь угодно близко подходят друг к другу (рис. 2.4), следовательно, обе функции $f$ и $g$ являются постоянными на всей окрестности нуля. При этом функция $\frac{f+g}{|R(z)|}$ является гладкой в окрестности нуля. Учитывая, что $R(0)=0$, мы заключаем, что $f(0)+g(0)=0$. Отсюда $f+g \equiv 0$, что невозможно ввиду невырожденности метрики. Получили противоречие. Лемма доказана.
Вернемся к доказательству теоремы 2.8 .
Итак, мы доказали, что функция $R$ в окрестности своего нуля всегда может быть приведена голоморфной заменой к одному из следующих канонических видов: это либо $w$, либо $A^{2} w^{2}$, где $A$ – некоторое комплексное число. Проанализируем, что получится в этих случаях. Ниже эту функцию, записанную в канонической системе координат $w$, мы будем снова обозначать через $R=R(w)$ (а не через $S(w)$, как в леммах 2.2 и 2.3$)$.

Случай $R(w)=w$. Удобно вместо $w$ взять здесь $2 w$, т.е. положить $R(w)=2 w$. Тогда, чтобы найти замену переменных, приводящую метрику к лиувиллеву виду, следует решить уравнение
\[
d z=\frac{d w}{\sqrt{2 w}} .
\]

Оно имеет очевидное решение $w=\frac{z^{2}}{2}$. Координатная сетка лиувиллевых коорди-
Рис. 2.4 нат $x, y$ в окрестности точки $P$ показана на рис. 2.5 (здесь, как и выше, $z=x+i y$, $w=u+i v) . \quad$ В переменных $x, y$ метрика примет вид: $(f(x)+g(y))\left(d x^{2}+d y^{2}\right)$. Делая обратную замену $x=\sqrt{r+u}$, $y=\sqrt{r-u}$, где $r=\sqrt{u^{2}+v^{2}}$, получаем следующий вид этой метрики в координатах $u, v$ :
\[
\frac{f(\sqrt{r+u})+g(\sqrt{r-u})}{2 r}\left(d u^{2}+d v^{2}\right) .
\]

Покажем, что функции $f$ и $g$ тесно связаны между собой и на самом деле происходят из одной гладкой функции $h$.
Пусть $d s^{2}=\Lambda(u, v)\left(d u^{2}+d v^{2}\right)$. Положим $h(t)=t \Lambda\left(\frac{t}{2}, 0\right)$. Мы утверждаем, что тогда
\[
\Lambda(u, v)=\frac{h(u+r)-h(u-r)}{2 r} .
\]

Рис. 2.5
Чтобы это проверить, заметим, что знаменатель правой части имеет нужный нам вид, т.е. представляется в виде суммы двух функций, одна из которых зависит только от $x$, а вторая только от $y$. Отсюда следует, что нам достаточно проверить наше тождество только на двух координатных линиях, например, $\{x=0\}$ и $\{y=0\}$. С точки зрения координаты $w=u+i v$ это означает, что проверку нужно провести на вещественной оси $\{v=0\}$. Сделаем это.
При $u>0, v=0$ имеем $r=u$, тогда
\[
\frac{h(u+r)-h(u-r)}{2 r}=\frac{h(2 u)-h(0)}{2 u}=\frac{2 u \Lambda(u, 0)-0}{2 u}=\Lambda(u, 0) .
\]

Аналогично, если $u<0, v=0$, то $r=-u$ и тогда
\[
\frac{h(u+r)-h(u-r)}{2 r}=\frac{h(0)-h(2 u)}{-2 u}=\frac{0-2 u \Lambda(u, 0)}{-2 u}=\Lambda(u, 0) .
\]

Итак, в окрестности точки $P$ риманова метрика имеет вид:
\[
d s^{2}=\frac{h(u+r)-h(u-r)}{2 r}\left(d u^{2}+d v^{2}\right),
\]

где $h$ – гладкая функция (и даже аналитическая в случае аналитической метрики), причем $h^{\prime}(0)=\Lambda(0,0)
eq 0$, что и требовалось доказать.
Полезно отметить также связь между функцией $h$ и функциями $f, g$ :
\[
\begin{array}{l}
f(t)=h\left(t^{2}\right), \\
g(t)=-h\left(-t^{2}\right) .
\end{array}
\]

Остается выписать явный вид интеграла:
\[
F=\frac{g(y) p_{x}^{2}-f(x) p_{y}^{2}}{f(x)+g(y)}
\]

после замены $w=\frac{z^{2}}{2}$. Подставляя в эту формулу следующие явные выражения для импульсов и координат
\[
\begin{array}{l}
\left(\begin{array}{l}
p_{x} \\
p_{y}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
x & y \\
-y & x
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
p_{u} \\
p_{v}
\end{array}\right), \\
x=\sqrt{r+u}, \quad y=\sqrt{r-u},
\end{array}
\]

после несложных вычислений получаем требуемое выражение для интеграла
\[
F\left(u, v, p_{u}, p_{v}\right)=-r \frac{h(u+r)+h(u-r)}{h(u+r)-h(u-r)}\left(p_{u}^{2}+p_{v}^{2}\right)+\left(u p_{u}^{2}+2 v p_{u} p_{v}-u p_{v}^{2}\right) .
\]

Таким образом, случай нуля первого порядка у функции $R$ разобран.
Случай $R(w)=A^{2} w^{2}$. Сначала покажем, что число $A^{2}$ обязано быть вещественным. Доказательство этого факта похоже на доказательство леммы 2.4. Рассмотрим линии уровня лиувиллевой системы координат в окрестности нуля функции $R$, задаваемые уравнениями
\[
\frac{d w}{d t}=A w, \quad \frac{d w}{d t}=i A w .
\]

Если $A=a+i b, a
eq 0, b
eq 0$, то все эти линии уровня входят в точку 0 как показано на рис.2.6. Два ортогональных семейства бесконечных спиралей наматываются на точку 0. Рассуждения, Рис. 2.6 полностью аналогичные тем, которые были использованы при доказательстве леммы 2.4, показывают, что тогда функция $f+g$ обращается тождественно в ноль, что невозможно. Следовательно, число $A^{2}$ обязано быть вещественным.

Пусть для определенности $A^{2}>0$, т.е. $A \in R$ (случай $A \in i R$ разбирается аналогично). Здесь замена будет иметь вид $w=\exp (A z)$, и координатные линии лиувиллевых координат $x, y$ будут радиальными лучами, исходящими из начала координат и концентрическими окружностями (рис.2.7). Метрика здесь снова записывается в виде
\[
(\widetilde{f}(x)+\widetilde{g}(y))\left(d x^{2}+d y^{2}\right)=\frac{\widetilde{f}+\widetilde{g}}{A^{2} r^{2}}\left(d u^{2}+d v^{2}\right),
\]

где первая функция $\tilde{f}$ постоянна на линиях одного семейства, т. е. на окружностях, а вторая $\widetilde{g}$ постоянна на линиях второго семейства, т.е. на лучах, выходящих из точки $P$. Но гладкая функция, постоянная на лучах, должна быть тождественной постоянной, так как все лучи встречаются в нуле. А первая функция должна зависеть только от суммы квадратов $r^{2}=u^{2}+v^{2}$. В результате мы и получаем, что конформный множитель $\Lambda$ в координатах $u$ и $v$ приобретает вид $\frac{\tilde{f}\left(r^{2}\right)}{A^{2}} r^{2}$. Рис. 2.7 Обозначая это выражение через $f\left(r^{2}\right)$, имеем
\[
d s^{2}=f\left(r^{2}\right)\left(d u^{2}+d v^{2}\right) .
\]

Гладкость функции $f(t)$ следует из гладкости конформного множителя $f\left(r^{2}\right)=$ $=f\left(u^{2}+v^{2}\right)$ по переменным $u$ и $v$. Теорема доказана.

В заключение подчеркнем, что лиувиллевы координаты могут, таким образом, иметь лишь два типа особенностей, показанных на рис.2.5, рис.2.7. Это обстоятельство будет существенно использовано ниже при описании квадратично интегрируемых геодезических потоков на сфере.